Matematinė analizė ir tiesinė algebra

1. Matematinė analizė ir tiesinė algebra 1 paskaita.

2. Praktinis uždavinys Ką ir kiek gaminti, kad maksimizuoti pelną? Matematinis uždavinys Tiesinio programavimo gamybos planavimo uždavinys Kapitalo investavimas Stochastinis modeliavimas ir optimizavimas (Vertybinių popierių kainų svyravimų aprašymas) Projekto darbų tvarkaraščio sudarymas Tinklinio planavimo uždavinys

3. Problemos sprendimo schema Detalizavimas Klasifikavimas Modeliavimas Problema Matematinis modelis Sprendimo algoritmas Metodo parinkimas Algoritmizavimas Programa Programavimas Interpretavimas Skaičiavimai Rezultatas

4. Problemos pavyzdys

5. Matematinio modelio sudarymo schema • Įvedami kintamieji (nežinomieji) • Užrašomi apribojimai kintamiesiems • Užrašoma tikslo funkcija ir nurodoma min ar max jos reikšmė yra ieškoma • Užrašomas uždavinio matematinis modelis

6. Problemos matematinis modelis (Tiesinio programavimo uždavinys)

7. Aibes • Aibės sąvoka matematikoje yra pirminė. Ji neapibrėžiama. Aibėsuvokiama kaip kurių nors objektų visuma. Ją sudarantys objektai vadinami elementais. A={a; b; c; d}, B={-1; 0; 2,71}, C={Antanas, Leonas} – baigtinės aibės N={1; 2; 3; 4; …}, Z={…; -2; -1; 0; 1; 2; …},begalinės aibės • Aibės apibūdinamos ir kitaip - nurodant sąlygas, kurias tenkina elementai: • R={x: -∞<x<+∞} – realiųjų skaičių aibė • D={(x,y): x+y=1} – tiesės y=1-хtaškai

8. Veiksmai su aibėmis Aibė A yra aibės Bpoaibis (rašoma ), jeigu kiekvienas A elementaskartu yra aibės B elementas. A ir B yra lygios aibės, jeigu ir . Aibių A ir B sąjunga yra aibė, sudaryta iš elementų, priklausančių bent vienai iš jų: Aibių A ir Bsankirta yra aibė, sudaryta iš elementu, kurie priklauso ir A, ir B. Aibių A ir B skirtumas yra aibė, kurią sudaro tie aibės A elementai, kurie nepriklauso aibei B Aibių A ir B Dekarto sandauga yra aibė, sudaryta iš poru (a;b): Neturinti elementų aibė vadinama tuščiąja aibe. A\A=ø

9. Funkcija Taisyklė f, pagal kurią kiekvienam aibės X elementui x priskiriama po viena realių skaičių aibės Y elementą y, vadinama funkcija. Kintamasis x - nepriklausomas kintamasis arba funkcijos argumentas. y – funkcijos reikšmė taške x. Lygybė y=f(x)- funkcijos lygtis. Aibė X – funkcijos apibrėžimo sritis. Aibė - funkcijos reikšmių aibė.

10. Funkcijos grafikas Jei X yra realiųjų skaičių aibės poaibis, tai y=f(x)vadinama vieno kintamojo funkcija. Tokios funkcijos grafiką sudaro plokštumos taškai. Jos grafikas yra aibė

11. Funkcijos monotoniškumas Funkcija y=f(x) vadinama didėjančiąja intervale I, jei su bet kuriais šio intervalo skaičiais x1 ir x2, x1< x2galioja nelygybė f(x1) <f(x2). Funkcija y=f(x) vadinama mažėjančiąja intervale I, jei su bet kuriais šio intervalo skaičiais x1ir x2, x1< x2galioja nelygybė f(x1) >f(x2). Vien tik didėjanti arba vien tik mažėjanti intervale I funkcija vadinama monotonine

12. Funkcija y=f(x) vadinamaaprėžtąja intervale I, jei egzistuoja tokie skaičiai m ir M, kad visiems x iš I galioja nelygybė Aprėžtos funkcijos

13. Jeigu intervale galioja tik nelygybė , tai funkcija šiame intervale vadinama aprėžta iš apačios Aprėžta iš apačios funkcija

14. Jeigu intervale galioja tik nelygybė , tai funkcija šiame intervale vadinama aprėžta iš viršaus. Aprėžta iš viršaus funkcija

15. Funkcijos, kurių apibrėžimo sritis yra natūraliųjų skaičių aibė, vadinamos natūraliojo argumento funkcijomis. Pagal pasirinktąja natūraliojo argumento funkciją , parašyta begalinė skaičių eilė f(1), f(2), ... , f(n), ... vadinama skaičių seka. f(n) – bendrasis sekos narys. Iš jo galima apskaičiuoti bet kurį sekos narį. Sekos

16. Apibrėždami atvirkštinę funkciją, apsiribosime funkcijomis, kurios kiekvieną reikšmę įgyja tik viename apibrėžimo srities taške. Tokios funkcijos vadinamos abipusiškai vienareikšmėmis. Funkcijos , apibrėžiančios aibių X ir elementų abipusiškai vienareikšmę atitiktį, atvirkštine vadinama funkcija , kiekvienam y priskirianti aibės X elementą x, su kuriuo Atvirkštinė funkcija

17. Atvirkštinės funkcijos

18. LITERATŪRA Pagrindinė: • A. Apynis, E. Stankus. Matematika. - Vilnius, TEV, 2001 • G. Fichtengolcas. Matematinės analizės pagrindai. Vilnius, Mintis, 1965. • V.Iljinas, E.Pozniakas. Matematinės analizės pagrindai. – Vilnius, Mokslas, 1981 • A. Matuliauskas. Algebra. – Vilnius, Mokslas, 1983 • Б. П. Демидович. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. - Москва, Наука, 1977. • Н. С. Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисления. – Москва, Наука, 1978.

19. LITERATŪRA Papildoma: • A. Apynis, E. Stankus. Matematika. Taikymai ekonomikoje ir versle. - Vilnius, Leidybos centras, 1995 • A. Apynis, E. Stankus. Taikomoji matematika. - Vilnius, VVK leidykla, 2000 • V. Būda, S. Čirba, J. Raulynaitis. Tiesinė algebra ir analizinė geometrija. – Vilnius, Technika, 2004 • V. Čiočys, R. Jasilionis. Matematinis programavimas. - Vilnius, Mokslas, 1990 • S. Girdzijauskas. Finansinė analizė. - Vilnius, 2005 • P. Golokvosčius. Diferencialinės lygtys. - Vilnius, TEV, 2000 • Z. Furmonavičienė ir kt. Tiesinė algebra ir matematinė analizė. – Kaunas, Technologija, 2000 • K. Kubilius, L. Saulis. Matematinės analizės uždavinynas.I. - Vilnius, TEV, 2000. • S. Puškorius. Matematiniai metodai vadyboje. – Vilnius, TEV, 2001 • Г. Л. Луканкин, Н.Н. Мартынов, Г. А. Шадрин, Г. Н. Яковлев. Высшая математика. – Москва, Просвещение, 1988