Quadrati Magici

1. Quadrati Magici Tesina di Cristina Colautti 4aB - Tur A.S. 2005-/06

2. I quadrati magici • Introduzione all’argomento • Che cos’è un quadrato magico • Caratteristiche basilari • Tipi di quadrati • Magici e semimagici • Panmagici • Bimagici e trimagici • Quadrato latino • Personaggi citati in questa parte • Storia • Origini • Il caso “Melancolia” di Dhürer • Sagrada Familia • I personaggi citati nella parte • Conclusioni • È solo matematica? • Chiusura

3. Cos’è un quadrato magico Un quadrato magico è un quadrato suddiviso in un certo numero di caselle e nel quale un numero componente la serie aritmetica corrispondente al numero delle caselle viene scritto una sola volta e in modo tale che la somma di ciascuna riga, di ciascuna colonna o di ciascuna diagonale sia sempre la stessa. Il risultato del quadrato magico è chiamato chiave del quadrato. I numeri utilizzati per formare un quadrato magico sono quelli naturali 1,2,3,4,5…

4. Caratteristiche basilari I quadrati magici costruiti con i numeri hanno le seguenti caratteristiche: • Sono formati da un minimo di tre caselle per lato (non esistono quadrati magici con due caselle per lato e quelli costituiti da una sola casella non sono, ovviamente, interessanti); • I numeri che vengono utilizzati per riempire le caselle devono essere in una sequenza (si utilizzano ad esempio i numeri da 1 a 9, da 1 a 16, oppure anche da 0 a 15, e così via) e non possono essere ripetuti; • I numeri della sequenza devono essere disposti nelle caselle in modo che la somma di ciascuna riga, la somma di ciascuna colonna e la somma di ciascuna diagonale diano come totale un valore sempre identico.

5. Il numero di righe e di colonne si chiama ordine del quadrato (per esempio un quadrato formato da 3 righe e 3 colonne è un quadrato magico di ordine 3 oppure un quadrato formato da 4 righe e 4 colonne è un quadrato magico di ordine 4 e così via..) La costante magica, o semplicemente costante, è invece il totale della somma a fine colonna o a fine riga o a fine diagonale. La costante del quadrato magico vale: k= ((n2+1)/2)*n dove n sta per il numero delle caselle per lato.

6. Quadrato di ordine 3, 4 e dispari In un quadrato di ordine 3, ad esempio, la costante è pari a 1/2*(27+3)=15 In un quadrato di ordine 4, ad esempio, la costante è pari a ((16+1)/2)*4=34. Nei quadrati magici di ordine dispari (3, 5, 7 e così via) la costante è sempre uguale alla metà della somma tra il valore dell'ordine elevato al cubo e il valore dello stesso ordine. In pratica: k=1/2*(n3+n)

7. Tipi di quadrati Esistono molti tipi di quadrati magici: i più noti sono quelli realizzati con i numeri, ma se ne possono inventare anche con le lettere dell'alfabeto un esempio è il quadrato pompeiano (o “latercolo latino”).

8. Magici e semimagici Questo è un esempio di un quadrato magicodi ordine 3 e la sua costante magica è 15. Un quadrato è detto semi-magico se sono uguali soltanto i totali delle righe e delle colonne. I quadrati magici 3 per 3 e 4 per 4 non sono ovviamente i soli possibili: anzi, modificandoli appropriatamente ed aggiungendo loro dei bordi si possono ottenere quadrati 5 per 5 e 6 per 6, da cui si possono poi ottenere quadrati 7 per 7 e 8 per 8, e cosi via. In altre parole, quadrati magici n per n esistono per ogni n maggiore di 2.

9. Panmagici Oltre alle diagonali principali, che nel caso dell'esempio sono le terne (2, 5, 8) e (6, 5, 4), si possono considerare anche le diagonali spezzate, vale a dire (7, 1, 4); (6, 9, 3); (2, 1, 3) e (7, 9, 8). Così, un quadrato magico si dice panmagico o pandiagonale se anche la somma di ogni diagonale spezzata è uguale alla costante del quadrato magico. Il quadrato magico di ordine 3 mostrato nella diapositiva prima non è panmagico, mentre quello a fianco di ordine 4, è panmagico di costante 34.

10. Bimagico e trimagico Un quadrato magico si dice bimagico, o doppiamente magico, se rimane magico anche dopo aver sostituito i suoi elementi con i rispettivi quadrati; analogamente si dice trimagico se rimane magico dopo averne sostituito gli elementi con i rispettivi cubi.

11. Tipo latino Il quadrato latino, un "parente" lontano del quadrato magico, è un quadrato che ha per elementi gli interi 1, 2, ..., n (o qualunque altro gruppo di n numeri distinti), ciascuno dei quali ripetuto n volte, disposti in modo che gli interi di ogni fila e di ogni colonna siano tutti distinti. Così sono esempi di quadrati latini. Se si sovrappone il secondo sul primo, mantenendo lo stesso ordine di ciascuno, si ottiene il quadrato di coppie in cui nessuna coppia si ripete. Un quadrato di coppie senza ripetizioni, come quello in figura, si chiama quadrato di Eulero, dal nome del matematico svizzero Leonhard Euler, o quadrato greco-latino.

12. Personaggi citati in questa parte Leonhard Euler Nonostante i problemi alla vista che lo afflissero fin dalla giovane età, Eulero fu un grande matematico, il cui contributo andò sia alla disciplina pura che a quellla applicata. Oltre che di algebra, trigonometria e calcolo infinitesimale, si occupò infatti anche di acustica, meccanica, astronomia e ottica.

13. Storia • Origini Sembra che i primi a scoprire le proprietà dei quadrati magici siano stati i cinesi ai tempi della dinastia Shang, nel duemila a. C. Una curiosa leggenda narra che un pescatore trovò lungo le rive del fiume Lo, un affluente del fiume Giallo, una tartaruga che portava incisi sul suo guscio degli strani segni geometrici. Il pescatore portò la tartaruga all’imperatore e i matematici al suo servizio studiando quei segni, scoprirono una imprevedibile struttura: un quadrato di numeri con somma costante 15 su ogni riga, colonna o diagonale. Lo Shu, così venne battezzato questo quadrato numerico, diventò uno dei simboli sacri della Cina, rappresentazione dei più arcani misteri della Matematica e dell’Universo.

14. I cinesi attribuirono alle sue proprietà matematiche un significato mistico, tanto da farne il simbolo che in sè riuniva i princìpi che formarono le cose, gli uomini e l'universo.Così i numeri pari vennero a simbolizzare il principio femminile dello yin, mentre i dispari quello maschile dello yang. Al centro vi è il numero 5 che appartiene alle due diagonali, alla colonna e alla riga centrali: esso rappresenta la Terra. Tutto attorno sono distribuiti i quattro elementi principali: i metalli simbolizzati dal 4 e dal 9, il fuoco indicato dal 2 e dal 7, l'acqua dall'1 e dal 6 e il legno dal 3 e l’8. I quadrati magici probabilmente giunsero in Occidente attraverso gli Arabi.

15. Dal Rinascimento in poi c’è sempre stato interesse per queste figure che, intagliate nel legno o in altri materiali, servivano come amuleti e sono tuttora in uso in alcune regioni dell’Oriente. Nel '500 e nel '600 si pensava che questi quadrati magici incisi su una piccola lastra d’argento potessero servire come amuleti contro la peste.Anche il matematico Cornelio Agrippa (1486-1535) si interessò alla costruzione dei quadrati magici ne costruì di ordine 3,4,5,6,7,8,9. L’alone di mistero e di magia che circonda queste figure geometriche è in parte comprensibile se si analizzano le loro sorprendenti possibilità combinatorie. Agrippa di Nettesheim, Heinrich Cornelius (Nettesheim, Colonia 1486 - Grenoble 1535), filosofo tedesco. Si dedicò a studi medici, astrologici e alchimistici, coltivando la conoscenza dell'ebraico al fine di approfondire la dottrina della cabala. I suoi interessi, quali traspaiono specialmente dall'opera De occulta philosophia (1533), ne fanno un tipico esponente dell'ermetismo e della cultura magica e occultistica dell'età rinascimentale; ma il suo pensiero si avvicinò anche ai temi dello scetticismo, che egli introdusse nella cultura rinascimentale con l'opera De incertitudine et vanitate omnium scientiarum (Dell'incertezza e vanità di tutte le scienze, 1530).

16. Il caso “Melancolia” di Dhürer Uno tra più noti quadrati magici è sicuramente quello che compare nell’incisione di Dürer, Melancolia: la data dell'opera è il 1514, ed è riportata nelle due caselle centrali dell'ultima riga. Questo quadrato veniva spesso inciso su un piatto d'argento, e regolarmente usato come talismano contro la peste.

17. Personaggi citati in questa parte Albrecht Dürer Dürer: Autoritratto Un celebre Autoritratto (1498, Museo del Prado, Madrid) di Albrecht Dürer in eleganti abiti rinascimentali. Il dipinto fu realizzato dal pittore ventiseienne e sarà seguito da altri famosi autoritratti, con i quali Dürer pare indagare e mettere in questione – spesso con accenti drammatici – la sua persona, il suo ruolo sociale, il suo valore artistico.

18. Il caso “Sagrada Familia” di Antoni Gaudi Si può trovare un altro esempio di quadrato magico anche nella cattedrale “La Sagrada Famiglia” dell’architetto Antoni Gaudì a Barcellona precisamente sulla Facciata della Passione (opera dello scultore Joseph Maria Subirachs) dietro la statua di Giuda che bacia Gesù, oltre ad un serpente che rappresenta il diavolo, c'era infatti la seguente tabella di 16 numeri. E' interessante notare che la somma dei numeri di ciascuna riga, di ciascuna colonna e di ciascuna diagonale è sempre la stessa, cioè 33 che si riferisce all’età che aveva Cristo quando morì: ci sono infatti 88 modi in cui quattro numeri della tabella danno come somma 33.

19. Sagrada Familia, Barcellona L'incompiuta chiesa neogotica della Sagrada Familia è il fantasioso capolavoro dell'architetto catalano Antoni Gaudí, che l'iniziò nel 1883 e nel 1891 ne concluse le tracce generali. Nel 1908 egli pubblicò la prima immagine definitiva del tempio, che non riuscì a portare a termine: Gaudí perse la vita in un incidente nel 1926. Nel 1979 i lavori nella chiesa ripresero sulla base del progetto originale, nonostante i pareri discordi intorno al destino dell'opera, che molti ritenevano dovesse restare nella sua forma incompleta come monumento all'estrosità e all'audacia creativa del suo autore. Robert Frerck/Woodfin Camp and Associates, Inc.

20. Personaggi citati in questa parte Gaudí i Cornet, Antoni (Reus, Catalogna 1852 - Barcellona 1926) • Nel 1883 l'architetto intraprese il progetto della chiesa della Sagrada Familia la quale, sebbene rimasta incompiuta e tuttora in fase di lenta realizzazione, è ritenuta il suo capolavoro. Per struttura e per effetti cromatici l'edificio non ha eguali nell'architettura europea: le forme fantasiose e le alte guglie ricoperte di mosaici sono divenute una sorta di simbolo di Barcellona. Fra gli altri lavori di Gaudí famosi sono la Casa Batlló (1905-1907) e la Casa Milá (1905-1910). Queste grandi strutture, in pietra e ferro, riducono al minimo le linee rette e le superfici piatte tramite l'uso di aperture arrotondate a distanza irregolare; il tetto e i balconi hanno un andamento che richiama le onde marine.

21. Conclusioni • È solo matematica ? Da molto tempo l’uomo cerca di conoscere il mondo in torno a se: conosciuto o sconosciuto , fisico od astratto. La matematica si sa è una scienza esatta, pertanto con essa ed in essa si cercano risultati certi, provati, sicuri. L’uomo riversa speranze e valuta le soluzioni di ogni tipo certo che Dio, nel creare ogni cosa, “non gioca a dadi” come esclamò Albert Ainstein. La storia dei quadrati magici di mostra però che l’ uomo ha voluto usare i numeri per andare oltre iniziando così a cercare nei numeri e nelle loro combinazioni ciò che non è scritto come dimostra la scienza divinatoria della numerologia oppure per sfuggire a ciò che non conosce. L’uomo si distrae dalle sue ansie che ogni tanto la vita gli riserva con i numeri giocando con essi ai vari giochi come ai quadrati del sudoku e dai giochi in cui può sfidare la fortuna o il caso che sono coloro che a volte scandiscono la sua stessa vita. I quadrati magici sono un divertimento del passato? Come si è visto nella legenda cinese, i quadrati magici nascondono qualcosa? I quadrati magici hanno valore pratico nella vita scientifica e di tutti i giorni? La risposta a queste domande dipende da chi si accosta a questi giochi numerici, ma una cosa è certa; davanti ad un quadrato magico ogni persona esprimerà ciò che è interiormente come un bravo artista dipingerà ciò che più gli sta a cuore sul suo quadrato di tela. Forse, la magia dei quadrati è questa. Forse non è solo matematica.

22. Lavoro svolto da Cristina Colautti Fonti del materiale Provider Google Microsoft® Student 2006 Enciclopedia Encarta Compatta 4aB – Tur A.S. 2005-/06