Metodo dei minimi quadrati

1. Metodo dei minimi quadrati • Metodo dei minimi quadrati • Teoria dei minimi quadrati

2. Metodo dei minimi quadrati Ipotesi: • m punti sperimentali (coppie (xj, yj)) • Equazione polinomiale di grado n data dalla somma di n funzioni φ dipendenti da x Obiettivo: • Trovare i valori dei parametri αi minimizzando lo scarto fra i valori sperimentali e quelli previsti dal modello, al fine di ottenere un modello che, data x, permetta di stimare y generica funzione di x

3. Metodo dei minimi quadrati Termine da minimizzare:il quadrato dello scarto tra i dati sperimentali e quelli previsti dal modello scarto della j-esima coppia

4. Metodo dei minimi quadrati il termine da minimizzare è una funzione positiva dipendente dai parametri αi, perciò per determinare i parametri αi per i quali la funzione ha un minimo, si cercano gli αi tali per cui tutte le derivate prime parziali siano nulle

5. Metodo dei minimi quadrati per semplificare la formulazione del problema si definisce un vettore colonna φi in cui il j-esimo elemento corrisponde alla funzione φi calcolata nel punto sperimentale xj. raggruppando le n colonne φi si ottiene la matrice B, di m righe e n colonne

6. Metodo dei minimi quadrati definito il vettore colonna d dei valori sperimentali yj e il vettore colonna α dei parametri αi, l’equazione (1) diventa: NB: L’OBIETTIVO È TROVARE α dati Be d

7. Metodo dei minimi quadrati se la matrice Bè ortogonale, il prodotto BTBrestituisce una matrice diagonale i cui elementi sono rappresentati dalle norme della sua base, perciò si può scrivere nel modo seguente: si può operare una trasformazione di base in modo da ortogonalizzare la matrice B, in modo da poter calcolare il vettore α ma Bnon è ortogonale

8. Metodo dei minimi quadrati per ortogonalizzare si utilizza una procedura iterativa:- la prima componente della nuova base è identica a quella della vecchia base- ciascuna ulteriore componente della nuova base è identica a quella della vecchia base MENO il prodotto scalare fra la vecchia componente e le nuove appena trovate, in modo che tutte le componenti della nuova base siano tra loro indipendenti nel nuovo sistema si ottiene ortogonalizzazione di Gram-Schmidt

9. Metodo dei minimi quadrati seguendo la procedura iterativa dell’ortogonalizzazione di Gram-Schmidt si ottiene: si può introdurre un ulteriore termine: βi,p si può riscrivere il risultato dell’ortogonalizzazione come αi’ è diverso da αi!!

10. Metodo dei minimi quadrati Per risalire agli α iniziali si procede nel seguente modo: αi’ è diverso da αi!!

11. Metodo dei minimi quadrati Caso lineare: • Modello • Ortogonalizzazione • Param. del mod. ortog. • Modello ortog.

12. Metodo dei minimi quadrati Retta dei minimi quadrati (I ordine) • Modello • Modello ortogonalizzato • Parametri del modello

13. Esercizio 1: applicazione dei minimi quadrati al caso del I ordine • Sono state eseguite delle prove su un dispositivo gomma-metallo al fine di stimarne la rigidezza longitudinale. I risultati ottenuti sono i seguenti:

14. Esercizio 2: applicazione dei minimi quadrati al caso del secondo ordine • Un proiettile viene sparato con un angolo incognito e la distanza che raggiunge lungo l’asse di sparo viene misurato utilizzando una videocamera ad alta velocità. Si devono determinare la velocità iniziale e il valore di decelerazione.