Mantoani Martina

1. Mantoani Martina Matematica 5^ D tur. Anno 2004-2005

2. Indice • Matematica e arte pag. 2 • L’affascinante mondo dei frattali pag. 9 • Un fiocco di neve frattale pag. 10 • Frattale, cioè frammento irregolare pag. 12 • Circondati dai frattali pag. 13 • L’insieme di Mandelbrot pag. 14 • Un insieme di Mandelbrot fatto in casa pag. 16 • Fractint pag. 18 • Un’ introduzione ai frattali pag. 25

3. Matematica e arte Le matematiche come arte • Le matematiche non sono soltanto scienza, rappresentazione di quell'oggetto, sì anche arte, cioè espressione del soggetto che le costruisce, secondo le sue intime leggi. • Naviganti pel mare dell'Italia meridionale e della Sicilia, gli antichi Pitagorici, contemplando nella notte il cielo stellato, cercavano di comporre le distanze di quelle luci lontane in armonie di numeri, che -come dice Platone - sono più belle delle meraviglie del cielo che sono nel mondo visibile. • Così la tradizione storica colorita di poesia, ci riporta il sentimento che ispirò i primi passi della ricerca matematica. • Essi comunicavano colla divinità, nella bellezza delle proporzioni e delle forme simboleggiata da Apollo. • Perciò Weierstrass poteva dire che "un matematico il quale non abbia in è nulla di poetico non sarà mai un matematico completo". • Ed invero anche nelle espressioni più modeste dei loro autori, colo che scoprono una verità matematica vedonsi contemplarla come l'artista guarda all'opera sua; la quale anche a chi la consideri di fuori appare sempre opera di bellezza, quando diversi concetti e proprietà vengono a fondersi meravigliosamente in un'armonia superiore di numeri e di forme.

4. Il senso matematico nell'arte classica • Il valore artistico delle Matematiche, più ancora che nelle sue creazioni proprie si rivelerà nel contenuto colle arti figurative (pittura, scultura, architettura) o colla poesia e colla musica. Qui esse si discoprono come regole di proporzione e di misura - regola di prospettiva e di rilievo, che fino dall'antichità fascinarono gli studiosi delle nascoste armonie. Certo l'essenza della poesia e della musica non si commisura al criterio aritmetico del ritmo e delle battute, né le opere dell'arte figurativa si lasciano giudicare a priori secondo le forme od i tipi suggeriti dai modelli classici. Ma chi argomenta in tal guisa sembra disconoscere il carattere essenziale dell'arte classica. La quale non nasce, ricevendo da fuori la norma della misura siccome qualcosa di sovrapposto, ma - arte vera - esprime un momento dell'animo dell'artista: il momento in cui il tumulto delle passioni viene composto e dominato in un'armonia superiore che s'innalza sui motivi discordi come tipo di perfezione o "idea".

5. Influenze matematiche nell'arte e nella letteratura • A prescindere dall'influenza sulla tecnica c'è un'influenza più intima che gl'ideali matematici esercitano sul gusto e sui criteri degli artisti. • In questo senso, l'intromissione riflessa di criteri matematici ha potuto pregiudicare l'arte, come si vede più volte nella storia. E già nell'antica Grecia se ne hanno esempi caratteristici. Citiamo Ippodamo di Mileto, l'ingegnere imbevuto delle idee pitagoriche, che disegnò il tipo della città geometrica con due sistemi di strade diritte perpendicolari, mentre portava il suo misticismo aritmetico nello schema della costituzione della polis; e ancora Policleto, l'autore del "canone" artistico basato sulle proporzioni del corpo umano, il cui errato criterio (che sostituisce la proporzione vera all'apparente) verrà corretto soltanto da Lisippo, nell'epoca alessandrina. • Sennonché questi stessi errori fan parte dell'esperienza dell'artista che nel suo mondo fantastico ricerca il disegno d'una natura ordinata secondo leggi matematiche. L'ordine prospettico, la proporzione e la misura delle linee e delle superficie, realizzate secondo regole geometriche. Come già abbiamo accennato, gli artisti di quel secolo o del secolo successivo - da Lorenzo Ghiberti a Paolo Uccello, a Leonardo Da Vinci, a Alberto Dürer - s'innalzano così dall'opera d'arte alla ricerca della "divina proporzione", contemplando in essa la bellezza eterna e la verità universale.

6. Non sarebbe difficile concentrarsi sulla musica e notare legami a tutto campo con la matematica, iniziando dagli studi sull'armonia di Pitagora e terminando con le composizioni di Pierre Boulez e Philip Glass, entrambi laureati in matematica ed esponenti contemporanei fra i più noti e rappresentativi.

7. La sezione aurea è definita come il rapporto fra la diagonale e il lato di un pentagono regolare: le sue diagonali formano una piacevole stella a cinque punte usata dai Pitagorici fino alle Brigate Rosse, e che si ritrova nella tradizione ebraica come «sigillo di Salomone», in Goethe come «piede di strega» che impedisce a Mefistofele di uscire dallo studio di Faust, e nelle stelle della bandiera degli Stati Uniti. Benché la definizione della sezione aurea sembri piuttosto innocua, essa in realtà produce un numero (uguale a circa 1,618) che, come dice appunto il nome, rappresenta una estetica proporzione: essa fu usata nella costruzione della Grande Piramide e del Partenone, e la si ritrova anche in natura, ad esempio fra le lunghezze di falangi consecutive delle dita di una mano La prospettiva, che è la rappresentazione realistica di scene spaziali su di un piano, sembra essere stata scoperta nell'antichità classica, perduta nei secoli bui, ritrovata da Filippo Brunelleschi verso il 1420, pubblicata nel 1436 nel Trattato della pittura di Leon Battista Alberti, e sistematizzata da Piero della Francesca nel 1478 in De prospectiva pingendi.

8. Leonardo da Vinci sembra essere stato il primo ad introdurre, attorno al 1500, le anamorfosi, cioè le rappresentazioni che appaiono corrette soltanto se osservate da un punto di vista particolare (necessarie ad esempio per dipingere scene su cupole, in modo che esse non risultino deformate se guardate dal basso). L'esempio più noto di questa tecnica è il quadro I due ambasciatori di Holbein, del 1533, in cui una macchia apparentemente amorfa appare come un teschio se osservata da un lato del dipinto. L'anamorfosi ispirò a Desargues nel 1639 la geometria proiettiva, che è appunto lo studio delle proprietà che sono invarianti rispetto a proiezione, e che si sviluppò in una delle branche fondamentali della matematica.

9. La storia del continuo e bidirezionale rapporto fra matematica e pittura non è certo finita: le nuove possibilità offerte dalla grafica computerizzata hanno ad esempio permesso la creazione di modelli visivi di superfici e composizioni geometriche che hanno assunto l'aspetto di una vera e propria nuova forma d'arte, di cui i frattali sono forse l'espressione più nota ed appariscente

10. L'affascinante mondo dei frattali • Quanto è lunga la costa della Sardegna?  La domanda può sembrare banale ma la risposta, se non avete mai sentito parlare dei frattali, vi sorprenderà: la sua lunghezza è infinita!  Come si può arrivare a giustificare una simile affermazione?  Beh, diciamo subito che si tratta solo di una estrapolazione matematica, tuttavia il risultato lascia senza parole.  Proverò a spiegarlo gradualmente iniziando con un esempio.

11. Un fiocco di neve frattale • La figura a lato mostra come generare il cosiddetto fiocco di neve di von Koch: si prende un segmento (fig. 1a), lo si taglia in 3 parti e si sostituisce quella centrale con due segmentini uguali a quello eliminato (fig. 1b); ora si ripete l'operazione con ciascuno dei quattro segmenti così ottenuti (fig. 1c) e si continua a ripeterla per un numero infinito di volte.  La curva che si ottiene dopo un numero infinito di iterazioni è una curva frattale e come tutte le curve frattali è dotata di affascinanti proprietà matematiche, facili da intuire ma, spesso, difficili da dimostrare.

12. Se il nome "fiocco di neve" vi sembra poco appropriato per la curva di fig. 1, forse cambierete idea osservando ciò che si ottiene applicando il procedimento appena descritto ai lati di un triangolo.

13. Frattale, cioè frammento irregolare • Dare una definizione soddisfacente di questi stranissimi enti matematici non è affatto facile: non ci è riuscito nemmeno il loro scopritore!  In prima approssimazione possiamo affermare che una curva si dice frattale se ha la proprietà dell'autosimilitudine: ingrandendo un qualsiasi tratto di curva si visualizza un insieme di particolari altrettanto ricco e complesso del precedente; questo procedimento di "zoom" può proseguire all'infinito.  Da ciò derivano due curiose caratteristiche delle curve frattali: • pur essendo continue non ammettono una tangente unica in alcun punto; • presi due punti della curva, anche vicinissimi tra loro, la distanza fra essi (misurata lungo la curva) è sempre infinita. • Quest'ultimo fatto lo possiamo facilmente verificare per il fiocco di neve appena visto.  Ad ogni iterazione la lunghezza della curva cresce di un fattore 4/3: se il segmento di partenza ha lunghezza pari a 1, il secondo misura 4/3, il terzo 16/9, il quarto 64/27 e così via.  Questa successione è chiaramente divergente, cioè tende ad assumere un valore infinito.  Ma non è tutto: ogni pezzo del fiocco di neve, anche piccolissimo, gode della proprietà dell'autosimilitudine cioè contiene in sé un'infinita ricchezza di particolari, di minuscoli fiocchi di neve, e quindi anch'esso è di lunghezza infinita.

14. Circondati dai frattali • Torniamo ora alla nostra domanda iniziale: quanto è lunga la costa della Sardegna?  Ebbene, la risposta dipende dalla scala alla quale viene fatta la misurazione: una valutazione sommaria fornisce un risultato relativamente basso che però cresce a dismisura se si inizia a prendere in considerazione ogni più piccolo promontorio, ogni anfratto, ogni scoglio, ogni granello di sabbia.  Insomma un tratto di costa può essere visto come un tratto di curva frattale.In realtà i frattali sono in grado di rappresentare egregiamente una gran varietà di oggetti e fenomeni della Natura: non solo un tratto di costa ma anche i rami o le radici di un albero, una nuvola, le ramificazioni di un fulmine e la dentellatura di una foglia ne sono alcuni esempi.

15. L'insieme di Mandelbrot • L'insieme di Mandelbrot (d'ora in poi indicato con M) è un luogo geometrico del piano complesso; più precisamente è l'insieme dei punti di tale piano che soddisfano la legge di Mandelbrot: • Un punto c del piano complesso appartiene all'insieme se la successione definita ricorsivamente dalla formula • z(n+1) = z(n)*z(n) + ccon z(0) = 0 • non diverge.Cosa ha di speciale questo insieme?  E' presto detto: la sua frontiera (cioè il suo perimetro) è una curva frattale, uno dei frattali più complessi che si conoscano.

16. La figura 5 mostra M nella sua interezza: i punti dell'insieme sono quelli di colore nero all'interno della grossa cardioide mentre gli altri colori sono usati per indicare le diverse velocità con cui la successione diverge, come spiegato più avanti.  Grazie alla proprietà dell'autosimilitudine, la frontiera di M si presta ad una interminabile e sorprendente esplorazione (figg. 6 e 7).  Nel caso del fiocco di neve, zoomando su un piccolo tratto di curva si visualizza una nuova curva uguale a quella di partenza; con M, invece, le cose sono un po' diverse: la proprietà dell'autosimilitudine vale in senso lato, infatti la frontiera di M è disseminata di un'infinità di minuscole cardioidi somiglianti ma non uguali a quella di partenza e le immagini che si possono ottenere sono infinitamente varie.  La principale differenza tra la grossa cardioide di fig. 5 e quelle minuscole che la circondano sta nei sottili filamenti che uniscono queste ultime al corpo principale dell'insieme.  I filamenti, simili a fulmini (fig. 7), sono interamente costituiti da punti appartenenti ad M ed infatti è possibile dimostrare che M è un insieme connesso.

17. Un insieme di Mandelbrot fatto in casa • Prima di spingerci oltre nell'esplorazione di M, cerchiamo di capire meglio come si ottengono questi disegni. Vi sembrerà strano, ma è possibile generarli con un programma di poche righe!Iniziamo ricordando qualche formula matematica (chiedo venia): • Somma di due numeri complessi:(a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d) • Modulo di un numero complesso (ovvero distanza di un punto del piano dall'origine degli assi):mod(a + ib) = sqrt(a*a + b*b) • Quadrato di un numero complesso:(a + ib)2 = (a*a - b*b) + 2abi • Associamo ad ogni pixel un punto del piano complesso e determiniamo se esso appartiene all'insieme: in caso affermativo lo coloriamo in bianco, altrimenti in nero.  Abbiamo così ottenuto una rappresentazione in 2 colori dell'insieme.  Per rendere la cosa più gradevole dal punto di vista estetico, e per meglio comprendere il comportamento dei vari punti del piano rispetto alla legge di Mandelbrot, conviene usare più colori.  Si può allora decidere di indicare con colori diversi la velocità con cui la successione diverge: ad esempio, si colorano in blu i punti in cui la successione diverge alla prima iterazione, in verde quelli in cui diverge alla seconda, ecc.  Ma come si fa a stabilire se la successione diverge o no?  Guardiamo più attentamente la legge di Mandelbrot: •   z(n+1) = z(n)*z(n) + c   • In essa compare il quadrato di z.  Ebbene, secondo una proprietà dei numeri complessi, se un numero z ha modulo >=2, il suo quadrato avrà modulo ancora maggiore e quindi la successione sarà divergente.  Se invece la successione, dopo un certo numero massimo di iterazioni, non accenna a divergere, si dà per scontato che non divergerà mai, e si accetta il punto che la origina come membro dell'insieme.  La cosa non è corretta dal punto di vista teorico, ma, se il numero di iterazioni è abbastanza alto, la probabilità di commettere errori di attribuzione è ragionevolmente limitata.

18. Per quanto detto finora, l'algoritmo opera nel seguente modo: viene calcolato ripetutamente il valore di z mediante la formula sopra indicata, e, ogni volta, il modulo di z viene confrontato col valore 2.  Il procedimento si arresta quando la successione mostra di essere divergente (mod(z)>=2) oppure quando si giunge al numero massimo di iterazioni.  Infine viene attribuito il colore opportuno al pixel corrispondente al punto c considerato e si passa al punto, e al pixel, successivi.Quanto appena detto è alla base delle poche righe di codice in linguaggio C, Pascal e QBasic che ho approntato.Per velocizzare l'elaborazione ho adottato due semplici ma importanti accorgimenti.  Il primo è nella condizione di uscita del ciclo WHILE che applica iterativamente la legge di Mandelbrot: il numero complesso in esame (e cioè il modulo del valore corrente di z, pari a sqrt(a*a+b*b)) viene confrontato senza la radice con il valore 4 (anziché 2), risparmiando alla macchina l'inutile e dispendiosa operazione di radice.  Il secondo accorgimento si basa sulla constatazione che, per colorare un pixel appartenente all'insieme, è necessario un numero di calcoli molto maggiore che per gli altri pixel in quanto il ciclo WHILE viene eseguito MAXCONT volte (dove MAXCONT è il numero massimo di iterazioni prefissato).  Ho pensato, quindi, di individuare (per via empirica) un rettangolo di piano complesso tutto appartenente all'insieme: in questo modo è possibile evitare l'esecuzione del ciclo per tutti i pixel di questo rettangolo, che verranno immediatamente attribuiti all'insieme senza ulteriori calcoli.  L'istruzione IF..THEN posta subito prima del WHILE si occupa proprio di questo.Per velocizzare ulteriormente il programma si potrebbe sfruttare la simmetria dell'insieme rispetto all'asse delle ascisse, ma ho preferito non seguire questa strada per non appesantire eccessivamente il listato.  In alternativa si potrebbe ridurre ulteriormente il valore della costante MAXCONT, ma questo andrebbe a scapito della precisione del disegno (il valore attuale è già molto basso).Per "zoomare" su un particolare della figura basta modificare le costanti INFX, SUPX, INFY, SUPY e rilanciare il programma; queste costanti, infatti, definiscono il rettangolo di piano che deve essere visualizzato sullo schermo (sono le coordinate del primo e del quarto vertice).  Se i valori attribuiti a tali costanti sono tali che INFX>SUPX si ottiene un'immagine ribaltata attorno all'asse delle ordinate.  La capacità di ingrandimento del programma è limitata unicamente dalla precisione del tipo di dato in virgola mobile utilizzato.

19. Fractint • I programmini che ho realizzato sono soltanto degli esempi: per le vostre esplorazioni vi raccomando l'ottimo programma freeware Fractint che può essere certamente considerato il programma DEFINITIVO sui frattali.  I suoi maggiori pregi sono: • l'elevatissima velocità di esecuzione, ottenuta, tra l'altro, ricorrendo ad algoritmi che operano sugli interi anziché sui reali (quando è possibile); • il vastissimo campionario di frattali visualizzabili; • la semplicità con cui è possibile zoomare e variare i parametri di visualizzazione. • Tutte le immagini presenti in questa pagina sono state create con Fractint.  I file GIF creati da Fractint hanno una importante caratteristica: oltre alla bitmap contengono al loro interno alcune informazioni che Fractint stesso è in grado di riutilizzare; queste informazioni sono etichettate come Application Data Block nel pieno rispetto dello standard GIF89a, uno standard estremamente versatile.  I programmi diversi da Fractint (compreso il vostro browser) ignorano i data block di altre applicazioni e visualizzano l'immagine senza problemi.  Provate a caricare una di queste immagini in Fractint e noterete che il programma si riporta automaticamente nello stato in cui si trovava quando l'immagine è stata creata: tutti i parametri che controllano l'aspetto dell'immagine vengono reimpostati e quindi è possibile riprendere l'esplorazione dal punto esatto in cui era stata interrotta.Le GIF di questa pagina si trovano ora nella cache del browser.  Se non volete perdere tempo a cercarle, potete facilmente salvarle in una directory a piacere: cliccate su ciascuna di esse col tasto destro del mouse e scegliete l'opzione Salva con nome o Save as.Qui di seguito vi propongo qualche altro esempio di ciò che si nasconde lungo la frontiera di M.

20. Volete sapere quali sono le coordinate della porzione di piano visualizzata in fig. 8?  Basta caricare l'immagine in Fractint (tasto R) e premere Tab.  Volete vedere in quale punto di M si trovano queste coordinate?  Basta zoomare all'indietro (tasti Page Up e Ctrl-Enter) fino a visualizzare l'intera cardioide: il punto che apparirà al centro dello schermo sarà quello che sono andato ad esplorare.  Volete aumentare la risoluzione per vedere meglio l'immagine?  Basta premere il tasto Del e scegliere uno dei tanti modi video supportati: l'immagine verrà ricalcolata al volo (non si tratta di un semplice ingrandimento della bitmap).  Le immagini di questa pagina sono state create in modalità preview così da poterne regolare la risoluzione a piacere; il preview può essere disattivato dal menu Preview Options (tasto V). • Quando si esplora un particolare di M in profondità è importante regolare opportunamente il valore del numero massimo di iterazioni (quello che nei programmini dimostrativi era chiamato MAXCONT). 

21. Autosimilarità • F è unione di un numero di parti che, ingrandite di un certo fattore, riproducono tutto F; in altri termini F è unione di copie di se stesso a scale differenti.

22. Le figure seguenti mostrano chiaramente l'effetto di un valore limite troppo basso. Dalla fig. 10 si ha l'impressione di aver trovato un sottoinsieme di M di forma approssimativamente circolare ma in realtà questo "buco nero" non esiste: nei punti di colore nero la successione diverge dopo un numero di iterazioni maggiore di quello fissato e quindi questi punti vengono erroneamente attribuiti ad M; è sufficiente raddoppiare il limite (da 1500 a 3000) per rendersi conto di come stanno realmente le cose (fig. 11).  Per evitare di prendere abbagli bisogna ricordarsi di aumentare progressivamente il numero limite di iterazioni al crescere del fattore di zoom.  Nel farlo, però, bisogna anche tenere presente che un limite troppo alto rallenta la generazione delle immagini, in particolare di quelle che contengono molti punti appartenenti ad M.  Nei piccoli sorgenti visti prima ho privilegiato la velocità a scapito della precisione ponendo MAXCONT=61: si tratta di un valore appena accettabile per ottenere una vista complessiva di M ma risulta del tutto insufficiente non appena si inizia a zoomare.In Fractint il numero limite di iterazioni può essere modificato dal menu Basic Options (tasto X). Come è facile immaginare, la scelta della palette (la tavolozza dei colori) è determinante per la resa estetica dell'immagine; per questo motivo Fractint fornisce numerose palette già pronte (ce ne sono anche alcune ottimizzate per l'uso con occhiali stereoscopici!).  Le figg. 6 e 7 usano la palette BLUE.MAP mentre la 8 e la 9 usano VOLCANO.MAP.  E' possibile applicare una nuova palette ad una immagine premendo C e poi L.La scelta di una buona palette, tuttavia, non è sufficiente a garantire un buon risultato.

23. Le due immagini seguenti mostrano uno stesso particolare di M e usano la stessa palette (BLUE.MAP), ciò che cambia è il modo in cui i colori della palette vengono assegnati ai pixel. Nel primo caso ho utilizzato il criterio predefinito: l'assegnazione lineare 1:1.  Questo criterio assegna a ciascun pixel il colore N, dove N è il numero di iterazioni effettuate; se N è maggiore del numero di colori disponibili si ricomincia a contare dal colore 0.  Il criterio lineare dà buoni risultati con immagini poco ingrandite ma diventa subito inadeguato al crescere del fattore di ingrandimento e del numero massimo di iterazioni.Per la figura di destra, invece, ho usato il criterio logaritmico ottenendo un migliore contrasto.  E' possibile scegliere il criterio di assegnazione dal menu Basic Options (tasto X).

24. Un'altra interessante funzione riguardante la palette è il color cycling ovvero una rotazione continua dei colori che in alcuni casi (immagini dalla forma spiraleggiante) ha degli effetti quasi ipnotici.  Il color cycling si attiva con il tasto C seguito da "+" o "-" per scegliere il verso della rotazione; è anche possibile modificarne la velocità con i tasti Up e Down.  Provatelo con l'immagine di fig. 14 che usa la palette CHROMA.MAP. L'eseguibile FRACTINT.EXE, di grosse dimensioni, presenta al suo interno un ricco manuale consultabile a run-time; è anche possibile estrarre il manuale ed ottenere così un testo pronto per la stampa: basta lanciare il programma con il parametro MAKEDOC.  La lettura del manuale vi permetterà di apprendere tutte le altre interessanti funzionalità del programma (ad esempio la possibilità di creare stereogrammi) e di sfruttarlo al meglio per esplorare M e tutti gli altri frattali disponibili.  Buon viaggio!  ;-)

25. Un'introduzione ai frattali • Gli oggetti della natura (alberi, montagne, nuvole, foglie, felci etc. ) sono tutti caratterizzati da un carattere irregolare e non possono essere studiati usando le proprietà della geometria euclidea (rette, poligoni, cerchi). Questo ha giustificato l'introduzione di un nuovo tipo di geometria da parte del matematico Benoit B. Mandelbrot (1982): la geometria frattale . • Nella figura sopra l'esempio più familiare di frattale: un albero (in questo caso una quercia da molti anni non sottoposta a potatura, fotografata in inverno). .

26. Frattali e natura • Durante una passeggiata in campagna o in un bosco si è immersi nella natura fra montagne, alberi, erbe, fiori di tutti i tipi e di tutte le dimensioni. A parte l'indiscutibile bellezza dell'ambiente, un occhio più esperto può cogliere nella forma di tutti questi oggetti delle curiose proprietà geometriche. • Le forme che si incontrano però non possono essere studiate applicando gli assiomi della geometria euclidea che si insegnano usualmente nelle scuole. Infatti non si tratta (tranne pochissime eccezioni) di enti geometrici nel senso euclideo del termine, ovvero di poligoni o poliedri più o meno regolari. • Tutto cio' che si incontra in natura è molto più complesso, frammentato, frastagliato. • Consideriamo ad esempio una comune felce (fig. 1). La cosa che si nota immediatamente è che una parte della felce è simile a tutta la felce stessa, ovvero è una copia in piccolo della foglia completa.

27. Ed allo stesso modo si può procedere innumerevoli volte fino a ridursi a parti sempre più piccole. Nella figura accanto sono evidenziati i primi tre passi di questo confronto (fig. 2). La parte evidenziata in rosso è la copia in piccolo dell'intera foglia. La parte evidenziata in blu a sua volta è la copia ridotta della parte in rosso. Infine la parte celeste è la copia ridotta della parte blu.

28. Questa proprietà prende il nome di autosimilarità (o autosomiglianza) : una parte dell'oggetto è simile al tutto. • In geometria gli oggetti che sono autosimili vengono definiti frattali e possono essere costruiti seguendo precise regole di tipo matematico. • La felce è un frattale. Si tratta quindi di un oggetto geometrico e come tale si può ottenere usando delle tecniche matematiche. Nella figura 3 osserviamo una felce costruita in questo modo. Notiamo che nella versione proposta manca lo stelo. E' possibile osservare anche una versione ingrandita della figura. • Nota importante sulla definizione di frattale • Tieni presente che la definizione di frattale non è unica. Esiste una grande varietà di oggetti che vengono definiti frattali ed ognuno ha caratteristiche proprie. Lo stesso Mandelbrot non fornisce una definizione di frattale, se non in modo molto approssimativo ed intuitivo. La definizione che hai trovato sopra è quindi necessariamente solo una delle possibili. In ogni caso i frattali che troverai in questo sito soddisferanno tutti questa caratteristica.

29. Una definizione di frattale • Diamo ora una definizione più rigorosa di frattale, ma pur sempre in termini elementari. • Consideriamo un insieme di N trasformazioni (non necessariamente affini) del piano cartesiano: { T 1 , T 2 , T 3 , ..., T N } ed applichiamole allo stesso sottoinsieme A del piano. Come risultato otterremo una famiglia di N sottoinsiemi del piano cartesiano { T 1 ( A ), T 2 ( A ), T 3 ( A ), ..., T N ( A )}. Sia A 1 l'insieme ottenuto come unione di questi sottoinsiemi. Applichiamo di nuovo le N trasformazioni all'insieme A 1 così ottenuto e consideriamo l'unione degli N insiemi immagine. Chiamiamo questo insieme A 2 . Agiamo nello stesso modo su A 2 e otteniamo A 3 . • Continuando allo stesso modo, otteniamo una successione di insiemi { A 1 , A 2 , A 3 , ...}. • Il problema che ci poniamo è il seguente: continuando in questo modo, la successione di insiemi convergerà ad un insieme A oppure no? Convergere in questo caso vuol dire che la successione si stabilizzerà, e da un certo punto in poi non noteremo più cambiamenti apprezzabili nell'immagine sullo schermo. (Si tratta di un'operazione di limite.) • Sotto certe condizioni la successione di insiemi convergerà ad un insieme limite F . Questo insieme limite F si definisce frattale , anzi frattale IFS (Iterated Function System) ovvero "frattale ottenuto iterando un insieme di trasformazioni del piano". • Se la definizione di frattale ti sembra difficile, leggi l'esempio seguente.

30. Un esempio: la costruzione della felce La costruzione di un frattale come la felce è strettamente legata alle trasformazioni affini. Possiamo infatti affermare che basta applicare più volte un certo numero di trasformazioni affini per ottenere una figura come quella precedente (fig. 3).

31. Cerchiamo di capire in termini elementari come si procede. Si parte da una forma iniziale qualsiasi, ad esempio il rettangolo di punti in alto a sinistra della figura 4. Questo e' l'insieme iniziale A . Questo insieme viene trasformato: si ruota e si rimpicciolisce tre volte applicando tre distinte trasformazioni geometriche (fig. 5). Notiamo che il quadrato iniziale viene cancellato e restano solo i tre quadrilateri ottenuti dalle tre affinità. Questo è l'insieme A 1 . All' insieme ottenuto, applichiamo di nuovo le tre trasformazioni ed ricaviamo la figura seguente (fig. 6). Questo è l'insieme A 2 . Notiamo che anche stavolta l'insieme precedente non viene più visualizzato. Si procede di nuovo in questo modo, cancellando il passo precedente e si ottiene l'insieme A 3 . Nota che la successione di insiemi { A 1 , A 2 , A 3 , ...} converge ad un insieme A che è proprio la felce della figura 3. Passo 0 - A Passo 1 - A 1 Passo 2 - A 2 Passo 3 - A 3 Passo 4 - A 4 Passo 5 - A 5

32. Bibliografia Siti Internet GOOGLE: Matematica e arte GOOGLE: Frattali “ Un’introduzione ai frattali” GOOGLE: Frattali “L’affascinante mondo dei frattali”