Federico Bizzarri Dipartimento di Elettronica e Informazione, Politecnico di Milano

1. Simulazione di circuiti misti analogico-digitali: sistemi ibridi, matrici di “salto”, analisi di rumore, funzioni di trasferimento tempo-varianti Federico Bizzarri Dipartimento di Elettronica e Informazione, Politecnico di Milano P.za Leonardo da Vinci 32, I-20133 Milano, Italy e-mail: bizzarri@elet.polimi.it XXVII Riunione Nazionale dei Ricercatori di Elettrotecnica - Bologna, 15 - 17 giugno 2011

2. Simulazione di circuiti misti analogico-digitali: sistemi ibridi, matrici di “salto”, analisi di rumore, funzioni di trasferimento tempo-varianti “A chi serve?“ – A chi ha a che fare con l’analisi o la sintesi (con la progettazione) di circuiti elettrici/elettronici (autonomi e non autonomi) che, a regime, presentano un comportamento periodico. “Quando serve?” – Quando i circuiti in esame sono descritti da modelli che presentano discontinuità del campo vettoriale o delle “variabili di stato”. “A cosa serve?” – Ad estendere a questi tipi di circuiti analisi che si basano sulla risoluzione dell’equazione variazionale che descrive il sistema linearizzato attorno alla sua traiettoria di regime nello spazio di stato (matrice di sensibilità rispetto alle condizioni iniziali o matrice di transizione). XXVII Riunione Nazionale dei Ricercatori di Elettrotecnica - Bologna, 15 - 17 giugno 2011

3. Simulazione di circuiti misti analogico-digitali: sistemi ibridi, matrici di “salto”, analisi di rumore, funzioni di trasferimento tempo-varianti “Quando serve?”– Quando i circuiti in esame sono descritti da modelli che presentano discontinuità del campo vettoriale o delle “variabili di stato”. • Un circuito analogico con “interruttori” • Un circuito misto analogico-digitale • Un circuito in parte descritto con un linguaggio “behavioural” • Un circuito per cui la ALU del calcolatore che lo simula non è in grado di “seguirne” variazioni molto rapide • … “A cosa serve?” – Ad estendere a questi tipi di circuiti analisi che si basano sulla risoluzione dell’equazione variazionale che descrive il sistema linearizzato attorno alla sua traiettoria nello spazio di stato (matrice di sensibilità rispetto alle condizioni iniziali o matrice di transizione). • Analisi di stabilità (moltiplicatori di Floquet) • Metodi di “shooting” per il calcolo veloce della soluzione di regime • Analisi del rumore in oscillatori • Funzioni di trasferimento tempo varianti • … XXVII Riunione Nazionale dei Ricercatori di Elettrotecnica - Bologna, 15 - 17 giugno 2011

4. Sistemi dinamici ibridi “I sistemi dinamici ibridi sono costituiti da processi di evoluzione dinamica continui/discreti che interagiscono con processi logici o decisionali” Sistemi dinamici “switching” Campo vettoriale discontinuo ma stato continuo (sistemi di Filippov) Sistemi dinamici “a impatto” Lo “stato” presenta discontinuità nel tempo (Sistemi con campo vettoriale continuo ma non differenziabile) XXVII Riunione Nazionale dei Ricercatori di Elettrotecnica - Bologna, 15 - 17 giugno 2011

5. Sistemi dinamici ibridi • Estensione per i sistemi ibridi della matrice di transizione • PiecewisesmoothOrdinaryDifferentialEquations • M. Di Bernardo, C. Budd, A. Champneys, and P. Kowalczyk, Piecewise-smoothDynamicalSystems, Theory and Applications. London: Springer-Verlag, 2008. • PiecewisesmoothDifferentialAlgebraicEquations • F. Bizzarri, A. Brambilla, G. Storti Gajani, “Steady State Computation and NoiseAnalysisof • AnalogMixedSignalCircuits”, submittedto IEEE TCAS-I, feb. 2011. XXVII Riunione Nazionale dei Ricercatori di Elettrotecnica - Bologna, 15 - 17 giugno 2011

6. Matrice di transizione nel caso smooth - Definizione - Se xs(t) è soluzione per t  [t0,t0+T] allora per ogni t in questo intervallo è possibile calcolare l’effetto Dxs(t) sulla soluzione di una perturbazione Dx0 delle condizioni iniziali come Dx1(t1)= F(t1,t0) Dx0(t0) XXVII Riunione Nazionale dei Ricercatori di Elettrotecnica - Bologna, 15 - 17 giugno 2011

7. Matrice di transizione - Proprietà - Proprietà di composizione Proprietà di mapping XXVII Riunione Nazionale dei Ricercatori di Elettrotecnica - Bologna, 15 - 17 giugno 2011

8. Matrice di transizione - Proprietà - Data una soluzione periodica (ciclo limite) di periodo T, La teoria di Floquet permette di utilizzare F(t,t0) per altro ancora … • Dati gli autovalorimk di F(T+t0,t0) (matrice di monodromia) • Se |mk | 1 il ciclo limite è stabile • Se esiste un solo |mk|> 1 il ciclo limite è instabile • Un sistema autonomo che presenta un ciclo limite stabile presenta almeno un autovaloremk= 1 • Lo studio delle autofunzioni destre (uk(t)) e sinistre (vk(t)) di F(t,t0) permette di individuare le direzioni nello spazio di stato lungo le quali le perturbazioni si smorzano, si amplificano o perdurano invariate … • … la base del calcolo del rumore di fase negli oscillatori (teoria di Demir, 2001) XXVII Riunione Nazionale dei Ricercatori di Elettrotecnica - Bologna, 15 - 17 giugno 2011

9. Rumore di ampiezza nei sistemi autonomi stabili (oscillatori) … gli effetti sull’ampiezza del ciclo delle (piccole) perturbazioni (dovute a sorgenti di rumore) si attenuano quindi il rumore di ampiezza non è di grande interesse. XXVII Riunione Nazionale dei Ricercatori di Elettrotecnica - Bologna, 15 - 17 giugno 2011

10. Rumore di fase nei sistemi autonomi (oscillatori) … gli effetti delle perturbazioni (dovute a sorgenti di rumore) proiettate lungo l’autofunzione v1(t) che corrisponde all’autovalore m1 = 1 non si attenuano e si traducono in rumore di fase … … il calcolo di v1(t) risulta essenziale e non può prescindere dalla corretta valutazione di F(t,t0) … … il rumore di fase è presente anche negli oscillatori “ibridi” ma non sappiamo calcolarlo se non possiamo calcolare F(t,t0). XXVII Riunione Nazionale dei Ricercatori di Elettrotecnica - Bologna, 15 - 17 giugno 2011

11. Matrice di salto (Saltation Matrix)

12. Matrice di salto (Saltation Matrix) XXVII Riunione Nazionale dei Ricercatori di Elettrotecnica - Bologna, 15 - 17 giugno 2011

13. Matrice di salto (Saltation Matrix) Saltation Matrix S XXVII Riunione Nazionale dei Ricercatori di Elettrotecnica - Bologna, 15 - 17 giugno 2011

14. Matrice di salto (Saltation Matrix)Sistema dinamico switching XXVII Riunione Nazionale dei Ricercatori di Elettrotecnica - Bologna, 15 - 17 giugno 2011

15. Matrice di salto (Saltation Matrix)Sistema dinamico a impatto Jacobiano del mapping XXVII Riunione Nazionale dei Ricercatori di Elettrotecnica - Bologna, 15 - 17 giugno 2011

16. Matrice di salto (Saltation Matrix)Sistema dinamico ibrido XXVII Riunione Nazionale dei Ricercatori di Elettrotecnica - Bologna, 15 - 17 giugno 2011

17. Un oscillatore switching misto analogico digitale F. Bizzarri, A. Brambilla, G. Storti Gajani, “Analog Mixed Signal Noise Simulation and Experimental Validation”, submitted to Electronics Letters, june 2011. XXVII Riunione Nazionale dei Ricercatori di Elettrotecnica - Bologna, 15 - 17 giugno 2011

18. Un oscillatore switching misto analogico digitaleSimulazioni numeriche L’oscillatore è stato simulato numericamente con un metodo di shooting per determinarne l’orbita di regime. Traiettoria di regime Stato continuo ma non derivabile XXVII Riunione Nazionale dei Ricercatori di Elettrotecnica - Bologna, 15 - 17 giugno 2011

19. Un oscillatore switching misto analogico digitaleSimulazioni numeriche XXVII Riunione Nazionale dei Ricercatori di Elettrotecnica - Bologna, 15 - 17 giugno 2011

20. Un oscillatore switching misto analogico digitaleSimulazioni numeriche E’ stato determinato andamento temporale dell’autofunzione sinistra v1(t) di F(t,t0) Autofunzione v1(t) XXVII Riunione Nazionale dei Ricercatori di Elettrotecnica - Bologna, 15 - 17 giugno 2011

21. Un oscillatore switching misto analogico digitaleMisure sperimentali L’oscillatore è stato realizzato su breadboard ed è stato iniettato rumore bianco mediante un generatore di funzioni connesso come un generatore di tensione in serie ad R4. Total noise simulato (PNOISE) Total noise misurato Phase noise “Demir” Total noise misurato Calcolo del Rumore Totale (Ampiezza + Fase) SPECTRE fornisce risultati numerici non accurati ELDO non converge (o almeno non ci siamo riusciti!) Total noise “Spectre” XXVII Riunione Nazionale dei Ricercatori di Elettrotecnica - Bologna, 15 - 17 giugno 2011

22. Un oscillatore a impatto con risuonatore di tipo MEMS F. Bizzarri, X. Wei, “Phase Noise Analysis of a Mechanical Autonomous Impact Oscillator with a MEMS Resonator”, submitted to ECCTD 2011. Ciclo limite (proiezione sui piani (y,v) e (y,VC) XXVII Riunione Nazionale dei Ricercatori di Elettrotecnica - Bologna, 15 - 17 giugno 2011

23. Un oscillatore a impatto con risuonatore di tipo MEMS Rumore 1/f -> elettrico (R) Rumore Termico  elettrico (R) Rumore Termico  meccanico (g) Ciclostazionarietà XXVII Riunione Nazionale dei Ricercatori di Elettrotecnica - Bologna, 15 - 17 giugno 2011

24. Un oscillatore a impatto con risuonatore di tipo MEMS Lo spettro del rumore di fase è stato valutato con la formulazione di Demir calcolando individualmente i contributi termici e 1/f. Sono in corso misure sperimentali. Meccanico – Elettrico – Totale X. Wei, C. Anthony, D. Lowe, and M.CL.Ward, “Design and fabrication of a nonlinear micro impact oscillator,” Procedia Chemistry, vol. 1, pp. 855–858, 2009. Termico 1/f f0= 3.312kHz XXVII Riunione Nazionale dei Ricercatori di Elettrotecnica - Bologna, 15 - 17 giugno 2011

25. Conclusioni e “omissis” Estensione al caso DAE della formulazione per ODE della matrice di transizione per sistemi ibridi. Estensione a circuiti AMS (Analog – Mixed – Signal) di metodi basati sulla matrice di transizione. Risultati non direttamente confrontabili con quelli (non) forniti da altri toolbox commerciali o “simulatori accademici” ma verificati sperimentalmente. Applicazione all’ottimizzazione di oscillatori impulsati F. Bizzarri, A. Brambilla, G. Storti Gajani, “Phase Noise Simulation in Analog Mixed Signal Circuits: An Application to Pulse Energy Oscillators”, Circuits and Systems II: Express Briefs, IEEE Transactions on, vol. 58, n.3, 2011. F. Bizzarri, A. Brambilla, S. Perticaroli, G. Storti Gajani, “Noise in a Phase-Quadrature Pulsed Energy Restore Oscillator”, submitted to ECCTD 2011. Sviluppo di algoritmi per la localizzazione automatica dei manifold di switch o di impatto (anche tempo varianti). XXVII Riunione Nazionale dei Ricercatori di Elettrotecnica - Bologna, 15 - 17 giugno 2011