Kepler, Newton, Gauss… los padres de Galileo

1. MATEMÁTICAS EN ACCIÓN 2007 Kepler, Newton, Gauss… los padres de Galileo

2. Presentación Miguel Azaola • Matemático (UCM y UC) • En GMV desde 2001 • Participación en los programas EGNOS y GALILEO • En la actualidad: área de aplicaciones (algoritmos de receptor) GMV • Nace en 1984 del Grupo de Mecánica de Vuelo de la UPM • Inicialmente, mecánica de vuelo, análisis de misión, simulación • Actualmente, grupo empresarial con presencia en tres continentes y más de 800 empleados: • Espacio (GNSS, análisis de misión, centros de control...) • Defensa • Transporte (gestión de flotas, sistemas de peaje...) • Seguridad informática • Banca • Medicina (simulación para adiestramiento quirúrgico) • ... Kepler, Newton, Gauss… los padres de Galileo Matemáticas en Acción 2007 (Universidad de Cantabria)

3. Contenidos • Elementos de Navegación por Satélite (GNSS) • Determinación de órbitas: la clave para el control del sistema • Comparación GPS / GLONASS / GALILEO • El papel de GMV en GNSS Kepler, Newton, Gauss… los padres de Galileo Matemáticas en Acción 2007 (Universidad de Cantabria)

4. PARTE PRIMERA ELEMENTOS DE NAVEGACIÓN POR SATÉLITE (GNSS)

5. El Problema de posicionamiento:relojes en órbita • Dos objetos de posición conocida (satélites) • Determinamos la distancia que nos separa de ellos • Así obtenemos nuestra posición en el plano • Podemos descartar una de las dos soluciones por absurda Kepler, Newton, Gauss… los padres de Galileo Matemáticas en Acción 2007 (Universidad de Cantabria)

6. El Problema de posicionamiento:relojes en órbita • Los satélites nos envían una señal sincronizada con una referencia de tiempo • La señal viaja a velocidad constante conocida (la de la luz) • Determinamos la distancia midiendo el tiempo de viaje • Para ello tenemos que sincronizar además nuestro reloj • Esto nos obliga a usar un satélite más (tres) Kepler, Newton, Gauss… los padres de Galileo Matemáticas en Acción 2007 (Universidad de Cantabria)

7. El Problema de posicionamiento:relojes en órbita Los satélites GPS (GLONASS, GALILEO): • Son relojes atómicos en órbita sincronizados con una referencia de tiempo (e.g. UTC USNO en GPS) • Emiten continuamente una señal que nos permite medir el tiempo de viaje y nos informa de su posición (órbita) Los receptores de usuario: • Sincronizan su reloj (de cuarzo) con la referencia de tiempo • Miden el tiempo de viaje de la señal de cada satélite para calcular la distancia a la que se encuentra • Utilizan la información de posición de los satélites junto con las distancias calculadas para determinar su propia posición Kepler, Newton, Gauss… los padres de Galileo Matemáticas en Acción 2007 (Universidad de Cantabria)

8. El Problema de posicionamiento:relojes en órbita Se necesitan al menos cuatro satélites para que haya solución La posición y el reloj son el resultado de un mismo cálculo: un sistema de ecuaciones cuadráticas (conos de luz) con cuatro incógnitas x, y, z, t: Kepler, Newton, Gauss… los padres de Galileo Matemáticas en Acción 2007 (Universidad de Cantabria)

9. Midiendo el tiempo de viaje: la señal GPS Cada satélite GPS emite una señal continua en la frecuencia de 1575.42 MHz (longitud de onda: 19.03 cm) El receptor tiene que: • Separar la señal de cada satélite individual (todos emiten en la misma frecuencia) • Determinar cuánto tiempo hace que salió del satélite (tiempo de transmisión) • Decodificar la información transmitida en la señal (mensaje de navegación) Para entender cómo lo hace tenemos que conocer la estructura de la señal GPS Kepler, Newton, Gauss… los padres de Galileo Matemáticas en Acción 2007 (Universidad de Cantabria)

10. Midiendo el tiempo de viaje: la señal GPS Sobre la portadora de 1575.42 MHz se modulan (en fase) dos señales*: • Código C/A (Coarse Acquisition): • Una secuencia fija y conocida de 1023 bits • Se repite cada milisegundo (bit rate: 1.023 MHz) • Es distinta para cada satélite • Mensaje de navegación: • Una secuencia de bits que codifica la información del satélite que el usuario necesita para navegar (parámetros orbitales, desviación del reloj y otros) • Se envía a 50 bits por segundo (bit rate: 50 Hz) • Los datos más relevantes se envían repetidamente cada 30 segundos • El mensaje completo se repite cada 12.5 minutos • El contenido del mensaje se refresca cada dos horas (*) En realidad se modula una tercera señal (el código P o Y) de acceso restringido (militar) Kepler, Newton, Gauss… los padres de Galileo Matemáticas en Acción 2007 (Universidad de Cantabria)

11. Midiendo el tiempo de viaje: la señal GPS Ambas señales se combinan en una única secuencia de bits: Con el resultado se modula la portadora (Binary Phase Shift Key): Kepler, Newton, Gauss… los padres de Galileo Matemáticas en Acción 2007 (Universidad de Cantabria)

12. Midiendo el tiempo de viaje: la señal GPS El receptor puede separar la señal de cada satélite porque conoce el código PRN de cada uno. Esta técnica, llamada CDMA (Code Division Multiple Access) o Code Spreading, tiene su origen en una patente de la actriz Hedy Lamarr (1954). Con CDMA, la separación se realiza mediante correlación con un código igual generado internamente en el receptor: Kepler, Newton, Gauss… los padres de Galileo Matemáticas en Acción 2007 (Universidad de Cantabria)

13. Midiendo el tiempo de viaje: la señal GPS La correlación permite: • Separar la señal de los diferentes satélites : el código de un satélite tiene una correlación cruzada muy pequeña con el de cualquier otro satélite (para cualquier posible “bit shift”) • Medir el retraso temporal de la señal recibida: la auto-correlación de un código consigo mismo es muy alta para bit shift nulo y muy baja para cualquier otro bit shift Tales son las propiedades de los códigos de Gold, fundamentados en la teoría de cuerpos finitos (o cuerpos de Galois). En el caso de los códigos C/A se trata de secuencias de máxima longitud (MLS) en GF(210). Kepler, Newton, Gauss… los padres de Galileo Matemáticas en Acción 2007 (Universidad de Cantabria)

14. Midiendo el tiempo de viaje: la señal GPS Una vez medido el tiempo de viaje de cada señal, se convierte en distancia multiplicando por la velocidad de la luz en el vacío: C=299792458 m/s Esta medida de distancia NO es correcta (tiene errores), por lo que recibe el nombre de pseudo-distancia o pseudo-rango (pseudorange) Las medidas de pseudo-rango serán corregidas posteriormente para mitigar parcialmente los efectos de: • Error de sincronía del reloj del satélite (mensaje de navegación) • Retardo ionosférico (modelo según mensaje de navegación) • Retardo troposférico (modelo estandarizado en función de altitud del usuario y elevación del satélite sobre el horizonte) • Efectos relativistas (modelo estandarizado basado en Schwarzschild) Otros errores permanecen (errores residuales de los ya corregidos, multipath, ruido térmico...) o son corregidos por alguna fuente externa (WAAS, EGNOS, MSAS, DGPS...) Kepler, Newton, Gauss… los padres de Galileo Matemáticas en Acción 2007 (Universidad de Cantabria)

15. Mensaje de navegación: órbitas, relojes e ionosfera Necesitamos la información del mensaje de navegación para: • Efectuar las correcciones de reloj e ionosfera ya mencionadas • Reloj del satélite: se envían tres parámetros, af0, af1 y af2 • Retardo ionosférico: Se utiliza el modelo de Klobuchar, con ocho parámetros i, i (i=0,1,2,3) enviados en el mensaje de navegación* • Conocer la posición del satélite (a través de sus parámetros orbitales) (*) Los usuarios bifrecuencia utilizan la “combinación libre de ionosfera” Kepler, Newton, Gauss… los padres de Galileo Matemáticas en Acción 2007 (Universidad de Cantabria)

16. Mensaje de navegación: órbitas Elementos Orbitales Keplerianos: a = semieje mayor e = excentricidad i = inclinación orbital  = ascensión recta del nodo ascendente  = argumento del perigeo  = anomalía verdadera Kepler, Newton, Gauss… los padres de Galileo Matemáticas en Acción 2007 (Universidad de Cantabria)

17. Mensaje de navegación: órbitas Elementos Orbitales Keplerianos : (eq. Kepler) S = posición  = anomalía verdadera E = anomalía excéntrica M = anomalía media a = semieje mayor b = semieje menor f = foco o = centro e = excentricidad Kepler, Newton, Gauss… los padres de Galileo Matemáticas en Acción 2007 (Universidad de Cantabria)

18. Mensaje de navegación: órbitas La ecuación de Kepler: La ecuación (ecuación de Kepler) no tiene solución analítica. Se resuelve numéricamente mediante el Teorema del Punto Fijo de Banach; se busca un punto fijo de la función: Por ser |e|< 1, la función f es contractiva, y por tanto se puede obtener el (único) punto fijo E0 de f por medio de iteraciónes de Picard: Kepler, Newton, Gauss… los padres de Galileo Matemáticas en Acción 2007 (Universidad de Cantabria)

19. Mensaje de navegación: órbitas Las órbitas en realidad NO son elipses keplerianas. GPS envía una aproximación kepleriana y sus derivadas (elementos osculadores) Kepler, Newton, Gauss… los padres de Galileo Matemáticas en Acción 2007 (Universidad de Cantabria)

20. Errores: error de medida Diversas fuentes de error afectan a las medidas de pseudo-rango: • Relojes (en especial el del satélite, no tanto el del receptor) • Reloj de satélite: error residual tras la corrección • Reloj de receptor: no tiene impacto (se estima con la posición) • Errores atmosféricos: • Ionosfera: parte residual no corregida por el modelo de Klobuchar • Troposfera: ídem (ej. Niels) • Errores locales: • Multipath: la señal rebota en superficies cercanas y: • Llega una sola señal retrasada • Llega también la señal directa y se produce una auto-interferencia • Interferencia (con otras señales): • No intencionada (improbable, las bandas de frecuencia de GPS están reservadas) • Intencionada: jamming, spoofing • Ruido térmico Kepler, Newton, Gauss… los padres de Galileo Matemáticas en Acción 2007 (Universidad de Cantabria)

21. Errores: error orbital No se trata de un error de medida; entra en una etapa posterior de la solución de navegación. Sin embargo se puede interpretar como un error de medida proyectando sobre la línea de vista (p – si) el vector de error orbital: Kepler, Newton, Gauss… los padres de Galileo Matemáticas en Acción 2007 (Universidad de Cantabria)

22. Errores: efecto relativista Los satélites: • Se mueven a gran velocidad con respecto a nosotros (4 Km/s) • Sufren una intensidad de campo gravitatorio muy distinta de la nuestra Según la Teoría de la Relatividad (general) estos dos factores contribuyen a cambiar su medida del tiempo Para resolver la ecuación de campo de Einstein hace falta introducir algunas hipótesis. En GPS se utiliza el llamado Modelo de Schwarzschild (estrellas y agujeros negros) Después de un largo desarrollo y tras varias simplificaciones, se llega a: Esta corrección se incluye como parte de la corrección del reloj del satélite Kepler, Newton, Gauss… los padres de Galileo Matemáticas en Acción 2007 (Universidad de Cantabria)

23. Resolviendo la posición en la práctica Recordemos las ecuaciones que definen nuestra posición: Corregimos cada medida con la información disponible: Obtenemos otras ecuaciones (más cercanas a la realidad): Eliminando los cuadrados y simplificando la notación: Si tenemos una estimación r de la desviación de nuestro reloj: Kepler, Newton, Gauss… los padres de Galileo Matemáticas en Acción 2007 (Universidad de Cantabria)

24. Resolviendo la posición en la práctica En condiciones normales: • Más ecuaciones que incógnitas (N>4) • Errores residuales (incluso después de las correcciones) Como consecuencia: no existe solución algebraica Hay que buscar una solución “promediada” (estimación estadística) Kepler, Newton, Gauss… los padres de Galileo Matemáticas en Acción 2007 (Universidad de Cantabria)

25. Resolviendo la posición en la práctica Linealización: Convertimos las ecuaciones cuadráticas en ecuaciones lineales: Esto tiene varias ventajas: • Simplifica el cálculo (computacionalmente más eficiente) • Permite aplicar técnicas lineales de estimación (como OLS) Kepler, Newton, Gauss… los padres de Galileo Matemáticas en Acción 2007 (Universidad de Cantabria)

26. Resolviendo la posición en la práctica Linealización: La linealización se consigue derivando las ecuaciones no lineales de observación con respecto al vector de estado (posición-reloj) que se quiere estimar: A cada posible vector de estado u= le corresponde un conjunto de medidas de pseudo-rango (teóricas) de acuerdo con la función d: Cada pequeña variación en las medidas se corresponde con una pequeña variación en el vector de estado a través de la matriz jacobiana de la función d: donde u0 es el punto de linealización. Kepler, Newton, Gauss… los padres de Galileo Matemáticas en Acción 2007 (Universidad de Cantabria)

27. Resolviendo la posición en la práctica Linealización: Por tanto, cada vez que elegimos un punto de linealización u0 se establece una correspondencia teórica entre variaciones de medida y variaciones del vector de estado: a través de la ecuación: Pero en la práctica, esta correspondencia está afectada por los errores residuales (de medida y de órbita): Kepler, Newton, Gauss… los padres de Galileo Matemáticas en Acción 2007 (Universidad de Cantabria)

28. Resolviendo la posición en la práctica El teorema de Gauss-Markov: Consideremos el sistema de ecuaciones lineales , donde: • es un vector de constantes conocidas (residuos de medidas) • es un vector de incógnitas (innovación del vector de estado) • es una matriz inyectiva conocida (matriz de observación) • es un vector aleatorio desconocido (vector de errores de medida) Supongamos que y que (matriz escalar). Entonces el estimador lineal insesgado de x con mínima varianza es el estimador de mínimos cuadrados ordinarios(Gauss, 1795): Kepler, Newton, Gauss… los padres de Galileo Matemáticas en Acción 2007 (Universidad de Cantabria)

29. Resolviendo la posición en la práctica Podemos aplicar el estimador de mínimos cuadrados ordinarios (OLS) para resolver la posición (y el reloj) siendo: Estimamos mediante mínimos cuadrados y obtenemos una estimación del vector de estado. Para hacer esto hemos elegido un punto de linealización u0, por lo que con cada nueva estimación de u debemos iterar el proceso, hasta que la innovación sea despreciable. Kepler, Newton, Gauss… los padres de Galileo Matemáticas en Acción 2007 (Universidad de Cantabria)

30. Resolviendo la posición en la práctica Resumen de la solución de navegación por OLS: • Elegir un estado a priori u0 para linealizar (ej. último conocido) • Iterar el bucle OLS empezando en u0 Por su parte, el bucle OLS en un punto uk (k-ésima iteración) es: • Linealizar en uk: (derivación numérica) • Calcular residuos en uk: • Calcular innovación del vector de estado: • Obtener nueva estimación del vector de estado: Condición de parada. Salimos del bucle en cualquiera de estos casos: • Si la innovación es suficientemente pequeña • Si k es muy grande (en este caso salimos con error) • Si se produce algún error (ej. no es invertible) Kepler, Newton, Gauss… los padres de Galileo Matemáticas en Acción 2007 (Universidad de Cantabria)

31. Resolviendo la posición en la práctica Puede ocurrir que el bucle OLS no funcione. ¿Por qué? • No convergencia o convergencia a un falso óptimo. Este caso no se produce si el punto de partida u0 está “cerca” de la superficie de la tierra (por tanto es evitable) • Falta de observabilidad (pocos satélites o “mal colocados”). Esto ocurre cuando las líneas de vista forman un cono circular con ápice en la posición del usuario (con menos de cuatro siempre ocurre). Algebraicamente, esta situación se traduce en que no es inyectiva Kepler, Newton, Gauss… los padres de Galileo Matemáticas en Acción 2007 (Universidad de Cantabria)

32. Resolviendo la posición en la práctica Además de la solución OLS existen otras: • WLS (con pesos): se elimina la hipótesis • Filtro de Kalman: incluye un modelo estocástico de la dinámica del receptor (ej. distinto para un coche, un barco o un avión). La solución es mucho más suave que OLS o WLS, pero el modelo puede inducir a error. Muy extendida en navegadores • Cualquiera de las anteriores con información adicional: se incrementa la observabilidad con nuevas ecuaciones de observación (ej. barómetro o brújula en receptores comerciales, sistemas inerciales (INS) en receptores de aviación) • En navegadores comerciales se suele añadir una capa de “map matching” (completamente separada del cálculo anterior) • Otras: campo en expansión, siguen surgiendo nuevas técnicas Kepler, Newton, Gauss… los padres de Galileo Matemáticas en Acción 2007 (Universidad de Cantabria)

33. Resolviendo la posición en la práctica Para aplicaciones con requisitos especiales (ej. alta precisión o fiabilidad) se utilizan otras técnicas: • SBAS (WAAS, EGNOS, MSAS): correcciones regionales a través de un satélite de comunicaciones (ej. INMARSAT). No mejora mucho la precisión, pero proporciona integridad (aviación civil). • GBAS: estación de correcciones locales transmitidas por UHF. Mejor precisión que SBAS, con integridad. • Relativo con pseudo-rango: diferencias de medidas de pseudo-rango para estimar posición relativa a la estación. Mejor precisión que GBAS, pero sin integridad. • RTK: como la anterior pero con medidas de fase, muy precisas pero con una ambigüedad (un numero entero de ciclos que no se conoce) que hay que resolver. Precisión centimétrica, sin integridad. • Otras... Kepler, Newton, Gauss… los padres de Galileo Matemáticas en Acción 2007 (Universidad de Cantabria)

34. PARTE SEGUNDA Determinación de órbitas: la clave para el control del sistema

35. Determinación de órbitas y relojes El centro de control debe actualizar periódicamente el mensaje de navegación: • Órbitas • Relojes de satélite • Otra información (ionosfera, etc.) Se utilizan estaciones (con posiciones bien conocidas) y las medidas de pseudo-rango tomadas desde ellas De nuevo se acoplan los relojes en el cálculo; hay que estimarlo todo junto: órbitas y relojes (esta vez de satélite) ¿Cómo atacar este problema de estimación? Kepler, Newton, Gauss… los padres de Galileo Matemáticas en Acción 2007 (Universidad de Cantabria)

36. Determinación de órbitas y relojes Primera aproximación: problema inverso de navegación La situación parece simétrica de la del usuario Sin embargo hay una diferencia crucial: Cada estación añade una ecuación pero también una incógnita: su reloj Tenemos más incógnitas que ecuaciones Kepler, Newton, Gauss… los padres de Galileo Matemáticas en Acción 2007 (Universidad de Cantabria)

37. Determinación de órbitas y relojes Segunda aproximación: estimar todo a la vez Supongamos que tenemos un sistema formado por: • N satélites • M estaciones Las M estaciones toman medidas de los N satélites: medidas Tenemos que determinar incógnitas más el reloj de cada estación. En total incógnitas Para M suficientemente grande, : más ecuaciones que incógnitas. Podemos resolver por OLS, pero hay algunos problemas: • Calcular posiciones en muchos tiempos: muchas incógnitas • Aún resolviéndolas, no podemos predecir (¡¡¡ !!!) Kepler, Newton, Gauss… los padres de Galileo Matemáticas en Acción 2007 (Universidad de Cantabria)

38. Determinación de órbitas y relojes Tercera aproximación: Añadir un modelo orbital Con un modelo orbital añadimos información que relaciona unas posiciones con otras (del mismo satélite): menos incógnitas Ej. Modelo Kepleriano (J. Kepler, 1619): con solo seis parámetros describimos TODA la trayectoria del satélite Si tenemos observaciones de K instantes diferentes: • Sin modelo: • Ecuaciones: • Incógnitas: • Con modelo: • Ecuaciones: • Incógnitas: La órbita además nos permite predecir. ¡¡ Esto sí funciona !! Kepler, Newton, Gauss… los padres de Galileo Matemáticas en Acción 2007 (Universidad de Cantabria)

39. Determinación de órbitas y relojes Tercera aproximación: Añadir un modelo orbital (cont.) Como las órbitas reales no son Keplerianas este modelo es poco preciso. Habría que añadir los elementos osculadores Al añadir los elementos osculadores, el número de parámetros pasa de seis a quince En la práctica se utiliza otro modelo más preciso: Newton (1687) • Segunda ley del movimiento: • Ley de la gravitación universal: (hacia el C.M.) Estas leyes nos dan un modelo de aceleración Sólo hay que determinar seis parámetros: tres de posición y tres de velocidad (iniciales) Kepler, Newton, Gauss… los padres de Galileo Matemáticas en Acción 2007 (Universidad de Cantabria)

40. Determinación de órbitas y relojes Tercera aproximación: Añadir un modelo orbital (cont.) Las soluciones de la ecuación son las elipses keplerianas (¡¡¡ !!!) ¿Entonces qué ventaja tiene este modelo? La ventaja es que podemos añadir perturbaciones, por ejemplo, la gravedad inducida por terceros cuerpos (Luna, Júpiter...): Se puede añadir todo tipo de perturbaciones: • Mareas oceánicas y sólidas • Presión de radiación solar y albedo terrestre • ... Kepler, Newton, Gauss… los padres de Galileo Matemáticas en Acción 2007 (Universidad de Cantabria)

41. Determinación de órbitas y relojes En la práctica, los métodos de determinación de órbitas (no sólo GPS) se basan todos en el modelo de Newton. Esto implica: • Integrar una ecuación diferencial: integración numérica (Runge-Kuta) • Resolver las ecuaciones no lineales de observación resultantes: • Estimación por mínimos cuadrados (OLS, WLS) • Filtros de Kalman Se utiliza además una variedad de observables: • Pseudo-rango • Fase de portadora • Doppler • Láser o radar (especialmente en satélites no GPS: GEO, LEO...) Kepler, Newton, Gauss… los padres de Galileo Matemáticas en Acción 2007 (Universidad de Cantabria)

42. PARTE CUARTA COMPARACIÓN GPS / GLONASS / GALILEO

43. Comparación GPS / GLONASS / GALILEO (*) Señal encriptada Kepler, Newton, Gauss… los padres de Galileo Matemáticas en Acción 2007 (Universidad de Cantabria)

44. PARTE QUINTA EL PAPEL DE GMV EN GNSS

45. El papel de GMV en GNSS GMV es actor principal de los programas EGNOS y GALILEO • EGNOS: • CPF-PS: correcciones GPS e integridad (software crítico) • EETES: simulador “end-to-end” para ingeniería y diseño • ASQF: soporte a AENA en la cualificación del sistema • Desarrollo de herramientas de análisis y predicción de prestaciones • Estudios de implantación de SBAS en Sudamérica • Otras actividades... • GALILEO: • OSPF: determinación operacional de órbitas y relojes • IPF: señal de integridad (servicio SoL) • GALSAT & ELCANO: diseño de la constelación y estudios preliminares • GSTB (V1 & V2): prototipado del sistema OD&TS • FDF: sistema de dinámica de vuelo (control de maniobras) • Otros elementos... Kepler, Newton, Gauss… los padres de Galileo Matemáticas en Acción 2007 (Universidad de Cantabria)

46. El papel de GMV en GNSS También trabaja con AENA y EUROCONTROL en otros ámbitos • Sistemas GBAS (ISAGNSS, MARS-3) • Nuevos procedimientos aeronáuticos optimizados para EGNOS GMV promueve, participa e investiga activamente en diversos campos de aplicación de GNSS: • Gestión de flotas (autobuses, policía, pesqueros...) • Sistemas de peaje • Emergencias • Aplicaciones en ganadería Kepler, Newton, Gauss… los padres de Galileo Matemáticas en Acción 2007 (Universidad de Cantabria)

47. Gracias Miguel Azaola Sáenz Área de aplicaciones GNSS Email: asaenz@gmv.es www.gmv.com