Federico Bizzarri Dipartimento di Elettronica e Informazione, Politecnico di Milano

1. Analisi numerica di circuiti analogico/digitali: determinazione della soluzione di regime e degli effetti dovuti al rumore Federico Bizzarri Dipartimento di Elettronica e Informazione, Politecnico di Milano P.za Leonardo da Vinci 32, I-20133 Milano, Italy e-mail: bizzarri@elet.polimi.it

2. Analisi numerica di circuiti analogico/digitali: determinazione della soluzione di regime e degli effetti dovuti al rumore

3. Analisi numerica di circuiti analogico/digitali: determinazione della soluzione di regime e degli effetti dovuti al rumore “A chi serve?“ – A chi ha a che fare con l’analisi o la sintesi (con la progettazione) di circuiti elettrici/elettronici che, a regime, presentano un comportamento periodico. “Quando serve?” – Quando i circuiti in esame sono descritti da modelli che presentano discontinuità delle variabili elettriche o delle loro derivate. “A cosa serve?” – Ad estendere a questi tipi di circuiti analisi che si basano sulla risoluzione del problema variazionale che descrive il sistema linearizzato attorno alla sua traiettoria (di regime) nello spazio di stato (matrice di transizione o matrice fondamentale o matrice di sensibilità rispetto alle condizioni iniziali). Milano, 17/18 gennaio 2013

4. Analisi numerica di circuiti analogico/digitali: determinazione della soluzione di regime e degli effetti dovuti al rumore “Quando serve?”– Quando i circuiti in esame sono descritti da modelli che presentano discontinuità delle variabili elettriche o delle loro derivate. • Un circuito analogico con “interruttori” • Un circuito misto analogico-digitale • Un circuito in parte descritto con un linguaggio “behavioural” • Un circuito per cui la ALU del calcolatore che lo simula non è in grado di “seguirne” variazioni molto rapide • … • “A cosa serve?” – Ad estendere a questi tipi di circuiti analisi che si basano sulla risoluzione dell’equazione variazionale che descrive il sistema linearizzato attorno alla sua traiettoria nello spazio di stato (matrice di transizione o matrice fondamentale o matrice di sensibilità rispetto alle condizioni iniziali). • Metodi di “shooting” per il calcolo veloce della soluzione di regime • Analisi di stabilità (moltiplicatori di Floquet) • Analisi del rumore in oscillatori • Funzioni di trasferimento tempo varianti • … Milano, 17/18 gennaio 2013

5. Sommario(cenni delle cose che serve sapere e che si usano abitualmente quando si lavora con circuiti analogici descritti da campi vettoriali “smooth” che ammettono una soluzione di regime periodica) • ModifiedNodalAnalysis • Analisi Steady State (matrice di sensibilità rispetto alle condizioni iniziali) • Analisi di piccolo segnale periodica • Teoria di Floquet • Stabilità • Rumore (di fase e rumore di ampiezza) negli oscillatori Milano, 17/18 gennaio 2013

6. Sommarioestensione ai circuiti misti analogico/digitali • Sistemi dinamici ibridi (un cenno) • Saltation matrix • Derivazione nel caso switching • Formulazione generale • Un esempio semplice di applicazione • Un esempio più complesso (Type-II 3-state PFD PLL) • Il simulatore circuitale PAN Milano, 17/18 gennaio 2013

7. Sommario(cenni delle cose che serve sapere e che si usano abitualmente quando si lavora con circuiti analogici descritti da campi vettoriali “smooth” che ammettono una soluzione di regime periodica) • ModifiedNodalAnalysis • Analisi Steady State (matrice di sensibilità rispetto alle condizioni iniziali) • Analisi di piccolo segnale periodica • Teoria di Floquet • Stabilità • Rumore (di fase e rumore di ampiezza) negli oscillatori Milano, 17/18 gennaio 2013

8. Modifiednodalanalysis (MNA) • L'analisi nodale modificata permette, dato un circuito (non patologico) in generale dinamico • descritto mediante equazioni topologiche (le leggi di Kirchhoff per le tensioni e le correnti) e • le equazioni costitutive dei componenti che lo compongono, • di formulare un modello in grado di descriverne il comportamento. Le incognite del modello fornito dall’MNA sono i potenziali di nodo del circuito (espressi rispetto a un nodo di riferimento) e le correnti di lato di tutti quei componenti che non sono controllabili in tensione. Il modello che l’MNA fornisce per le reti dinamiche (in generale non lineari) è un insieme di equazionialgebriche e differenziali che costituiscono una DAE (differentialalgebraicequation). Si riduce ad un sistema di sole equazioni algebriche per le reti adinamiche (resistive). L’MNA è fondamentale per poter descrivere in modo sistematico un circuito e analizzarne il comportamento mediante un simulatore. Milano, 17/18 gennaio 2013

9. Modifiednodalanalysis (MNA) KCL KCL KVL Nodo di riferimento KCL KVL KCL Milano, 17/18 gennaio 2013

10. Modifiednodalanalysis (MNA) Milano, 17/18 gennaio 2013

11. Modifiednodalanalysis (MNA) Il modello che l’MNA fornisce è (in generale) un insieme di equazioni algebriche e differenziali che costituiscono una DAE (differentialalgebraicequation) ma … ci limiteremo al caso in cui esso sia semplicemente una ODE (ordinarydifferentialequation). • Questa ipotesi non fa perdere generalità agli argomenti che vedremo per due ragioni: • Sarebbe possibile ma più complicato lavorare direttamente su una DAE • Se si trascurano connessioni patologiche*, esiste sempre una opportuna trasformazione che utilizza trasferitori ideali di potenza e permette di ottenere, a partire dal circuito di partenza, un circuito identico ma modellabile mediante una ODE. * Maglie di soli induttori e generatori di tensione e tagli di soli condensatori e generatori di corrente Milano, 17/18 gennaio 2013

12. Modifiednodalanalysis (MNA) In generale si prevede di aver a che fare con legami del tipo carica-tensione e flusso-corrente di tipo non lineare. In questo caso, come nel nostro esempio, condensatori e induttori sono lineari. Milano, 17/18 gennaio 2013

13. Sommario(cenni delle cose che serve sapere e che si usano abitualmente quando si lavora con circuiti analogici descritti da campi vettoriali “smooth” che ammettono una soluzione di regime periodica) • ModifiedNodalAnalysis • Analisi Steady State (matrice di sensibilità rispetto alle condizioni iniziali) • Analisi di piccolo segnale periodica • Teoria di Floquet • Stabilità • Rumore (di fase e rumore di ampiezza) negli oscillatori Milano, 17/18 gennaio 2013

14. Analisi Steady-State (Shooting) L'analisi e la progettazione di circuiti elettronici, che prevedono a regime un funzionamento di tipo periodico, si avvalgono di metodi di simulazione numerici di tipo "steady-state“. CIRCUITO ELETTRONICO “SMOOTH” In modo efficiente, cioè non si vuole fare una lungasimulazione del transitorio e poi ricavare la soluzione di regime ma si cerca direttamente la soluzione di regime! Non è un “capriccio”: se progettiamo ad esempio un oscillatore ad alto Q, la simulazione della convergenza all’orbita di regime può impiegare ore ed ore di simulazione! Milano, 17/18 gennaio 2013

15. Ad esempio … (Oscillatore di Van derPol) Analisi in transitorio Shooting (T= 6.2871s) Milano, 17/18 gennaio 2013

16. Come ottenere in modo efficiente la soluzione di regime? Impostiamo il problema “trovare la soluzione periodica di regime” come un problema al contorno cioè un BoundaryValueProblem (BVP) Assumiamo che il circuito sia autonomo (possiamo quindi scegliere t0=0) e normalizziamo il tempo t rispetto al periodo incognitoT (t= t/T). Il sistema diventa periodico di periodo 1. Sia la funzione di transizione di stato da 0 a t. Idea: posso provare a capire di quanto cambiare la condizione iniziale e il periodo affinché l’orbita si chiuda? Dovrei capire quanto il punto finale è sensibile rispetto al punto iniziale e al periodo … Milano, 17/18 gennaio 2013

17. Come ottenere in modo efficiente la soluzione di regime? Trovare la condizione iniziale e il periodo tali da far chiudere l’orbita … … purtroppo il problema così definito ammette infinite soluzioni … … che scivolano in fase! Sia una opportuna “condizione di fase” che garantisce l’unicità della soluzione del BoundaryValueProblem (BVP) … è un’equazione algebrica non lineare che dipende da … riscriviamo BVP come … Milano, 17/18 gennaio 2013

18. Come ottenere in modo efficiente la soluzione di regime? Questo BVP che dipende da N+1 incognite è un sistema di N+1 equazioni algebriche non lineari che può essere risolto numericamente, ad esempio, con il metodo di Newton. Milano, 17/18 gennaio 2013

19. Milano, 17/18 gennaio 2013

20. Alla quarta iterazione: Alla decima iterazione: All’undicesima iterazione: Milano, 17/18 gennaio 2013

21. Come ottenere in modo efficiente la soluzione di regime? La La La soluzione corrente è adeguata? END SI Sensibilità della traiettoria rispetto alle condizioni iniziali NO La Milano, 17/18 gennaio 2013

22. Come ottenere in modo efficiente la soluzione di regime? ProblemaLinearizzato Sistemadi ODE lineari e tempovarianti Milano, 17/18 gennaio 2013

23. Come ottenere in modo efficiente la soluzione di regime? Se la matrice JacobianaJf di f esiste allora il problema linearizzatopuò essere risolto in parallelo al problema non lineare originale e permette di calcolare la sensibilità della soluzione rispetto alle condizioni iniziali. … una volta trovata la soluzione periodica di regime … Milano, 17/18 gennaio 2013

24. Il sistema variazionale Operativamente la soluzione del sistema ODE e la matrice di sensibilità rispetto alle condizioni si ricavano “in parallelo” risolvendo un problema di tipo ForwardSensitivityAnalysis (FSA) Se xs(t) è soluzione allora è possibile calcolare l’effettoDxs(t) sulla soluzione di una perturbazione Dx0 delle condizioni iniziali come Dxs(t)= F(t,t0) Dx0(t0) Milano, 17/18 gennaio 2013

25. Matrice sensibilità rispetto alle condizioni iniziali - Proprietà - • Proprietà di composizione • Proprietà di mapping Milano, 17/18 gennaio 2013

26. Sommario(cenni delle cose che serve sapere e che si usano abitualmente quando si lavora con circuiti analogici descritti da campi vettoriali “smooth” che ammettono una soluzione di regime periodica) • ModifiedNodalAnalysis • Analisi Steady State (matrice di sensibilità rispetto alle condizioni iniziali) • Analisi di piccolo segnale periodica • Teoria di Floquet • Stabilità • Rumore (di fase e rumore di ampiezza) negli oscillatori Milano, 17/18 gennaio 2013

27. Analisi del sistema linearizzato attorno all’orbita di regime Una volta determinata l’orbita di regime, è possibile utilizzare la linearizzazione del sistema originale attorno ad essa per determinare gli effetti dovuti a piccoli segnali periodici che la perturbino (periodicsmallsignalanalysis - PAC). ipotesi Milano, 17/18 gennaio 2013

28. Analisi del sistema linearizzato attorno all’orbita di regime • Sistema di equazioni differenziali lineari tempo-varianti periodico del primo ordine (LTVP). • Se e u(t) sono continue nell’intervallo di definizione di t allora il problema ammette una sola soluzione. L’integrale generale (l’insieme di tutte le soluzioni xk) del sistema omogeneo associato al problema LTV è un sottospazio di dimensione N. Matrice fondamentale … … dal Teorema Liouville. È ancora una ancora matrice fondamentale. Milano, 17/18 gennaio 2013

29. Analisi del sistema linearizzato attorno all’orbita di regime Ammette unica soluzione Matrice risolvente canonica o matrice di transizione Ammette unica soluzione (Formula di Lagrange) Milano, 17/18 gennaio 2013

30. Analisi del sistema linearizzato attorno all’orbita di regime Il calcolo della matrice di transizione risulta quindi fondamentale perché … … assumendo un ingresso periodico di piccolo segnale … … è l’unico elemento che serve per calcolare come si riflette sullo stato del sistema … Milano, 17/18 gennaio 2013

31. Analisi del sistema linearizzato attorno all’orbita di regime Vediamo un esempio con l’oscillatore di Van derPol … (Attenzione: nello spazio di stato la traiettoria si interseca perché il sistema perturbato è non autononomo) Milano, 17/18 gennaio 2013

32. Analisi del sistema linearizzato attorno all’orbita di regime Traiettoria di “piccolo segnale” visualizzata su 3 periodi del sistema non perturbato ovvero 11 periodi della perturbazione. Traiettoria di “grande segnale” visualizzata su 3 periodi del sistema non perturbato ovvero 11 periodi della perturbazione. Milano, 17/18 gennaio 2013

33. Analisi del sistema linearizzato attorno all’orbita di regime Lo spettro del piccolo segnale presenta armoniche sottomultiple della fondamentale di grande segnale dato che la sua fondamentale è 1/3 di quest’ultima. Milano, 17/18 gennaio 2013

34. Analisi del sistema linearizzato attorno all’orbita di regime In questo caso lo spettro del piccolo segnale ha la stessa fondamentale del grande segnale. Milano, 17/18 gennaio 2013

35. Singole frequenze diverse in ingresso generano spettri diversi in uscita. Singole frequenze diverse in ingressopossono dare contributi su frequenze identiche in uscita. Milano, 17/18 gennaio 2013

36. Cosa si può fare con la “periodicsmallsignalanalysis” • Stabilisco dove inserire una sorgente di piccolo segnale (come termine additivo di una delle ODE che descrivono il sistema) • Calcolo l’effetto di piccolo segnale di questa sorgente su tutte le variabili di stato che mi interessano ottenendo uno spettro opportuno per ciascuna di esse. • Si stabilisce così una relazione tra una singola frequenza in ingresso e uno spettro in uscita. • Stabilisco dove inserire una sorgente di piccolo segnale (come termine additivo di una delle ODE che descrivono il sistema) • Faccio una scansione per tanti valori della frequenza della sorgente in ingresso e per ciascun valore (come al punto 1.) ottengo uno spettro. • Fisso un valore di riferimento in frequenza, identico per ciascuno spettro in uscita, e calcolo il valore dello spettro a quella frequenza. • Costruisco un grafico e metto in ascissa le frequenze su cui ho eseguito la scansione in ingresso e in ordinata il valore estratto da ogni spettro alla medesima frequenza fissata. • Fisso un insieme di frequenze possibili in ingresso e un insieme di frequenze in uscita. • Per ciascuna frequenza in uscita calcolo il contributo (se esiste) di ciascuna delle frequenze in ingresso. • Costruisco un grafico e metto in ascissa le frequenze scelte in uscita e in ordinata i contributi ottenuti. • In questo modo posso valutare, in una banda di interesse, l’effetto di un rumore per sovrapposizione degli effetti in frequenza. Milano, 17/18 gennaio 2013

37. Sommario(cenni delle cose che serve sapere e che si usano abitualmente quando si lavora con circuiti analogici descritti da campi vettoriali “smooth” che ammettono una soluzione di regime periodica) • ModifiedNodalAnalysis • Analisi Steady State (matrice di sensibilità rispetto alle condizioni iniziali) • Analisi di piccolo segnale periodica • Teoria di Floquet • Stabilità • Rumore (di fase e rumore di ampiezza) negli oscillatori Milano, 17/18 gennaio 2013

38. Matrice di transizione - Proprietà per sistemi lineari tempo varianti periodici - • Assumiamo che • Esponenti di Floquet (per ipotesi N distinti) • Floquet (1883) • Moltiplicatori di Floquet • Matrice di Monodromia • Decomposizione Milano, 17/18 gennaio 2013

39. Matrice di transizione - Proprietà per sistemi lineari tempo varianti periodici - matrice diagonale è una matrice fondamentale … Poiché la soluzione del sistema di equazioni lineari tempo varianti (periodico) è esprimibile come combinazione lineare delle colonne di una matrice fondamentale … Le costanti ci dipendono dalle condizioni iniziali del problema. Periodicità: un esponente nullo ( : un moltiplicatore unitario) Stabilità: altri esponenti con parte reale negativa (altri moltiplicatori nel cerchio unitario) Milano, 17/18 gennaio 2013

40. Sommario(cenni delle cose che serve sapere e che si usano abitualmente quando si lavora con circuiti analogici descritti da campi vettoriali “smooth” che ammettono una soluzione di regime periodica) • ModifiedNodalAnalysis • Analisi Steady State (matrice di sensibilità rispetto alle condizioni iniziali) • Analisi di piccolo segnale periodica • Teoria di Floquet • Stabilità • Rumore (di fase e rumore di ampiezza) negli oscillatori Milano, 17/18 gennaio 2013

41. Stabilità L0: ciclo limite soluzione periodica del problema non lineare di partenza S: (sezione di Poincaré) superficie localmente ortogonale ad L0 P: Mappa di Poincaré associata a L0 (punto fisso per la mappa) Definiamo un sistema di coordinate (y1, y2, …, yN-1) su S per il quale il punto x0 è l’origine. Il punto x0 è stabile se gli autovalori di A giacciono nel cerchio di raggio unitario La stabilità del ciclo L0 è identica a quella del punto x0 per la mappa. Si dimostra che gli N-1 autovalori di A sono gli N-1 autovalorinon unitari di Milano, 17/18 gennaio 2013

42. Ad esempio … (Oscillatore di Van derPol) Shooting (T= 6.2871s) Milano, 17/18 gennaio 2013

43. Sommario(cenni delle cose che serve sapere e che si usano abitualmente quando si lavora con circuiti analogici descritti da campi vettoriali “smooth” che ammettono una soluzione di regime periodica) • ModifiedNodalAnalysis • Analisi Steady State (matrice di sensibilità rispetto alle condizioni iniziali) • Analisi di piccolo segnale periodica • Teoria di Floquet • Stabilità • Rumore (di fase e rumore di ampiezza) negli oscillatori Milano, 17/18 gennaio 2013

44. Rumore di fase e rumore di ampiezza negli oscillatori In generale, come abbiamo già accennato, quando parliamo degli effetti di un rumore che ipotizziamo sufficientemente piccolo e additivo, pensiamo ad un disturbo che vada a sommarsi al segnale “noiseless” che ci interessa. ipotesi Più realisticamente è opportuno pensare che l’effetto del rumore si rifletta sul segnale noiseless con due contributi distinti che ne deteriorano due caratteristiche: l’ampiezza e la fase. Amplitudedeviation Phasedeviation (o PhaseResponse) In generale il rumore di fase preoccupa molto di più i progettisti di quanto non faccia il rumore di ampiezza e cercheremo di capire qualitativamente perché. Milano, 17/18 gennaio 2013

45. Rumore di fase e rumore di ampiezza negli oscillatori Una prima considerazione: se la soluzione perturbata è molto vicina alla soluzione noiseless, cioè c’è una piccola amplitudedeviation, può comunque essere presente una phasedeviation consistente! Milano, 17/18 gennaio 2013

46. Rumore di fase e rumore di ampiezza negli oscillatori Inoltre, se il ciclo limite è stabile, potremmo perfino avere il caso in cui un piccolo disturbo che agisce tipo un “ping” produce un effetto in ampiezza che si attenua e svanisce e una perturbazione in fase che non si recupera mai più! Le linee blu sono isocrone: se parto da punti che stanno su una stessa isocrona arrivo sul ciclo nello stesso tempo*. Attenzione: le isocrone sono un’approssimazione della dinamica non lineare. In realtà dai punti rosso e verde si giunge all’orbita in un tempo infinito altrimenti le traiettorie si intersecherebbero violando l’unicità locale della soluzione. Milano, 17/18 gennaio 2013

47. Rumore di fase e rumore di ampiezza negli oscillatori Se parto da isocrone diverse arrivo sull’orbita in tempi diversi e poi rimango sfasato per sempre! Nota importante: recupero completamente la deviazione di ampiezza iniziale ma l’effetto sulla fase è irreparabile! Milano, 17/18 gennaio 2013

48. Rumore di fase e rumore di ampiezza negli oscillatori … il “ping” perturba porta la traiettoria lasciandola sulla stessa isocrona. … gli effetti sull’ampiezza del ciclo delle (piccole) perturbazioni (dovute a sorgenti di rumore) si attenuano quindi il rumore di ampiezza non è di grande interesse.

49. Rumore di fase e rumore di ampiezza negli oscillatori … gli effetti sulla fase del ciclo delle (piccole) perturbazioni (dovute a sorgenti di rumore) potrebbero non attenuarsi mai più!. … il “ping” perturba porta la traiettoria non spostandola dall’attrattore ma facendola scivolare sulle isocrone.

50. Rumore di fase e rumore di ampiezza negli oscillatori E’ possibile scomporre gli effetti totali di rumore, ottenuti ad esempio mediante analisi periodiche di piccolo segnale, in contributi in fase e contributi in ampiezza? La risposta è “sì” e si deve passare attraverso una vecchia conoscenza: la matrice di transizione di stato. Nel contesto della teoria dei circuiti è stata proposta una teoria all’inizio degli anni 2000 da AlperDemiret al. (e poi applicata/dettagliata da altri) che permette di scomporre questi contributi. Si basa su metodi di proiezione della perturbazione lungo un particolare vettore tempovariante e, in realtà, anche nei primi anni 2000* non era del tutto nuova perché in altri contesti (oscillatori più in senso lato) è nota dal 1960 (Teorema di Malkin). Non entriamo in alcun tipo di dettaglio ma si afferma “soltanto che per ottenere il rumore di fase è necessario calcolare l’andamento temporale (in un periodo) dell’autofunzione sinistra (corrispondente al moltiplicatore unitario) della matrice di transizione. A. Demir, A. Mehrotra, J. Roychowdhury, “Phase Noise in Oscillators: A Unified Theory and Numerical Methods for Characterization, “ IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Fundamental Theory and Applications”, vol. 47, No. 5, pp. 655--674, May 2000. Milano, 17/18 gennaio 2013