4.2. Jatkuva jakauma

1. 4.2. Jatkuva jakauma

2. Kasvatetaan koehenkilöiden määrää Luokkaväliä pienennetään  Histogrammin pylväiden kokonaisala = 1 ”todennäköisyysmassaa” yhden pinta-alayksikön verran y = f(x) tiheysfunktio Ala = 1

3. Jatkuvan satunnaismuuttujan tiheysfunktio • Funktio f on jatkuvan satunnaismuuttujan x tiheysfunktio, jos • f(x) ³ 0 x  R • f on jatkuva kaikkialla, paitsi ehkä ei äärellisen monessa kohdassa • Käyrän y = f(x) ja x-akselin väliin jäävän alueen pinta-ala = 1 Miten tutkitaan, onko funktio tiheysfunktio Tutkitaan, täyttääkö funktio yllä olevat kolme vaatimusta.

4. E.1. (t.301) Osoita, että f(x) = ½x (0  x  2) on tiheysfunktio 1) Selvästi f(x)  0, kun 0  x  2 2) Funktio on jatkuva 3) Käyrän y = f(x) ja x akselin väliin jäävä alue on kolmio: y 1 ½ x 1 2 ½  2 = 1 joten ehto (3) toteutuu 2 – 0 = 2

5. E.2.(t. 307a) Erään jatkuvan satunnaismuuttujan tiheysfunktio on y 2/3 x välillä 0  x  3, muualla f(x) = 0 Määritä a. Alan, jota rajoittavat x- ja y-akseli sekä suorat x = 3 ja y = ax + 2/3 oltava 1 3x+2/3 3 3 – 0 = 3

6. Tasainen jakauma Kun aina samanpituisella alueella on sama todennäköisyys, on jakauma tasainen. Merkitään x ~ Tas(a,b) Tasaisen jakauman tiheysfunktio on vakio sillä välillä [a,b], mille satunnaismuuttujan arvot voivat osua. Tällä välillä on siis funktion arvot 1/(b - a) ts. f(x) = 1/(b - a) (ks. esimerkki 4, sivu 120) E.3. Satunnaismuuttujan x arvot ovat jakaantuneet tasaisesti välille [2,6]. Mikä on tiheysfunktio? f(x) = 1/(b - a) = 1/(6 – 2) = ¼ x [2,6] y ½ 1/4 x 1 2 3 4 5 6

7. 4.2.2. Tiheysfunktio ja todennäköisyys Todennäköisyys P(c  x  d) on sen alueen pinta-ala, jota rajoittavat käyrä y = f(x), x-akseli sekä suorat y = c ja y = d E.4. (t. 302) Satunnaismuuttujan x tiheysfunktio on f(x) = 2x (0  x  1). Millä todennäköisyydellä x on a) enintään ½ b) vähintään 0,6? y 2 1 x ½ 1 2  ½ = 1 ½ – 0 = ½

8. E.4. (t. 302) Satunnaismuuttujan x tiheysfunktio on f(x) = 2x (0  x  1). Millä todennäköisyydellä x on b) vähintään 0,6? y 2 1 x ½ 1 2  1 = 2 2  0,6 = 1,2 1 - 0,6 = 0,4 Vastaus: a) P = ¼ b) P = 0,64