l’id é e g é n é rale - diff é rencier les proc es sus mentaux: Mettre en é vidence

1. Andrzej Grzegorczyk (Varsovie)Théorie des textes – comme base adéquate de l’ étude dela discernabilité / (décidabilité) ( sans usage de l'arithmétique ) l’idée générale - différencier les processus mentaux: Mettre en évidence l’essentiel du contenu purement logique dans la Métalogique (et écarter le contenu purement mathématique là où il n’est pas nécessaire) Clermont Ferrand 2006

2. Réflexions philosophiques • Discerner = affirmer = constater = vérifier = reconnaître ont un sens cognitif.Décider un sens volitif • Le discernement est le fondement du savoir DISCERNER = répondre à la question: x  A ? Ou non ? (par: convention, évidence empirique, méthodes logiques ) • Discernement possède toujours un fondement empirique (En maths. nous oublions souvent que le sens du calcul provient de l’expérience de compter les objets qui appartiennent aux divers ensembles .) Si x est le uple <x,y,..>,alors A est une RELATION: La question du discernement en général est la suivente: <x,y…> A ? Ou non ? +++++++++++++++++++++++

3. Discernement par les procédés logiquesDéfini comme Représentabilitédansunethéorie donnée Cela signifie qu’il y a: 1. Un domaine M(des éléments)2. Une théorie formelle T 3. Les éléments x  M ont leurs noms: N(x) ( N(x) sont des termes dans la théorie T) 4. Pour l’ensemble A il y a une formule(..), telle que: A est représentéau sens étroit par (..)dans la théorie T: <x,..>  A ≡ „ (N(x),..)” est un théorème de T <x,..>  A ≡ „¬(N(x),..)” est un théorème de T. Une autre version: Représentabilité au sens large: 4`. Il y a deux formules: (..) etΨ(..) (pourAetM –A) <x,..>  A ≡ „ (N(x),..)” est un théorème de T <x,..>  A ≡ „ Ψ(N(x),..)” est un théorème de T. En ces cas L’ensemble A peutêtredit :DISCERNABLEau sens général, (par des méthodes logiques et d’après les interprétations)

4. EXEMPLEle plus connu:Les relationsrécursives entre nombres naturels sont les premières reconnues comme discernables (au sens général): découverte de Gödel[1931] La procédure „Diagonale” de Gödel donne le Théorème général : Si T n’est pas contradictoire et si chaque relation discernable (au sens général)est représentée (au sens étroit) dans la théorie T, la théorie T (l’ensembles des théorèmes)n’est pas discernable. Théorie T=Arithmétique le domaine = des nombres: 1,2,3,… Les noms = des chiffres Eg. 0. S0, SS0,… N(x)=SS…0=Sx0 proprieté de représentation: x..  A ≡ „ (N(x)..)” est un théorème deT x..  A ≡ „¬(N(x)..)” est un théorème de T c’est le Théorème „De représentation”, pour les relations récursives.

5. L’Arithmétiquefaibleétudiée récemment:L’ objet des recherches des logiciens à Varsovie et à Prague Additionet multiplication comme relations: (A) (A(x, y, z) A(x, y, u)) → z = u (M) (M(x, y, z) M(x, y, u)) → z = u (Q1) ¬(0=S(x))z A(x,y,z) (Q2) Sx=Sy → x = yz M(x,y,z) (Q3) ¬ x=0 → y(x = Sy) (Q4) A(x, 0, x)(Arithmétique Q de R.Robinson (Q5) A(x,y,u) → A(x,Sy,Su)sans les axiomes d’existence) (Q6) M(x, 0, 0) (Q7) (M(x, y, u)A(x, u, z)) → M(x, Sy, z) Théorie probablement non discernable

6. Les Relations Récursives / DiscernablesDéfinition inductive • GR= La plus petite classe qui: • Contient 4 éléments initiaux:0, 1 et deux relations: Addition et Multiplicationet closepour les définitions utilisant: • Connecteurs Logiques ( ¬ ) • Quantification limitée ( et  restreints à < ) • Quantification Duale : Si P,RGR et Q(..x) ≡ z P(..x,z) Q(..x) ≡ z R(..x,z) alorsaussi QGR (Application du théorème de Post) La récursivité est définie à l’aide des notions logiques

7. Le problème le plus intéressant:Quels sont d’autres domaines dans les quels on pourrait trouver des ensembles discernables?(d’après la définition générale) • Le premier à considérer est: le domaine des textes linéaires „tout qui est valable dans la culture ce sont des textes” Les nombres d’arithmétique peuvent être conçus aussi comme des textes: finis linéaires composés avec un signe: l, ll, lll,… Mais: La théorie qui semble être intéressante c’est La théorie des textesfinis linéaires, composés avec deux signes (au moins) C’est La théorie de la concaténation

8. La concaténation peut être décrite commeun collage linéaire Utilisons la convention de guillemetage: • Un texte avec les guillemets: „texte” est le nom du texte qui est entre les guillemets. Appliquant la convention nous pouvons dire que: Si la concaténation c’est l’astérisque * alors: „A” * „B” = „AB” „– ||–” =„–” * „||–” etc. „concate” * „nation” = „concaténation” • Les signes (symboles) fondamentaux sont des textes, les plus courts et indivisibles: „–” ≠ x*y et aussi: „|” ≠ x*y . • Les signes: „–” et „|” seront pris comme fondamentaux • Ayant 2 signes:–, |nous pouvons en créer plusieurs p.ex: –|–, –||–, –|||–, …etc.(Qui peuvent remplaçer (coder ) tout: lettres, symboles, points, virgules, parenthèses,…etc…etc) • Alors nous pouvons facilement créer des textes qui sont traductions des textes normaux de n’importe quel langage.

9. Théorie TCde la Concaténation TC est étudiée dans Studia Logica 79 pp.163-230 TC estnon-discernable A1 x*(y*z)=(x*y)*z A2 x*y=z*u →((x=z Λ y=u) V w((w*u=y Λ x*w=z) V (z*w=x Λw*y=u))) A3 ≠x*y A4 ≠ x*y A5 ≠ A1 et A2 sont découverts par Tarski 1930 (en marge de „..Verité…”), mais Tarski n’a pas entaméde recherches sur les conséquences de ses axiomes. Interprétation intuitive : Concaténation comme collage linéaire: A1 Deux relieurs qui relient le même texte A2 Deux éditeurs qui coupent le même livre en 2 vol. Tarski censément considéra A1 et A2 comme trop faibles (et pas intéressants)

10. La théorie TC n’est pas discernable(Mais je n’ai pas prouvé que TC est essentiellement non-discernable) La preuve:se compose des pas suivants: • LaMétathéorieMT:nous prenons la théorie de la con-caténation (mais du II degré)La théorie des Textes est destinée à ce rôle. • Dans MT nous admettons la Définition inductive de la Discernabilité • Prouvons leThéorème De représentation (au sens large) • Appliquons la construction „Diagonale” de Gödel On va voir quelques détails de plus près:

11. La Définition inductive de la Discernabilité(la discernabilité concèrne les relations à plusieurs arguments) La classe desRelations Discernables (GD)= la plus petite classe qui : contient 4 éléments initiaux: Deux signes primitifs: – et | (nommés: , en TC)et la Relation d’Identitéet La Relation de Concaténation, et qui est close pour les définitions utilisant: • Les Connecteurs Logiques • La Quantification limitée (restreinte) aux sous-textes • La Quantification Duale: Q(x,..) ≡ y P(y,x..) et aussi: Q(x,..) ≡ y R(y,x..) où P,RGD Définition purement logique – un succès de l’idée générale

12. Motivation de la Définition inductive • La Motivation est la continuation de: Quine’s characterization of computability. • Quine in his book: Mathematical Logiccharacerized general recursivness as “mechanical recognizability”, or as “recognizability by afinite amount of inspection”. • inspection may be conceived as an effectiveand of course finitechecking procedure. • Checking, (recognizing, discernment)concern finite TEXTS of given symbols. On va vérifier la Définition de GD d’après l’intuition de Quine

13. Les éléments initiaux de la classe GDpeuvent être considerés commeempiriquement discernables „by afinite amount of inspection”. we can empirically discernthe stroke„|”(as perpendicular) from the stroke„―”(as horizontal), hence also • we are able to discern whether a given finite text wwritten in this languageis (or is not) identical with the text z, and • we are able to discern whether a given text wis (or is not) the product of concatenationof given two other finite texts u and v. Les relations initialles de l’arithmétique sont aussi empiriquement discernables de façon semblable.

14. Les applications des connecteurs logiques ne conduisent pas en dehors des relations discernables • Pour la négation ( ¬ ): discerner l’identité (ex: x=„|”?), c’ est le même processus mental que discerner sa négation:¬(x=„|”)? Même situation pour:x=„ ―”?, x=y?, x=y*z? ▪ Pour la conjonction (  „et” ) : Le discernement de:( xA  x  B ) consiste à discerner que:xAet que:x  B on voit facilement que les relations considerées restent ”recognizables by afinite amount of inspection”. Alors toute composition booléenne de relations initiales reste discernable par des procédés finis

15. La quantification limitée aux sous-textes • If a property P is(GD)Finitely Checkable, then also the property Q defined as follows is GD: Q(..x,y) ≡ z(zy →P(..x,z)) where „zy” means that the text z is contained in the text y: zy ≡ (z=y  w,u(y=w*z  y=z*w  (y=w*z*u)) Motivation: The amount of subtexts contained in the text y is finite, hence the inspection remains finite.( the same follows for ) Q(..x,y) ≡ z(zy P(..x,z)) Les relations définies par l’application de la quantification limitée aux sous-textes restent discernables par des procédés finis

16. La quantification duale • If two properties P,R are GD then the property Q, which has two following „dual” definitions is also GD: 1. Q(..x) ≡ z P(..x,z) 2. ¬Q(..x) ≡ z R(..x,z) • Motivation: If the both definitions are true, then according to the rule of excluded middle (and De Morgan Rule) also:3.….x z( P(..x,z) V R(..x,z) ) is true. Now if we arrange all texts in lexicografical order then for givenxandafter a finite amount of inspection we find a text zsuch thatP(..x,z)orR(..x,z).(E.Post?) Hence by 1. we get Q(..x) or by 2.we get¬(Q(,,x)).So we get the discernment by a finite amount of inspection Les relations définies par la quantification duale restent discernables par des procédés finis

17. La particularité dite: de ‘forme canonique’ des Relations Récursives / Discernables La quantification duale peut être appliquée: une fois et en dernier comme procédépour définir une relation discernable. Chaque QGR (GD) est de la forme: Q(x,..) ≡ y P(y,x,..) et Q(x,..) ≡ y R(y,x,..) oùP,R sont des RelationsDiscernablesdéfinies sans application de la quantification duale. P,R sont: Élémentaires où La classe des Relations DiscernablesÉlémentaires est définie comme close seulementpar: I.connecteurs logiques et II. quantificateurs restreints. { Les quantificateurs restreints peuvent être conçus comme ( et )conjonctions et disjonctions finies mais multiples et de longeur variable)

18. Exemple d’un raisonnement qui utilise la concatenation: • Une suite finie des textes est aussi un texte. • Cela nous donne une méthode pour créer les définitions élémenaires desnotions définies par récurrence p.ex: itération d’une fonction dans TC: y= fn(c) = f(f(f(..(c)..))). ITER(f,n,c) On construit la suites des paires: s=(<|,f(c)>*<||,f(f(c))>*…*<|.n..|,fn(c)>)) y = fn(c) ≡ s[v,u,x(condition initiale){s=<|, f(c)>  s=<|, f(c)>*u} (condition finale) {s=<n, x>  s=v*<n, x>}  (condition inductive){u ((s=<|, f(c)>*u)  v,w,a,b((s=v*<a,b>*w s=<a,b>*w) (w=<a*|, f(b)>  z w=<a*|, f(b)>*z))} y=x] On peut aussi prouver que : y ≠ fn(c) ≡ s[ v,u,x {(condition initiale)}{(condition finale)}  {(condition inductive)} y≠x ] (la situation de quantification duale) Tous les quantificateurs exceptés dans les deux equivalences peuvent être restreints aux sous-textes de s. Alors la relation définie est GD. Le raisonnement s’appuie sur l’exercice de l’imagination de textes

19. La motivation de Quine indique le chemin de la preuve du Théorème de Représentation • Pour les éléments initiaux: la representabilité résulte directement des axiomes. • Les constructions qui utilisent les Connecteurs Logiques héritent de la proprieté de representabilité grâce au calcul de propositions. • Les quantifications limitées héritent de lamême propriété car elles sont des disjonctions (ou conjonctions) de longueur variable mais toujours finies. • Quantification Duale. Le Théorème de Représentation pour les extensions de TC (qui sont vraies dans le modèle standard), - est facil à prouver, alors TC est non-discernable. Mais Pour les extensions non contradictoires quelconques le problème „officiellement” reste ouvert …! Le modèle standard = composé des textes finis

20. l’idée générale:de Mettre en évidencel’essentiel du contenu purement logique dans la Métalogique en écartant le contenu math. en matière de discernabilité estmaintenant menée à bien partiellement • Pour atteindre le but il faut prouver sans recours aux nombres, qu’aucune extension non contradictoire de TC n’est discernable. (Autrement dit: prouver que: TC est ‘essentiellement’ non discernable.) • La méthode qui peut être (presque sûrement) efficace: définir dans TC une relation discernable qui range tous les termes de TC en ordre ‘lexicographique’ etutiliser cet ordre pour prouver la représentabilité . J’espère que les participants de cette rencontre peuvent facilement résoudre ce problème!