Komplexní čísla

1. Komplexní čísla • Při výpočtu algebraických rovnic s vyšším exponentem lze narazit na nemožnost řešení • v oboru reálných čísel. Například rovnice • nemá řešení v oboru reálných čísel, neboť • V reálných číslech √-1 neexistuje. Tento výraz lze ale definovat jako existující. Obvykle se • značí i= √-1 a nazývá se imaginární jednotka. • Jednotku i lze násobit libovolným reálným číslem. Vzniklé součiny se nazývají čistě • imaginární čísla – např. 5i, -2i, 0.125i a podobně. Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Pro projekt „Cesta k vědě“ (veda.gymjs.net) vytvořil V. Pospíšil (gdermog@seznam.cz). Modifikace a šíření dokumentu podléhá licenci CC-BY-SA.

2. Komplexní čísla • Imaginární čísla lze přičítat k reálným. Vznikají tak čísla komplexní, např. • 3 + i, 2 – 5i, -3 + 4i, -6 – 5i a podobně. • Množina komplexních čísel se značí C, je uzavřená vůči základním operacím • (a tedy je tělesem). Libovolná odmocnina z jakéhokoliv komplexního čísla je opět • komplexním číslem. • Rovnice má řešení • Komplexní čísla lze zobrazit v tzv. Gaussově rovině, kdy k reálné číselné ose • přibude ještě jedna, která je na ni kolmá. Na té se vynášejí imaginární čísla. • Každé komplexní číslo se tak zobrazí jako bod. Je zřejmé, že takto zkonstruo- • vanou číselnou množinu nelze seřadit podle velikosti!

3. Gaussova rovina • Každému komplexnímu číslu z = a + i.b lze jednoznačně přiřadit dvojici • reálných čísel Takováto dvojice reálných čísel pak může být interpretována jako souřad-nice v rovině. Každému komplexnímu číslu tedy jednoznačně odpovídá právě jeden bod v rovině :

4. Karl Friedrich Gauss 1777-1855 Gaussova rovina Tato dvourozměrná analogie číselné osy se nazývá Gaussova rovina. Reálná čísla se zobrazí na vodorovné číselné ose, komplexní čísla s nenulovou imaginární složkou pak nad nebo pod ní.

5. Reálná a imaginární část, abs. hodnota • Číslu a říkáme reálná část, číslu bimaginární část. Značíme • Každému číslu z lze přiřadit absolutní hodnotu výrazem Geometricky se jedná o vzdálenost čísla z od počátku v Gaussově rovině: Rez = 8 Imz = 6 |z| = 10

6. Definice 22. Definice 23. Definice 24. Operace s komplexními čísly Buďte z1 = a1 + ib1, z2 = a2 + ib2 komplexní čísla. Řekneme, že z1 = z2 právě tehdy, když a1 = a2 a b1 = b2. Buďte z1 = a1 + ib1, z2 = a2 + ib2 komplexní čísla. Definujme jejich součet jako z = z1 + z2 takto : a = a1 + a2 , b = b1 + b2 . Buďte z1 = a1 + ib1, z2 = a2 + ib2 komplexní čísla. Definujme jejich součin jako z = z1 . z2 takto : a = a1.a2 - b1.b2 , b = a1.b2 + a2.b1 . Pozn.: tato definice je zřejmá, roznásobíme-li mechanicky

7. Definice 25. Definice 26. V některé literatuře je komplexně sdružené číslo značeno Operace s komplexními čísly Buď z = a + ib komplexní číslo. Řekneme, že číslo z = a - ib je komplexně sdružené k číslu z. Pozn. : čísla z a z leží symetricky podle osy x. Platí z = z a vždy Buďte z = a + ib komplexní číslo. Definujme jeho převrácenou hodnotu jako Tato definice se stane zřejmou, uvědomíme-li si, že zjistit hodnotu výrazu 1/z je možné, pokud zlomek rozšíříme právě komplexně sdruženým číslem:

8. Příklad Operace s komplexními čísly Určete

9. Příklad Operace s komplexními čísly Určete

10. Mocniny v oboru C • n-tá mocnina z komplexního čísla z je definována obdobně jako v R : n-krát Stejně jako v R platí: • Speciálně pro imaginární jednotku i platí :

11. r = 1 x sin x sin φ φ cos x cos φ Jednotková kružnice Goniometrický tvar komplexních čísel • Každému komplexnímu číslu z = a + i.b lze jednoznačně přiřadit dvojici • reálných čísel Tato čísla odpovídají bodu v rovině. Bod lze ale popsat i jinak, než sou-řadnicemi na osách – je možné použít i vzdálenost os počátku a úhel: |z| . cos φ [ a , b ] |z| |z| . sin φ φ

12. Definice 27. Goniometrický tvar komplexních čísel Buď z = a + ib komplexní číslo. Goniometrickým tvarem čísla z nazýváme zápis kde pokládáme Úhel φ se nazývá argument komplexního čísla. Pro převod mezi algebraickým a goniometrickým tvarem slouží vzorce

13. Goniometrický tvar komplexních čísel Z goniometrického tvaru komplexních čísel je zjevné, že všechna čísla se stejným |z| leží na kružnici. Speciálně všechna čísla, pro která |z| = 1 se nazývají komplexní jednotky. Tj. na rozdíl od reálných čísel, kde rovnice |x| = a má nejvýše dvě řešení, rovnice |z| = a v oboru komplexním má řešení nekonečně mnoho! |z|=5 |z|=4 |z|=1

14. Příklad Goniometrický tvar komplexních čísel Převeďte na goniometrický tvar čísla

15. Příklad Goniometrický tvar komplexních čísel Převeďte na goniometrický tvar čísla

16. Příklad Goniometrický tvar komplexních čísel Převeďte na goniometrický tvar čísla

17. Příklad Goniometrický tvar komplexních čísel Převeďte na goniometrický tvar čísla

18. Lze dokázat indukcí – zkuste si doma. součtový vzorec součtový vzorec Součin komplexních čísel v geom. tvaru • Vezměme dvě libovolné komplexní jednotky (tj. čísla, pro která |z1| = |z2| = 1). Ta • se dají vyjádřit jako vynásobme je mezi sebou : Násobíme-li dvě komplexní jednotky, vyjde opět komplexní jednotka. Argument násobku je součtem argumentů obou činitelů. Zcela obecně pak platí

19. Podíl komplexních čísel v geom. tvaru • Obdobným způsobem lze ukázat, že podíl dvou komplexních jednotek je respektive pro nejednotková komplexní čísla Při odvození těchto vzorců bychom použili rozšíření číslem komplexně sdruženým: Součin ve jmenovateli je zde roven jedné.

20. n-krát n-krát n-krát n-krát Moivreova věta • Z předchozích vzorců vychází Moivreova věta o n-té mocnině komplexního čísla: Věta je triviálním důsledkem vzorce pro násobení komplexních čísel v goniomet-rickém tvaru : Tato věta může mimo jiné zjednodušit výpočty typu (1 – i )15 :

21. pět čísel tři čísla dvě jedničky napíšeme jedničku čtyři čísla Odbočka : binomický rozklad • Pro vzorec (x + y)n lze zapsat rozklad obecně jako Čísla an nazýváme binomické koeficienty a mají velký hlavní význam v kombi-natorice. Pro rozklad binomického členu stačí vědět, že je lze získat z tzv. Pas-calova trojúhelníku. Ten sestavíme následovně: 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1

22. 1 n = 0 1 1 n = 1 1 2 1 n = 2 1 3 3 1 n = 3 1 4 6 4 1 n = 4 1 5 10 10 5 1 n = 5 1 6 15 20 15 6 1 n = 6 1 7 21 35 35 21 7 1 n = 7 Odbočka : binomický rozklad

23. Moivreova věta Binomický rozvoj Rovnost dvou komplexních čísel Aplikace Moivreovy věty • Pomocí binomického rozvoje a Moivreovy věty lze snadno odvodit součtové • vzorce pro sinus a cosinus n-násobného úhlu:

24. Příklad Rovnost dvou komplexních čísel Aplikace Moivreovy věty Rovnost platí, pokud se rovnají reálné a imaginární části : Obdobným způsobem odvoďte vzorce pro sin(3φ), cos(3φ)sin(4φ) a cos(4φ), .

25. Komplexní n-tá odmocnina • Pro každé komplexní a a přirozené n je podle definice komplexní n-tá odmoc- • nina čísla a tj. hledat n-tou odmocninu čísla a znamená řešit rovnici zn = a. Předpokládejme, že a ≠ 0 (pokud ano, je řešení triviálně z = 0) a zapišme si celý problém pomocí goniometrického tvaru a Moivreovy věty: Tato rovnost je splněna právě tehdy, když

26. Komplexní n-tá odmocnina Tato rovnost je splněna právě tehdy, když Jednoduchou úpravou dostáváme Číslo k nemusí probíhat všechna celá čísla, neboť výraz 2kπ / npro jiná k než z výše uvedené množiny pouze dodá do funkcí sinus a cosinus nějaký násobek 2π navíc – a výsledky rovnice zn = a se začnou opakovat.

27. Z2 Z1 Z0 Zn-1 Zn-2 Komplexní n-tá odmocnina n-tá komplexní odmoc-nina je nejednoznačná, existuje n variant roz-místěných pravidelně na kružnici. Reálná odmocnina má buď právě jednu variantu (n liché), nebo dvě (n su-dé).

28. Definice 28. Komplexní exponent Buď z komplexní jednotka. Exponenciálním tvarem čísla z nazýváme zápis Pozn. : tento tvar nabude na zřejmosti až probereme rozvoj funkcí v nekonečné řady. Exponenciální zápis komplexních čísel má výhodu, že s mocninou lze praco-vat standardním způsobem, jak je to známo z reálného oboru. Pozn. : Libovolné komplexní číslo lze zapsat v exponenciálním tvaru jako Pozn. : komplexních čísel se často využívá v elektrotechnických výpočtech, imagi-nární jednotka se v nich ale značí j – jinak by se pletla s elektrickým proudem (který se rovněž značí i).

29. Shrnutí • Zavedení komplexních čísel, i = √-1 • Gaussova rovina • Reálná a imaginární část, absolutní hodnota • Operace s komplexními čísly, číslo komplexně sdružené • Mocniny v oboru C • Goniometrický tvar komplexních čísel • Součin a podíl C čísel v goniometrickém tvaru • Moivreova věta a její použití • n-tá odmocnina v C • Exponenciální tvar komplexních čísel