로바체프스키와 비유클리드기하학 한광고등학교 1 학년 7 반 허영회

1. 로바체프스키와 비유클리드기하학 한광고등학교 1학년 7반 허영회

2. 차례 • 수학자 로바체프스키 소개 • 비유클리드기하학이란 무엇인가? a.비유클리드기하학의 시작 b.비유클리드기하학에선 모든게 다달라진다 • 후기

3. 소개 • 로바체프스키(1792.12.1~1856.2.24) 국적-러시아 주요업적-비유클리드기하학의 체계적 정리

4. 로바체프스키는 그가 살던 시대에서 성서처럼 여겨지던 유클리드의 기하학을 의심하고 거기에 반론을 제기한 사람이다. 원론의 포함 되 있는 5번째 공준의 결함을 발견하고 체계적으로 정리한 인물이다. 물론 그가 약2000년간 기하학을 지배해온 유클리드하학을 문제 삼았을 때 많은 사람들에게 욕먹고 손가락질 당했다. 왜냐하면 그것은 진리를 부정 하는 것 과 같았기 때문이다. 하지만 시간이 흐르자, 그는 인정 받게 되었고, 사람들의 수학관 뿐만 아니라 철학까지 바꾸게 만든다.

5. 비유클리드 기하학이란 무엇인가? 고속도로의 차선을 생각해 보자. 얼마나 길고 곧게 뻗은 ‘직선’인가. 그런데 그 선을 비행기에서 내려다보면 사실은 굽은 선이다. 둥근 지구 위에는 선을 아무리 똑바로 그려도 굽을 수밖에 없기 때문이다. 이처럼 직선을 그릴 수 없는 공간을 생각하다 발견한 기하학이 바로 비유클리드 기하학이다.

6. 비유클리드기하학의 시작! 비유클리드기하학은 유클리드 기하학 원론의 다섯 번째 공리를 부정하는 것으로 시작한다. 그리고 로바체프스키 이전에 많은 수학자들과 다르게 다섯 번째 공리를 부정해 모순을 증명하려고 한 사람은 사케리라는 사람이다. 사케리는 모순을 증명하려고 노력하는 과정에 많은 사실을 얻었음에도 불구하고 모순을 얻지 못했다면서 자신이 연구한 자료를 모두 버렸다. 그는 새로운 기하학 발견을 문 앞에서 포기한 수학자가 된 셈이다.

7. 그러나 독일의 가우스 와 러시아의 로바체프스키,헝가리의 보여이 는 새로운 생각을 했다. 평행선 공리(다섯 번째 공리)를 부정하면 모순이 생기는 것이 아니라 새로운 기하학이 생긴다고 한것이다.이렇게 비유클리드기하학이 세상에 알려지게 된다.

8. 비유클리드기하학에서는 모든 것이 달라진다! 비유클리드 기하학 중 구면기하학은 구의 곡면을 다루는 기하학이다. 지구를 구라고 가정했을 때 지구 표면에서 두 지점을 잇는 가장 짧은 선을 생각해 보자. 예를들어 유럽의 항공노선은 평면지도에서는 구부러진 곡선으로 보여 먼 거리를 돌아가는 것처럼 보이지만 지구본에서 살펴보면 최단 거리임을 확실하게 알 수 있다. 이렇게 곡면 위에서 두 점 간의 최단 거리를 측지선이라고 한다. 즉,직선이 최단거리가 아니라 곡선이 최단거리가 되는 것이다.

9. 그리고 구면기하학에서는 직선을 구의 중심을 포함하는 대원의 둘레로 정의한다. 두 점을 잇는 최단거리인 측지선은 대원의 일부다.또, 위처럼 평평한 면에서 직선은 끝이 없는 곧은 선이지만, 구면기하학에서 직선은 구의 중심을 포함하는 대원이라 길이가 유한하다. 따라서 구면기하학에서 두 직선은 반드시 두 점에서 만나게된다.

10. 구면에서는 삼각형 내각의 합이 180°보다 크다. 거인이 구면 위에 삼각형을 그린다고 상상해 보자. 볼록한 구면에서 그리는 삼각형은 평평한 평면에서 그린 삼각형과 다르다. 이때 삼각형 내각의 합은 180°보다 커진다. 우리는 삼각형 내각의 합을 180°로 알고 있지만 이 사실이 언제나 옳은 진리는 아닌 것이다.

11. 후기 대부분은 기존 지식이 다 옳고 거기에 대해 의심할 줄 모르는데 이젠 그런 태도를 버리고 완벽하게 보이는 것도 한번 비판해보는 것이 굉장히 중요하다는 사실을 깨달았다. 난 새로운 것(뉴스라던가 신문기사 등등..) 을 그냥 받아들이는 성향이 있다. 즉,비판하는 생각 한번 가져보지 않는다는 것이다. 그러나 로바체프스키를 조사하는 과정의 나의 그러한 행동에 크게 반성하게 되었다. 또,앞으로는 의식해서라도 무엇인가를 그냥 받아드리는 것 보단 한번쯤은 다른 방향에서 바라보고 의심해보는 태도를 가지도록 노력해야겠다.