Raciocínio em Lógica de Descrições

1. Raciocínio em Lógica de Descrições Menandro Ribeiro Santana

2. Roteiro • Introdução • Raciocínio em DL • Otimizações em Sistemas de Raciocínio

3. Introdução

4. Lógicas de Descrições • Família de formalismos de representação do conhecimento baseados na Lógica Matemática. • Descrevem o domínio em termos de conceitos, propriedades e indivíduos. • Possuem semântica formal • Provêem serviços de inferência.

5. Sintaxe e Semântica das DL’s • Uma interpretação é um par <I, I>, onde: • I é o universo de discurso (não-vazio) • I é uma função de interpretação, que mapeia: • Conceitos para subconjuntos de I • Papéis para subconjuntos de II • Instâncias para elementos de I

6. Sintaxe e Semântica das DL’s

7. Sintaxe e Semântica das DL’s

8. Famílias de DL’s S = FL- +AL*+ papéis transitivos • SHIQ

9. Base de Conhecimento em DL • Par <TBox, ABox> onde: • TBox (Terminological Box) • Conhecimento Intensional: conhecimento geral sobre o domínio do problema. • ABox (Assertional Box) • Conhecimento Extensional: especifica um problema particular.

10. TBox • Conhecimento intensional na forma de terminologia. • Construído através de declarações que descrevem as propriedades gerais dos conceitos. • Conceito primitivo (base) Pessoa Fêmea • Conceito complexo Mulher ≡ Pessoa ┌┐ Fêmea

11. TBox • As declarações do TBox são representadas como: • Equivalências lógicas (condições necessárias e suficientes) : ≡ • Inclusão (condições necessárias) :  • Características das declarações: • Somente é permitida uma definição para cada nome de conceito. • É recomendado que as definições sejam acíclicas, isto é, não podem ser definidas em termos de: • Elas mesmas • Outros conceitos que indiretamente se referem a elas.

12. TBox - Exemplo

13. ABox • Conhecimento extensional, que especifica os indivíduos do domínio. • Instanciação da estrutura de conceitos.

14. Tipos de Declarações no ABox • Declaração de Conceitos : C(a) • Declara que “a” é um indivíduo do conceito C. • Ex : Pessoa(Ana) • Declaração de Papel : R(a,b) • Declara que o indivíduo “a” está relacionado com o indivíduo “b” através da propriedade R. • Ex : temFilho(Ana,João)

15. ABox - Exemplo

16. Raciocínio em DL

17. Raciocínio em DL • Satisfatibilidade • Subsunção • Conseqüência Lógica • Checagem de Equivalência • Checagem de Consistência • Checagem de Instância • Consulta a Ontologia

18. Satisfatibilidade • Um conceito é satisfatível com respeito a um TBox T se existe uma interpretação I de T tal que CIé não vazio. Neste caso dizemos que I é um modelo de T.

19. Satisfatibilidade - Exemplo TBox • Mulher ≡ Pessoa ┌┐ Fêmea • Mãe ≡ Mulher ┌┐ temFilho. Pessoa Teste de Satisfatibilidade • Mãe(a) ≡ Mulher(a) ┌┐ temFilho(a,b) • Mãe(a) ≡ (Pessoa(a) ┌┐ Fêmea(a)) ┌┐ temFilho(a,b)

20. Insatisfatibilidade - Exemplo TBox • Mulher ≡ Pessoa ┌┐ Fêmea • Homem ≡ Pessoa ┌┐ ¬Mulher • Hermafrodita ≡ Homem ┌┐ Mulher Teste de Satisfatibilidade • Hermafrodita(a) ≡ Homem(a) ┌┐ Mulher(a) • Hermafrodita(a) ≡ Pessoa(a) ┌┐ ¬Mulher(a) ┌┐Mulher(a)

21. Subsunção • Um conceito C é classificado por um conceito D com respeito a um TBox T se CI DI para toda interpretação I de T. Neste caso escrevemos C T D ou T ╞ C  D . • O conceito D é chamado classificador • O conceito C é chamado classificado.

22. Subsunção - Exemplo TBox • Mulher ≡ Pessoa ┌┐ Fêmea • Mãe ≡ Mulher ┌┐ temFilho. Pessoa Relacionamento entre os conceitos • Mãe  Mulher • Classificador : Mulher • Classificado : Mãe

23. Conseqüência Lógica • Se todo modelo da BC A é também modelo da BC B, então B é Conseqüência Lógica de A • TBox: • teaches.Course Undergrad └┘ Professor • ABox: • teaches ( john , cs415 ) ; Course ( cs415 ) ; • Undergrad ( john ) • Professor ( john )?

24. Checagem de Equivalência • Dois conceitos C e D são equivalentes com respeito a um TBox T se CI= DI para toda interpretação I de T. Neste caso escrevemos C ≡T D ou T ╞ C ≡ D .

25. Checagem de Equivalência - Exemplo TBox • Mulher ≡ Pessoa ┌┐ Fêmea • Homem ≡ Pessoa ┌┐ ¬Mulher • Masculino ≡ Pessoa ┌┐ ¬Fêmea Expansão do TBox e Simplificação • Homem ≡ Pessoa ┌┐ ¬ Mulher • Homem ≡ Pessoa ┌┐ ¬(Pessoa ┌┐ Fêmea) • Homem ≡ Pessoa ┌┐ (¬Pessoa └┘ ¬Fêmea) • Homem ≡ (Pessoa ┌┐ ¬Pessoa) └┘(Pessoa ┌┐ ¬Fêmea) • Homem ≡ Pessoa ┌┐ ¬Fêmea Relacionamento entre os conceitos • HomemI= MasculinoI

26. Checagem de Consistência • Um ABox A é consistente com relação a um TBox T se existe uma interpretação que é modelo de ambos, A e T.

27. Checagem de Consistência - Exemplo TBox • Mulher ≡ Pessoa ┌┐ Fêmea • Homem ≡ Pessoa ┌┐ ¬Mulher • Pai ≡ Homem ┌┐ temFilho. Pessoa ABox • Mulher(Jaguaraci) • Pai(Jaguaraci) • temFilho(Jaguaraci, Ana) • Mulher(Jaguaraci) ≡ Pessoa(Jaguaraci) ┌┐ Fêmea(Jaguaraci) • Pai(Jaguaraci) ≡ Homem(Jaguaraci) ┌┐temFilho(Jaguaraci, Ana) • Homem(Jaguaraci) ≡ Pessoa(Jaguaraci) ┌┐ ¬Mulher(Jaguaraci)

28. Checagem de Instância • Verifica se um dado indivíduo é uma instância de um conceito específico. • Exemplo: TBox Mulher ≡ Pessoa ┌┐ Fêmea Mãe ≡ Mulher ┌┐ temFilho. Pessoa ABox Mulher(Maria) temFilho(Maria,Pedro) Checagem de Instância Mãe(Maria) Mãe(Maria) ≡ Mulher(Maria) ┌┐ temFilho. Pessoa

29. Consulta a Ontologia • Encontra os indivíduos na base de conhecimento que são instâncias de um dado conceito. • Exemplo: ABox Mulher(Maria) Homem(João) Homem(Pedro) Resposta da Consulta Homem → João, Pedro Mulher → Maria

30. Redução • É possível implementar os serviços de raciocínio para o TBox a partir da satisfatibilidade ou da subsunção dependendo da lógica de descrições utilizada. • Interseção (┌┐) e conceito de insatisfatibilidade (┴) : Redução a Subsunção. • Interseção (┌┐) e negação (¬) : Redução a Satisfatibilidade.

31. Redução a Subsunção • Proposição (Redução a Subsunção) Para conceitos C e D temos: (i) C é INSAT C  ┴ ; (ii) C = D  (C  D) ┌┐ (D  C); (iii) C e D disjuntos  (C ┌┐ D)  ┴ .;

32. Redução a Satisfatibilidade • Proposição ( Redução a Satisfatibilidade ) Para conceitos C e D temos: (i) C  D  (C ┌┐ ¬D)  ┴ . (ii) C = D  (( C ┌┐ ¬D) ┴) ┌┐ ((¬C ┌┐ D )  ┴); (iii) C e D disjuntos  (C ┌┐ D)  ┴

33. Algoritmo Tableau • Ao invés de testar diretamente a subsunção dos conceitos, este algoritmo usa a negação para reduzir a subsunção a (in)satisfatibilidade dos conceitos. C  D se somente se C ┌┐¬D é INSAT

34. Algoritmo Tableau C  D se somente se (C ┌┐¬D)  ┴ • C  D ≡ C → D • C → D ≡ ¬C└┘D • Para realizar o algoritmo tableau é necessário negar a expressão (¬C └┘D) e chegar a insatisfatibilidade. • ¬(¬C └┘D) ≡ C ┌┐¬D • C ┌┐¬D é insatisfatível

35. Exemplo • Sejam A e B nomes de conceitos e R o nome de um papel. Analisar se (R.A) ┌┐(R.B) é subclasse de R.(A ┌┐ B). • C = (R.A) ┌┐(R.B) ┌┐(¬ R.(A ┌┐ B)) • Forma normal de negação: C0 = (R.A) ┌┐(R.B) ┌┐R.(¬A └┘¬B))

36. Construir uma interpretação finita I tal que C0I . • Gerar um indivíduo b tal que b  C0I . • b  (R.A)I, b  (R.B)I , b  R.(¬A └┘¬B)I. • b  (R.A)I  deve existir um indivíduo c tal que (b,c)  RI e c  AI . • b  (R.B)I  deve existir um indivíduo d tal que (b,d)  RI e d  BI .

37. b  R.(¬A └┘¬B)I. • c  (¬A └┘¬B)I e d  (¬A └┘¬B)I . • c  (¬A └┘¬B)I  c  (¬A)I ou c  (¬B)I . • d  (¬A └┘¬B)I  d  (¬A)I ou d  (¬B)I . • Conclusão: (R.A) ┌┐(R.B) não é subclasse de R.(A ┌┐ B)

38. Algoritmo Tableau • As restrições são expressadas como declarações do ABox. • Seja C0 um conceito ALCN na forma de negação normal. • O algoritmo inicia com o ABox A0 = {C0(x0)}. • Utilizar as Regras de transformação do algoritmo de satisfatibilidade, até que nenhuma delas possa ser usada. • ABox Completo – ABox onde todos os ramos possíveis foram expandidos.

39. Regras – Lógica Proposicional R1=H ┌┐ G R2=H └┘ G R3=HG H G H G H G R4=HG R5=H R6=(H ┌┐ G) H H┌┐G H┌┐G H G R7=(H └┘ G) R8=(HG) R9=(HG) H H G G H┌┐G H┌┐G

40. Regras – DL (ALC) R1=(H ┌┐ G)(x) R2=(H └┘ G)(x) H(x) G(x) H(x) G(x) R3= (R.C)(x) C(y) R(x,y) R4= (R.C)(x) e R(x,y) C(y) onde y é um nome de indivíduo que não ocorre em A

41. Regras – DL (N) R6= (nR)(x)R7= (nR)(x) R(x,z1) R(x,z1) R(x,z2) R(x,z2) : : R(x,zn) R(x, zn) R(x, zn+1) zi≠zj não está em KB (com i≠j) zi=zj

42. Regras – DL (R+) R8= (R.C)(x) e R+ C(y) (R.C)(x) onde C não é atômico Problema - Regra gera recursividade Solução - Bloqueio, após perceber que nada de novo está sendo gerado

43. Regras – DL (R+)

44. Regras – DL (R+)

45. Regras – DL (R+)

46. Algoritmo Tableau • Um conceito C é insatisfatível sse KB ┌┐ C = ┴ em todas as interpretações • Cada ramo do Abox contém uma contradição (clash) de um dos seguintes tipos: 1. {┴ (x)}  KB para algum nome de indivíduo x; 2. {A(x), ¬A(x)}  KB para algum nome de indivíduo x e algum nome de conceito A; 3. (nR)(x)  R(x,yi) | 1  i  n+1}  {yi  yj | 1  i  j  n+1}  KB para nomes de indivíduos x, y1,..., yn+1 , um inteiro não negativo n e um nome de papel R.

47. Aplicação do Tableau : Exemplo 1 • Sejam A e B nomes de conceitos e R o nome de um papel. Analisar se (R.A) ┌┐ (R.B) é subclasse de R.(A ┌┐ B). • C = (R.A) ┌┐ (R.B) ┌┐ (¬ R.(A ┌┐ B)) Forma normal de negação: • C0 = (R.A) ┌┐ (R.B) ┌┐R.(¬A └┘ ¬B))

49. Aplicação do Tableau : Exemplo 2 • Sejam A e B nomes de conceitos e R o nome de um papel. Analisar se (R.A) ┌┐ (R.B) ┌┐ 1 R é subclasse de R.(A ┌┐ B). • C = (R.A)┌┐(R.B)┌┐( 1 R)┌┐(¬ R.(A┌┐ B)) Forma normal de negação: • C0 = (R.A)┌┐(R.B)┌┐( 1 R)┌┐R.(¬A└┘ ¬B))