第八节利用 Mathematica 求解多元函数微积分

第八章 第八节利用Mathematica 求解多元函数微积分

一、由不等式确定的区域 多元函数的定义域常用一个不等式所确定的区域来表示，需要画出区域的图形，在程序包子集Graphics 的程序文件“InequalityGraphics.m” 中有绘制不等式确定的区域的函数。函数语句 InequalityPlot[ineqs，{x,xmin,xmax}，{y,ymin,ymax}]：绘制由不等式（组）ineqs所确定的平面区域。

例1 绘制由不等式||x|-|y|| 1给出的平面区域。 <<Graphics`InequalityGraphics` InequalityPlot[Abs[Abs[x]-Abs[y]] 1,{x,-2,2}, {y,-2,2}] Graphics

例2 绘制由不等式 给出的平面区域。 <<Graphics`InequalityGraphics` Graphics

二、偏导数 对多元函数f(x1 , x2, … xn)的求导数的命令有如下几个： • 命令形式1: D[f, x] • 功能:求函数 f 对 x 的偏导数； • 命令形式2: D[f, x1 , x2, …] • 功能:求函数 f 对x1 , x2, …混合偏导数； • 命令形式3: D[f,{x1 ,n1},{x2 ,n2}，… ] 求函数f对自变量x1 ,x2 , …的n1 ,n2 , … 阶混合偏导数。

例3求z=asin(xy)对 y 和 对z的偏导数. 解:Mathematica命令 In[1]:=D[a*Sin[x*y], y] Out[1]=axCos[x y] In[2]:=D[Exp[x+y+z^2], z] Out[2]= 例4对函数 , 求解:Mathematica命令 In[3]:=D[x^3 *y^2+Sin[x*y], x, y] Out[3]=

例5对函数, 求 解:Mathematica命令 In[4]:=D[x^3 *y^2+Sin[x y], {x,3}]; Out[4]= • Mathematica求导的优点在于能求抽象的复合函数的导数。例6 求复合函数解：输入函数则有的导数。

注：1、 其中对第二个中间变量求导一次，表示表示对第二个中间变量求导两次，表示对第一、第二个中间变量各求导一次。 2、求多元函数的偏导数还可以用基本输入模板中的符号如例6中的

三、全微分和全导数 多元函数 f(x,y,z,…)的全微分命令同一元函数的微分，其命令为：命令形式: Dt[f] 功能:求函数 f 的全微例7求的全微分 dz。解:Mathematica命令 In[5]:=Dt[x^2+y^2] Out[5]=2 x Dt[x] + 2 y Dt[y] ●Mathematica有如下两个求全导数的命令：命令形式1: Dt[f, x] 功能:求函数 f 的全导数。命令形式2: Dt[f, x, Constants->{c1,c2,…}] 功能:求函数f 的全导数，其中 f 中的变元与x无关。

例8求 的全导数，其中y是x的函数。解:Mathematica命令 In[6]:=Dt[x^2+y^2,x] Out[6]=2 x + 2 y Dt[y, x] 例9求，其中y是与x无关的独立变量。解:Mathematica命令 In[7]:=Dt[x^2+Sin[x y]+z^2, x, Constants->{y}] Out[7]=2 x + y Cos[x y] + 2 z Dt[z, x, Constants -> {y}]

四、求多重积分 求定积分、多重积分的函数与求不定积分的函数相同，只是多一些参数。 Integrate[f,{x,a,b}，{y, y1,y2}] 用于求，三重积分等类似，最好使用基本输入模板连续多次输入积分符号，也可以自制二、三重积分符号模板。例10计算　　　　，D由y=1,x=4,x=2y所围解: 对二重积分要先化为累次积分，定好积分限后，再使用命令。本题的Mathematica命令为 In[8]:=Integrate[x*y, {x, 2, 4}, {y, 1, x/2}] Out[8]=

例11计算 解:Mathematica命令 In[9]:=Integrate[x^2+y, {x, 0, 1}, {y, x^2, Sqrt[x]}] Out[9]= 例12 计算二重积分解：或输出

例13 计算二重积分 ，是由所围成的区域。解：输出，其中为圆域例14在极坐标系下计算二重积分在第一象限的部分。解：输出

也常用参数方程来作曲线、曲面的图形，其调用格式如下：也常用参数方程来作曲线、曲面的图形，其调用格式如下： 1、 ParametricPlot3D[{x(t),y(t),z(t)},{t,a,b}] 绘制参数式曲线。 2、ParametricPlot3D[{x(u,v),y(u,v),z(u,v)},{u,umin,umax},{v,vmin,vmax}] 绘制参数式曲面。例15 绘制曲线，曲面。 ParametricPlot3D[{3Sin[t],3Cos[t],t},{t,0,4*p}] Graphics3D

例16 ParametricPlot3D[{Cos[t]*(3+Cos[u]),Sin[t]*(3+Cos[u]),Sin[u]}, {t,0,2*p},{u,0,2*p}] Graphics3D

作业:利用Mathematica完成下列的习题。

第八节利用 Mathematica 求解多元函数微积分