Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

1. Geodesia Física y Geofísica I semestre, 2014 Ing. José Francisco Valverde Calderón Email: jose.valverde.calderon@una.ac Sitio web: www.jfvc.wordpress.com Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

2. Introducción Nota: el gráfico muestra un esquema conceptual ideal, no quiere decir que siempre las superficies mostradas son paralelas o que ese es el comportamiento de las normales!! Para aprovechar las ventajas del posicionamiento GNSS en las aplicaciones prácticas, se requiere determinar el geoide (cuasi-geoide), de forma que: HO = h-N HN = h -  Terreno HO h HN Geoide N Cuasi-Geoide  Elipsoide Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

3. Introducción • Comúnmente un modelo geoidal muestran la separación entre el elipsoide de referencia y el geoide, es decir la ondulación del geoide Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

4. Introducción Modelo GCG2011 (Nacional, Alemania) Modelo EGG97 (Regional, Europa) Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

5. Introducción • Cuando se elabora un modelo geoidal, estos deben ser validados. Comúnmente esta validación se hace comparando con alturas conocidas Tomado de:http://icgem.gfz-potsdam.de/ICGEM/, 2014 Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

6. Introducción • Métodos para el calculo de un modelo geoidal: • 1.Métodos Astro-geodésicos: con base a observaciones astronómicas, se obtiene la desviación de la vertical • 2. Métodos gravimétricos: los cuales analizan la magnitud del vector de aceleración de la gravedad a través de la teoría del potencial; conduce a obtener de ondulaciones de geoide absolutas • 3.Aplicando métodos geométricos: se basan en la determinación de alturas elipsoidales h (GNSS), alturas ortométricas H (nivelación geométrica), con lo que se calcula el valor de N. • 4.Mediante métodos dinámicos u orbitales: los cuales analizan las desviaciones de las órbitas reales de los satélites artificiales (órbitas perturbadas) en relación con la orbita teórica o calculada • 5.Mediante altimetría satelital. • 6.Mediante mediciones satélite – satélite. Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

7. Introducción • La tarea fundamental de la geodesia es determinar la forma y el tamaño de la Tierra. • Para este fin, se analizan las observaciones efectuadas sobre esta. • Esto lleva a la formulación de un problema de valor limite o de frontera (según nuestro caso). • Este problema es determinar una función armónica (T=0), en el exterior de una superficie de frontera S (en este caso, el geoide). • En esta superficie S se conocen ciertos valores, como la deflexión de la vertical, números geopotenciales, anomalías de gravedad. • Estas cantidades son las observaciones de las cuales se dispone para el calculo del geoide (cuasi-geoide) • El potencial gravitacional verdadero V se determina a partir de diferentes tipos de observaciones del campo de gravedad: • Directas sobre la superficie terrestre (gravimetría terrestre, aérea) • Métodos dinámicos (análisis de las órbitas perturbadas de satélites) • Mediciones directas con satélites en el campo de gravedad (Goce) Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

8. Introducción • V se representa comúnmente en un desarrollo armónico, el cual describe los componentes espectrales del potencial: • Las mediciones satelitales proveen de la onda larga. • Estas representan la influencia gravitacional de rasgos globales: achatamiento de la Tierra, cambios densidades, dorsales oceánicas • Mediciones terrestres regionales proveen de la onda media. • Representan los rasgos regionales, por ejemplo, cadenas montañosas. • Mediciones terrestres de alta densidad proveen longitudes de onda corta, entre 5-10 km, si se usa gravimetría aerotransportada • Representan los rasgos locales (relieve / topografia) Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

9. Potencial anómalo de la Tierra • Potencial de gravedad real (W) es la suma del potencial gravitacional (V) y el potencial centrifugo (). • V es armónico fuera de las masas terrestres y dentro de estas satisface la ecuación de Poisson • Se definió el concepto de elipsoide normal, de potencial de gravedad normal (U) y la aceleración de la gravedad normal () • Es mas simple estudiar la forma de la Tierra y su campo de gravedad, refiriéndose a un modelo y determinando las diferencias de este en relación con el Geoide • A las pequeñas diferencias entre el potencial de gravedad real (W) y el potencial de gravedad normal (U) se le conoce como POTENCIAL ANÓMALO oPOTENCIAL DE PERTURBACIÓN (T), de manera que: • T=W-U Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

10. Anomalías de gravedad • Considerando el vector de gravedad gen el punto Psobre elgeoide y el vector de gravedad normalen el punto Q sobre el elipsoide normal, se define el vector de anomalía de gravedad de la siguiente forma: • La diferencia de magnitud del vector de anomalía de gravedad se conoce como “anomalía de gravedad”. • A la diferencia de direcciónse le conoce como “desviación de la vertical”. Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

11. Vector de perturbación de gravedad • Se puede también comparar los valores de la gravedad real y la gravedad normal en el mismo punto P (sobre el terreno). • A la diferencia de ambos se le denomina “vector de perturbación de gravedad”. • La diferencia de magnitud es la “perturbación de gravedad”. • La diferencia en dirección es la desviación de la vertical. • Esto debido a que se utiliza el vector de gravedad normal, solo que determinada en puntos distintos. • Este vector tiene una importante aplicación en la determinación del geoide usando gravimetría aerotransportada Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

12. Desviación de la vertical • La desviación de la vertical es la diferencia en la dirección entre el vector de gravedad real y el vector de gravedad normal. • Esta conformada por dos componentes: una componente norte-sur, denominada y una componente este-oestedenominada. • La dirección de la vertical esta definida directamente por las coordenadas geográficas latitud y longitud. • Componentes de la desviación de la vertical Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

13. Desviación de la vertical Tomado de: http://kartoweb.itc.nl/geometrics/reference%20surfaces/refsurf.html Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

14. Reducciones de gravedad • La gravedad medida en la superficie física de la Tierra, no puede compararse con la gravedad normal sobre el elipsoide normal, es necesario reducir el valor de la gravedad gal geoide. • Los objetivos de reducir gravedad son: • La determinación del geoide. • Interpolación y extrapolación de gravedad. • Investigaciones geofísicas. • Solo los dos primeros objetivos son de naturaleza geodésica, ya que el tercero es un objetivo netamente geofísico. • Pero, la principal razón (como aplicación geodésica) es que para usar la integral de Stokes es necesario que las anomalías de gravedad representen valores limites en el geoide. Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

15. Reducciones de gravedad • El principal objetivo de reducir la gravedad es debido a que se deben cumplir las condiciones de frontera: • 1. Que la gravedad geste referida al geoide (ver definición de g) • 2. Que no hayan masas fuera del geoide (T armónico fuera del geoide) • 3. Que el geoide encierre las masas terrestres. • Debido a las abruptas variaciones en los valores de densidad (muchas veces esta no se conoce) se asume un valor de  = 2.67 gr/cm3. • Procedimiento para reducir la gravedad: • Eliminar las masas topográficas fuera del geoide o correrlas por debajo del nivel del mar. • Bajar la medición gravimétrica del terreno al geoide (de P’ a P) • Restaurar el terreno. Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

16. Reducciones de gravedad • Considerar el potencial U y la atracción vertical A de un cilindro homogéneo de radio a y altura b en un punto P situado en el eje del cilindro a una altura c sobre la el cilindro (c  b), según la siguiente figura: Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

17. Reducciones de gravedad • Considerando un • elemento de volumen • El potencial del cilindro es: • Con • Siendo equivalente la expresión: Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

18. Reducciones de gravedad • Siendo el resultado de la integral la siguiente expresión: • La atracción vertical A es la • derivada negativa de V con respecto a c • Diferenciando con respecto a c se tiene: Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

19. Reducciones de gravedad • En caso de que P este en la superficie del cilindro, c = b, por lo que: • La atracción vertical A será: • Si P esta dentro del cilindro, c < b, el plano z que pasa por P divide el cilindro en dos partes, como en la siguiente figura: Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

20. Reducciones de gravedad • En este caso se calcula el potencial V como la contribución de estas dos partes: • El termino V1 esta es igual a la expresión para V cuando P esta sobre la superficie del cilindro (se reemplaza el termo b por c) y el termino V2 esta dado por la formula anterior, reemplazando b por el termino b-c. Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

21. Reducciones de gravedad • La suma es entonces: • La atracción vertical es: Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

22. Reducción de Bouguer • El propósito de la reducción de la placa de Bouguer es la eliminación de las masas topográficas, es decir, las masas que están sobre el geoide • Para ello, se considera una placa, llamada “PLACA DE BOUGUER” • PLACA DE BOUGUER • Suponer que el área alrededor de la estación gravimétrica P es totalmente plana y horizontal. • Suponer que las masas entre en geoide y la superficie terrestre tienen una densidad constante. • Se obtiene la atracción de la placa de Bouguer, haciendo que a tienda al  en la ecuación que permite calcular la atracción vertical cuando P esta sobre el cilindro. Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

23. Reducción de Bouguer • Al evaluar la expresión resultante, se obtiene la atracción de la placa de Bouguer de radio infinito. • Considerando la densidad como  = 2.67 gr/cm3, se tiene: • La eliminación de la topografía equivale entonces a restarel efecto de la atracción de la placa de Bouguer a la gravedad observada. A esta se le llama “Reducción incompleta de Bouguer”. • Para completar la reducción, se debe aplicar la reducción de aire libre, que lleva la estación del terreno al geoide. Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

24. Reducción de aire libre • Para una reducción teóricamente correcta de la gravedad al geoide, se necesita conocer el gradiente vertical de la gravedad (g/H). • Si g es observado en la superficie de la Tierra, el valor g0 referido al geoide es obtenido mediante una expansión en serie de Taylor: • Donde H es la altura entre P’ que es la estación gravimétrica en el terreno y P que es el punto en el geoide. • Suponiendo que no hay masas sobre el geoide y despreciando términos de grado superior a uno, se tiene: Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

25. Reducción de aire libre • Al término Fse le conoce como “REDUCCION DE AIRE LIBRE” al geoide • Considerar que asumir la no existencia de masas sobre el geoide se interpreta como que tales masas han sido matemáticamente removidas, por lo que esta reducción es en efecto realizada en “aire libre” • Resumen del concepto de la reducción de Bouguer y la corrección de aire Libre • Bouguer → remover la atracción de las masas sobre el geoide • Aire Libre → llevar la gravedad real de P’ a P P’ → g’ Terreno Geoide P → g Q →  Elipsoide Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

26. Reducción de aire libre • Si se efectúa un proceso en el cual se eliminan las masas topográficas y se aplica la reducción de aire libre, esta se conoce como la “Reducción Completa de Bouguer”. • El resultado es la gravedad de Bouguer sobre el geoide: • Donde g es la gravedad medida, F es la reducción de aire libre y AB es la reducción de la placa de Bouguer Gravedad medida en el terreno g Menos la atracción de la placa de Bouguer -0,1119H Mas la reducción de aire libre +0,3086H Gravedad de Bouguer en el Geoide gB = g + 0,1967H Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

27. Reducciones de gravedad • Como ya se tiene el valor de la gravedad en el geoide, se obtiene el valor de la anomalía de gravedad al restar el valor de gB y el valor de la gravedad normal: • Anomalías de Bouguer • Sin embargo, el uso de la reducción de la placa de Bouguer trae un inconveniente: al considerar el terreno plano, habrán desviaciones entre la topografía real y la placa de Bouguer • El considerar esto es lo que se conoce como “CORRECCIÓN DE TERRENO” Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

28. Reducciones de gravedad • Si a la gravedad observada se le suma la reducción de aire libre, se tiene: • Se tiene la siguiente anomalía de gravedad • A esta se le conoce como “ANOMALIA DE AIRE LIBRE”. La anomalía de aire libre refiere el valor de gravedad al nivel del mar. Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

29. Corrección de Terreno Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

30. Corrección de Terreno • Para mejorar la reducción de Bouguer, debido a la no eliminación de masa existente o a la eliminación de masa inexistente, se aplica la “CORRECCIÓN DE TERRENO”: Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

31. Corrección de Terreno • En A se elimina la masa excedente m que atrae hacia arriba, haciendo que el valor de la gravedad aumente en P (este excedente de masa provoca el aumento en la gravedad). • En el punto B se compensa el déficit de masa -m, haciendo que la gravedad aumente nuevamente en P. • Para una masa excedente (m), h  hp, c=0. • Para un déficit de masa (-m), h < hp, por lo que b = c = hp – h. • Para aplicar la corrección de terreno se tiene: • Se define la anomalía de gravedad de Bouguer refinada como: Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

32. Tomado de: Nuevos mapas de anomalías de gravedad del Caribe. Arnaiz-Rodriguez M y Garzon Y. 2012 Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

33. Mapa de anomalías de Bouguer, derivadas del modelo EGM08 Tomado de: http://bgi.omp.obs-mip.fr/data-products/Toolbox/Anomaly-maps-visualization Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

34. Tomado de: Nuevos mapas de anomalías de gravedad del Caribe. Arnaiz-Rodriguez M y Garzon Y. 2012 Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

35. Mapa de anomalías de Aire Libre, derivadas del modelo EGM08 Tomado de: http://bgi.omp.obs-mip.fr/data-products/Toolbox/Anomaly-maps-visualization Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

36. Isostasia • La idea de que las montañas no son excesos de carga situadas sobre la superficie, sino que su masa visible es compensada por un defecto de masa en la profundidad, es la teoría de la isostasia. • La compensación del exceso de masa en superficie por una reducción de masa en profundidad es la compensación isostática. • Se puede suponer que las masas topográficas se encuentran superpuestas sobre una corteza homogénea. • La reducción de Bouguer eliminaría las irregularidades principales del campo de gravedad, debido a que las anomalías de gravedad serian muy pequeñas y tenderían a cero. • Ocurre todo lo contrario, ya que en las áreas montañosas, de forma de sistemática, las anomalías de Bouguer son negativas. • Estas puede adquirir valores de hasta 100 mGal por cada 1000 m de elevación. Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

37. Isostasia • La única explicación posible es que debajo de las montañas hay algún déficit de masa, lo que quiere decir que las masas topográficas están de alguna forma compensadas. • Hay dos teorías principales que tratan de explicar esta situación: • 1.Pratt-Hayford • 2. Airy-Heiskanen • La teoría de Pratt indica que las montañas surgieron del subsuelo como si fuera una masa en fermentación • Según la teoría de Airy, las montañas están flotando sobre una lava fluida de mayor densidad, de manera que mientras mas altas sea la montaña, mas se hundirán. Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

38. Teoría de Pratt-Hayford • El sistema de compensación fue ideado por Pratt y formulado de forma matemática por Hayford, quien lo utilizó para fines geodésicos. • Se establece un nivel que se llama “nivel de compensación”. • Debajo de este nivel, la densidad es uniforme. • Se definen columnas, las cuales tienen una densidad constante y estas se encuentran sobre el nivel de compensación. • Nótese que entre mayor la altura, menor la densidad. Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

39. Teoría de Pratt-Hayford • La masa de cada columna de la misma sección transversal es equivalente. • Se llama “D” la profundidad del nivel de compensación desde el geoide (profundidad de compensación). • La densidad 0 representa la densidad de una columna de altura D. • La densidad  de una columna con una altura D+h satisface la condición: • Esta expresa la condición de igualdad de masas • De la expresión anterior, se puede concluir la densidad  es ligeramente menor al valor de 0. Por consiguiente, hay un déficit de masa, que se puede expresar como: Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

40. Teoría de Pratt-Hayford • Se puede suponer el valor de 0 = 2.67 gr/cm3 • Despejando el valor de , obtenemos la siguiente expresión: • En la práctica, el modelo compensación ha sido idealizado, ya que en la naturaleza, se cumple de forma aproximada. • El nivel de compensación se ha adoptado como D = 100 km Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

41. Teoría de Airy-Heiskanen • Airy propuso el método y Heiskanen le dio la formulación matemática y la aplicó con fines geodésicos. • A diferencia del método de Pratt, en el método de Airy las montañas tienen una densidad constante, igual a 2.67 gr/cm3. • Estas están flotando sobre un substrato mas espeso de densidad constante, igual a 3.27 gr/cm3. • Mientras mas alta sea la montaña, mas se hunde. Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

42. Teoría de Airy-Heiskanen • Por lo tanto, existen formaciones de “raíces” debajo de las montañas y “antirraices” o “antiroots” debajo de los océanos. • La diferencia de densidad •  se expresa como: • El espesor de la corteza terrestre se denota por T y se adopta para T el valor de 30 km. El espesor de la corteza debajo de las montañas esta dado por la expresión: • T + h + t • Denotando como h la altura de la topografía y t el espesor de la raíz correspondiente, entonces, la condición de flotabilidad esta dada por la expresión Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

43. Resumen de anomalías de gravedad Definición de anomalía de gravedad Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

45. Determinación del Geoide • A partir de los anteriores conceptos, se pueden escribir las siguientes relaciones: • Se tiene que: • Con base a las • anteriores relaciones • Dado que: • Se tiene la siguiente relación: Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

46. Ecuación de Bruns • Despejando el valor de N • La anterior fórmula se conoce como “ECUACIÓN DE BRUNS” o “FORMULA DE BRUNS” • Su importancia radica en que relaciona la ondulación del geoide con el potencial anómalo. Siendo equivalente para la altura anómala: Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

47. Breve introducción a las Ecuaciones diferenciales • Muchas leyes en la naturaleza se expresan en forma de ecuaciones diferenciales, esto debido a que si f(x) es una función, f’(x) (primera derivada) se interpreta como la razón de cambio del fenómeno. • Comúnmente lo que se conoce de un fenómeno es su razón de cambio (derivada), por lo que buscar la expresión que describe el fenómeno, implica determinar y resolver una ecuación diferencial • Definición: Una ED es una ecuación que relaciona un función desconocida y una o mas derivadas de esta función desconocida con respecto a una o mas variables independientes • Si la función desconocida depende de una variables: ED ordinaria • Si la función desconocida depende de dos o mas variables: ED parcial ED Parcial ED ordinaria Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

48. Problemas de valores de frontera • Al resolver ecuaciones diferenciales parciales, que dan solución a problemas ya sean físicos o geométricos, se establecen condiciones iniciales ocondiciones limite. • En el caso de que la condición limite sea un dato, una mediciónuobservación, sobre una superficie limite, conduce a diferentes tipos de “problemas de valores limites” • La gravedad y el potencial gravitacional de la Tierra, pueden ser descritos porecuacionesque contienen derivadas parcialesdetiempo o espacio, cuyas variables desconocidas necesitan ser encontradas. • La variable que es diferenciada se denomina variable dependiente y frecuentemente corresponde con la solución a determinar. • La variable con la cual la diferenciaciónes hecha, es la variable independiente y en geodesia física por lo general corresponde con las coordenadas donde la condición limite es conocida. Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

49. Problemas de valores de frontera • Las derivadas parciales con respecto a variables de tiemposon llamadascondiciones iniciales. • Las derivadas parciales con respecto a variables de posición, sobre una superficie limite son llamadas condiciones limite. • Cuando derivadas con respecto a variables de posición son considerados en la solución de problemas, nos enfrentamos a “Problemas de valores limites” oBVP. • Considerar ahora el potencial de la Tierra como un fenómeno físico no variable en el tiempo. • Se ha de considerar la determinación del campo de gravedad terrestre como un problema de valores limites (geodésico, GBVP) con condiciones limites conocidas (observaciones o datos) sobre cierta superficie que necesita ser encontrada: el geoide Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

50. Problemas de valores de frontera • Problema de Dirichlet:conocido como el primer problemadevalores limites de la teoría del potencial: • “Conocida una función arbitraria dada en una superficie S, determinar una función Vquesea armónica ya sea dentro o fuera de S y que en Sasuma los valoresde la función preestablecida” • Este problema surge cuando la ondulación del geoide es obtenido de altimetría satelital. • La solución de este problema en la esfera esta dada por la integral de Poisson, que provee la continuación ascendente o descendente del potencial. Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón