半导体物理 (Semiconductor Physics)

半导体物理 (Semiconductor Physics) 主讲：彭新村信工楼519室，13687940615 Email: xcpeng@ecit.cn 东华理工机电学院电子科学与技术

第三章半导体中载流子的统计分布 3.1 状态密度 3.2 费米能级和载流子的统计分布 3.3 实际半导体中的载流子统计分布 1、本征半导体的载流子浓度 2、杂质半导体的载流子浓度 3、一般情况下的载流子统计分布 4、简并半导体计划总学时：8学时

什么是载流子？ • 半导体中能够参与导电的粒子：导带电子、价带空穴。 • 关注载流子主要关注：占据导带的电子、占据价带的空穴。

● ● Ec ED 复合产生 Ev ○ ○ 引言一、热平衡在温度高于绝对0度时，半导体中存在：电子从价带或杂质能级向导带跃迁——载流子的产生电子从导带跃迁回价带或杂质能级——载流子的复合两种过程互逆，在温度恒定的稳态情况下：产生数=复合数热平衡状态载流子浓度恒定热平衡态是在一定的温度下，载流子的两种相反过程（产生和复合）建立起的动态平衡，动态平衡建立后载流子浓度恒定。

二、热平衡时载流子的浓度 • 半导体的导电性与载流子浓度密切相关： • 如：半导体导电性随温度剧烈变化，主要就是由半导体中载流子浓度随温度变化所造成的。 • 本章就是要解决载流子浓度的计算问题，它决定于： • 价带和导带允许电子存在的量子态如何按能量分布，即在能量间隔△E 内有多少允许电子存在的量子态——状态密度 • 温度恒定时，电子(空穴)占据这些量子态的概率，即电子在允许的量子态中分布规律如何——载流子的统计分布

§3.1 允许的量子态按能量的分布——状态密度 导带和价带是准连续的，定义单位能量间隔内的量子态数为状态密度：为得到g(E) ，可以分为以下几步： ♦ 先计算出k空间中量子态密度； ♦ 然后计算出k空间能量为E的等能面在k空间围成的体积，并和k空间量子态密度相乘得到Z(E)； ♦ 再按定义dZ/dE=g(E)求出g(E)。

a x x+L L=a×N 一、理想晶体k空间中量子态的分布 1.一维晶体设它由N个原子组成，晶格常数为a，晶体长为L，起点在x处周期性边界条件：在x和x+L处，电子波函数分别为φ(x)和φ(x+L)： φ(x)=φ(x+L) 周期性边界条件得出一维晶体中k状态点的分布：

2. 三维晶体 设晶体的边长为L，体积为V=L3=N·Va 根据周期性边界条件，描述电子状态的k允许值为： k空间一组整数(nx, ny, nz)决定的一点，对应电子的一个允许的k状态点，也即一个允许的能量状态点。电子的k空间量子态密度——k空间代表点的密度

三维晶体k空间中的状态分布： 每一个k点占据的小立方的体积为：一个允许电子存在的状态在k空间所占的体积单位 k 空间允许的状态数为： —k 空间的量子态（状态）密度考虑自旋后，k空间的电子态密度为：

二、半导体导带底和价带顶附近的状态密度 1. 考虑导带底极值点k0=0，E(k)为球形等能面情况能量为E的等能面在k空间围成的体积：以上体积中所包含的量子态数：导带底附近状态密度gc(E)：

则导带底（附近）状态密度为： Si、Ge导带底附近的E~k关系为: 2. 实际半导体材料的状态密度导带底Ec不在k＝0处，上述椭球方程共s个(Si的s=6，Ge的s=4) 能量为E的等能面在k空间围成s个旋转椭球体积内的量子态数：

令，称mn*为导带底电子状态密度有效质量，则同理，对近似球形等能面的价带顶附近，起作用的是极值相互重合的重空穴(mp)h 和轻空穴(mp)l两个能带，故价带顶附近状态密度 gv(E)为两个能带状态密度之和：其中，称为价带顶空穴状态密度有效质量。

§3.2 热平衡态时电子在量子态上的分布几率——费米能级和载流子的统计分布 • 半导体中电子数目较多，且在一定的温度下做无规则热运动，即可占据低能态，也可占据高能态 ——载流子随时间的变化无规律 • 对大量电子的整体，在热平衡状态下，电子按能量大小具有一定的统计分布规律性(从长期时间内的统计结果看，电子按能量的分布是稳定的) ——载流子随时间的统计分布有规律

1、费米分布函数和费米能级 • 服从泡利不相容原理的电子遵循费米统计规律 • k0玻尔兹曼常数，T绝对温度，EF 费米能级 • 系统粒子数守恒：

费米能级的物理意义：化学势 • 当系统处于热平衡状态，也不对外界做功的情况下，系统中增加一个电子所引起的系统的自由能的变化。 • 热平衡状态电子系统有统一的费米能级。

费米函数的特性 • T=0: • f (E)=1,当E>EF时 • f (E)=0,当E<EF时 • T>0: • f (E)<1/2,当E>EF时 • f (E)=1/2,当E>EF时 • f (E)>1/2,当E<EF时

能量E比EF高5k0T的量子态被电子占据几率0.7%；而能量比EF低5k0T的量子态被占据几率高达99.3%。能量E比EF高5k0T的量子态被电子占据几率0.7%；而能量比EF低5k0T的量子态被占据几率高达99.3%。 • 如果温度不很高，那么EF±5k0T的范围就很小，这样费米能级 EF就成为量子态是否被电子占据的分界线： 1) 能量高于费米能级的量子态基本是空的 2) 能量低于费米能级的量子态基本是满的 3) 能量等于费米能级的量子态被电子占据几率1/2 • EF的位置比较直观地反映了电子占据电子态的情况。即标志了电子填充能级的水平。EF越高，说明有较多的能量较高的电子态上有电子占据，从物理意义上来讲也就是系统的化学势越高。

2、玻耳兹曼分布函数 费米分布函数中，若E-EF>>k0T，则分母中的1可以忽略，此时上式就是电子的玻耳兹曼分布函数。 1-f(E)是能量为E的量子态不被占据的概率，也就是量子态被空穴占据的概率：同理，当EF-E>>k0T时，上式转化为下面的空穴玻耳兹曼分布

半导体中常见的是费米能级EF位于禁带之中，满足半导体中常见的是费米能级EF位于禁带之中，满足 Ec-EF>>k0T或EF-Ev>>k0T的条件。 • 因此对导带或价带中所有量子态来说，电子或空穴都可以用玻耳兹曼统计分布描述。 • 由于分布几率随能量呈指数衰减，因此导带绝大部分电子分布在导带底附近，价带绝大部分空穴分布在价带顶附近，即起作用的载流子都在能带极值附近。 • 通常将服从玻耳兹曼统计规律的半导体称为非简并半导体；而将服从费米统计分布规律的半导体称简并半导体。

复习与总结 • 热平衡的概念——温度一定载流子浓度恒定 • 计算一定温度下载流子的浓度(载流子在价带和导带能级的分布情况)： • 允许载流子占据的量子态按能量的分布——状态密度 • 电子在允许的量子态中如何分布——载流子的统计分布函数 • 费米分布函数及其特点 • 波尔兹曼分布函数

3、半导体中导带电子和价带空穴浓度 导带底附近能量E →E+dE区间有dZ(E)=gc(E)dE个量子态，而电子占据能量为E的量子态几率为f(E)，对非简并半导体，该能量区间单位体积内的电子数即电子浓度n0为：对上式从导带底Ec到导带顶Ec‘积分，得到平衡态非简并半导体导带电子浓度

则：引入中间变量：已知积分：上式积分必然小于由于玻耳兹曼分布中电子占据量子态几率随电子能量升高急剧下降，导带电子绝大部分位于导带底附近，所以将上式中的积分用替换无妨，因此其中：称为导带的有效状态密度电子占据能量为Ec的量子态的概率

同理可以得到价带空穴浓度： 其中称为价带有效状态密度平衡态非简并半导体导带电子浓度n0和价带空穴浓度p0与温度和费米能级EF的位置有关。其中温度的影响不仅反映在Nc和Nv均正比于T3/2上，影响更大的是指数项；EF位置与所含杂质的种类与多少有关，也与温度有关。

3、载流子浓度乘积n0p0 将n0和p0相乘，代入k0和h值并引入电子惯性质量m0，得到

平衡态非简并半导体n0p0积与EF无关； • 对确定半导体，mn*、mp*和Eg确定，n0p0积只与温度有关，与是否掺杂及杂质多少无关； • 一定温度下，材料不同则 mn*、mp*和Eg各不相同，其n0p0积也不相同。 • 温度一定时，对确定的非简并半导体n0p0积恒定； • 热平衡态非简并半导体不论掺杂与否，上式都适用。

载流子浓度的计算——问题是否已解决？ 未知量：no、p0、EF 为了求解载流子在浓度，需要有关于以上三个参量的第三个方程

§3.3 本征半导体的载流子浓度与本征费米能级 本征半导体：不含有任何杂质和缺陷。本征激发：导带电子唯一来源于成对地产生电子－空穴对，因此导带电子浓度就等于价带空穴浓度。本征半导体的电中性条件是 qp0-qn0=0 即 n0=p0 将n0和p0的表达式代入上式的电中性条件取对数、代入Nc和Nv并整理，得到

上式的第二项与温度和材料有关。室温下常用半导体第二项的值比第一项(Ec+Ev)/2(约0.5eV)小得多，因此本征费米能级EF=Ei基本位于禁带中线处。上式的第二项与温度和材料有关。室温下常用半导体第二项的值比第一项(Ec+Ev)/2(约0.5eV)小得多，因此本征费米能级EF=Ei基本位于禁带中线处。本征载流子浓度n0=p0=ni：本征载流子浓度代入相关物理常数后：

总结： • 任何平衡态非简并半导体载流子浓度积n0p0等于本征载流子浓度ni的平方； • 对确定半导体，受式Nc和Nv、指数项exp(-Eg/2k0T)影响，本征载流子浓度ni随温度升高显著上升。 300K下锗、硅、砷化镓的本征载流子浓度

基本上是一条直线，直线斜率= -Eg(0)/2k0 实际中，可由实验数据确定直线斜率，算出0K下的禁带宽度：Eg(0)=-2k0×斜率。计算结果与光学法测得的结果相符合

Si 本征载流子浓度ni/cm-3 GaAs 室温时，硅的ni为9.65×109cm-3；砷化镓的ni为2.25×106cm－3。上图给出了硅及砷化镓的ni对于温度的变化情形。正如所预期的，禁带宽度越大，本征载流子浓度越小。

§3.4 杂质半导体的载流子浓度 影响载流子浓度的杂质——浅能级杂质(施主、受主) • 杂质的浓度——工艺控制参数 • 杂质的电离度——如何确定？ • 以施主杂质为例，杂质能级为ED： • 施主杂质被电离——电子不占率杂质能级 • 施主杂质未电子——电子占据着杂质能级 • 可见解决杂质电离度就是要解决电子在杂质能级上的分布情况！ ——是否可以采用费米分布函数？ ——是！

一、电子占据施主能级的几率 杂质半导体中，施主杂质和受主杂质要么处于未离化的中性态，要么电离成为离化态。费米分布函数中一个能级可容纳自旋方向相反的两个电子，而施主杂质能级上要么被一个任意自旋方向电子占据(中性态)，要么未被电子占据(离化态)，可以证明：电子占据施主能级几率：空穴占据受主能级几率： g为基态简并度，对于Ge、Si和GaAs，gD=2，gA=4：

施主浓度ND和受主浓度NA就是杂质能级上的量子态密度施主浓度ND和受主浓度NA就是杂质能级上的量子态密度 (1) 杂质能级上未离化的载流子浓度nD和pA： (2) 电离杂质的浓度nD+和pA-

上式表明杂质的离化情况与杂质能级ED(EA)和费米能级EF的相对位置有关:上式表明杂质的离化情况与杂质能级ED(EA)和费米能级EF的相对位置有关: • 如果ED-EF>>k0T(EF-EA>>k0T)，则未电离杂质的浓度约为0，而电离杂质的浓度与杂质浓度相等，杂质几乎全部电离。 • 反之，EF-ED>>k0T(EA-EF>>k0T)时，则电离杂质的浓度约为0，而未电离杂质的浓度与杂质浓度相等，杂质基本上没有电离。 • 如果费米能级EF与杂质能级重合时：施主杂质有1/3电离，还有2/3没有电离；受主杂质有1/5电离，还有4/5没有电离。

导带价带 0 0.5 1.0 g(E) f(E) n(E)和p(E) (a) 能带图 (b) 态密度 (c) 费米分布函数 (d) 载流子浓度二、n型半导体的载流子浓度求解步骤与本征半导体类似。多了一种带电粒子——电离后的杂质

假设只含一种施主杂质，浓度为ND。热平衡条件下的电中性条件应为：n0=p0+nD+假设只含一种施主杂质，浓度为ND。热平衡条件下的电中性条件应为：n0=p0+nD+ 因此有： • 根据上式求EF比较困难。 • 在不同温度分为，可将上式进一步简化。

1、低温杂质离化区 温度较低时，杂质尚未完全电离 • 特征：本征激发可以忽略， p0≌0 导带电子主要由电离杂质提供。 • 电中性条件 n0=p0+nD+可近似为：n0=nD+

(1) 低温弱电离区：特征是温度太低，电离杂质占总杂质浓度的比例很小，即 nD+ <<ND

弱电离区 EF ~ T 的关系： T→0时， NC→0，dEF/dT开始为+∞，EF上升很快；随温度增加，NC增大， dEF/dT增速减缓；温度上升使dEF/dT=0时，EF达极大值；继续增加温度，dEF/dT变为负值，即EF下降。

n0～T 的关系： ——指数上升 lnn0T-3/4～T为直线，斜率为ΔED/2k0，通过实验测定n0～ T关系，可以确定杂质电离能，得到杂质能级的位置。

(2)中间电离区： 本征激发仍略去，但随温度T增加，nD+足够大，故电中性方程：

(3)强电离区（饱和电离区）：特征：温度相对较高，杂质基本全电离，即nD+≌ND，电中性条件简化为 n0= nD+=ND 只要满足ND>>ni的条件，n0在饱和电离区保持等于ND不变

强、弱电离的区分：

判定施主杂质达到饱和电离的方法： 饱和电离时(ED-EF)>>k0T: 饱和电离状态，认为未电离的施主浓度最多占总施主浓度的10%，即：据上式，在一定温度下可以确定能达到饱和电离状态的施主浓度上限；在施主杂质浓度一定时也可确定温度的下限。

决定半导体杂质饱和电离(nD+≧90%ND)的因素： 1、杂质电离能——△ED=EC-ED 2、杂质的浓度——温度一定时有上限 3、温度——浓度一定时有下限

2、过渡区 特征：(1) 杂质全电离 nD+=ND (2) 本征激发不能忽略 • 电中性条件：n0=ND+p0

n0、p0的另一种示方法： 电中性条件写为：双曲正弦函数

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