9.1 差分方程基本知识 9 .2 市场经济中的蛛网模型 9 .3 减肥计划 —— 节食与运动 9 .4 差分形式的阻滞增长模型 9 .5 按年龄分组的种群增长

1. 第九章 差分方程模型 9.1 差分方程基本知识 9.2 市场经济中的蛛网模型 9.3 减肥计划——节食与运动 9.4 差分形式的阻滞增长模型 9.5 按年龄分组的种群增长

2. 9.1 差分方程基本知识 • 1、差分方程： 差分方程反映的是关于离散变量的取值与变化规律。通过建立一个或几个离散变量取值所满足的平衡关系，从而建立差分方程。 • 差分方程就是针对要解决的目标，引入系统或过程中的离散变量，根据实际背景的规律、性质、平衡关系，建立离散变量所满足的平衡关系等式，从而建立差分方程。通过求出和分析方程的解，或者分析得到方程解的 特别性质（平衡性、稳定性、渐近性、振动性、周期性等），从而把握这个离散变量的变化过程的规律，进一步再结合其他分析，得到原问题的解。

3. Fibonacci 数列 问题 13世纪意大利著名数学家Fibonacci在他的著作《算盘书》中记载着这样一个有趣的问题： 一对刚出生的幼兔经过一个月可长成成兔，成兔再经过一个月后可以繁殖出一对幼兔. 若不计兔子的死亡数，问一年之后共有多少对兔子？

4. 将兔群总数记为 fn, n=0,1,2,…，经过观察可以发现，数列{fn}满足下列递推关系： f0 = f1 =1, fn+2 = fn+1 + fn , n=0,1,2,… 这个数列称为Fibonacci数列. Fibonacci数列是一个十分有趣的数列，在自然科学和数学领域中都有着广泛的应用. Fibonacci数列的一些实例. 1. 蜜蜂的家谱 2. 钢琴音阶的排列 3. 树的分枝 4. 杨辉三角形

5. 日常的经济问题中的差分方程模型 1. 银行存款与利率 假如你在银行开设了一个1000元的存款账户，银行的年利率为7%. 用an表示n年后你账户上的存款额，那么下面的数列就是你每年的存款额： a0, a1, a2, a3, …, an,… 设r为年利率，由于an+1=an+r an, 因此存款问题的数学模型是： a0=1000, an+1=(1+r)an, n=1,2,3,…

6. 2. 家庭教育基金 从1994年开始，我国逐步实行了大学收费制度. 为了保障子女将来的教育费用，小张夫妇从他们的儿子出生时开始，每年向银行存入x元作为家庭教育基金. 若银行的年利率为r，试写出第n年后教育基金总额的表达式. 预计当子女18岁入大学时所需的费用为100000元，按年利率3%计算，小张夫妇每年应向银行存入多少元? 设n年后教育基金总额为an，每年向银行存入x元，依据复利率计算公式，得到家庭教育基金的数学模型为： a0=x, an+1=(1+r)an+x, n=0,1,2,3,…

7. 3 . 抵押贷款 小李夫妇要购买二居室住房一套，共需30万元. 他们已经筹集10万元，另外20万元申请抵押贷款. 若贷款月利率为0.6%，还贷期限为20年，问小李夫妇每月要还多少钱？ 设贷款额为a0，每月还贷额为x，月利率为r，第n个月后的欠款额为an，则 a0=200000, a1=(1+r)a0-x, a2=(1+r)a1-x, …… an=(1+r)an-1-x, n=1,2,3,…

8. 一阶线性差分方程 在上述模型中，给出了an+1与an之间的递推公式. 将它们写成统一的形式： a0=c, an+1=an+b, n=0,1,2,3,… 称此类递推关系为一阶线性差分方程. 当b=0时称为齐次差分方程，否则称为非齐次差分方程. 定义1对任意数列A={a1,a2,…,an,…}，其差分算子定义如下： a1=a2-a1, a2=a3-a2,… an=an+1-an, … 定义2对数列A={a1,a2,…,an,…}，其一阶差分的差分称为二阶差分, 记为2A=(A). 即： 2an= an+1- an=(an+2-an+1)-(an+1-an)=an+2-2an+1+an 一般地，可以定义n阶差分.

9. 差分方程 an+1= an+b的解 定理1一阶线性差分方程 an+1= an+b 的通解是： 定理2对一阶线性差分方程 an+1= an+b, 若 |  |<1, 则 an无限趋近于平衡解 b/(1- ) (收敛型不动点); 若 |  |>1, 则 an逐渐远离平衡解 b/(1- ) (发散型不动点).

10. 容易证明，若序列 均为方程（7.2）的解，则 与 则被称为方程对应的 齐次线性差分方程 。 若所有的 ai(t)均为与t无关的常数，则称其为 常系数差分方程，即n阶常系数线性差分方程可分成 （7.1） 的形式，其对应的齐次方程为 （7.2） 也是方程（7.2）的解，其 中c1、c2为任意常数，这说明， 齐次方程的解构成一个 线性空间（解空间）。 此规律对于（7.1）也成立。

11. （步二）根据特征根的不同情况，求齐次方 程(7.2）的通解 情况1若特征方程（7.3）有n个互不相同的实根 情况2若λ是特征方程（7.3）的k重根，通解中对应 于λ的项为 情况3若特征方程（7.3）有单重复根 通解中对应它们的项为 ,…, 为任意常数，i=1,…,k。 ，则齐次方程（7.2）的通解为 为λ的幅角。 为λ的模， 方程（7.1）可用如下的代数方法求其通解： （步一）先求解对应的特征方程 （7.3） (C1,…,Cn为任意常数) ，

12. 情况4若 （步三） 求非齐次方程 (7.1)的一个特解 为特征方程（7.3）的k重复根，则通 解对应于它们的项为 为任意常数，i=1,…,2k。 .若yt为方程(7.2)的通解,则非齐次方程 (7.1)的通解为 求非齐次方程（7.1）的特解一般要用到 常数变易法，计算较繁。对特殊形式 的b(t)也可使用 待定系数法。

13. 特征根为 解：特征方程为 由初始条件 解得： 于是 故齐次解 例2.系统的差分方程 初始条件为y(0)=2和y(1)=3，求方程的齐次解。

14. 2、特解 特解得求法：将激励x(n)代入差分方程右端得到自由项，特解的形式与自由项及特征根的形式有关。 （1）自由项为nk的多项式 1不是特征根： 1是K重特征根：

15. 不是特征根，则特解 是特征单根，则特解 是k重特征根，则特解 （2）自由项为

16. （4）自由项为正弦 不是特征根 是特征根 （3）自由项为正弦或余弦表达式

17. 设特解为 形式，代入方程得 其中激励函数 ，且已知 齐次通解： 将 代入方程右端，得 - - = - - = - 2 2 x ( n ) x ( n 1 ) n ( n 1 ) 2 n 1 例3： 求下示差分方程的完全解 解：特征方程：

20. 日常的经济问题中的差分方程模型 1. 银行存款与利率 假如你在银行开设了一个1000元的存款账户，银行的年利率为7%. 用an表示n年后你账户上的存款额，那么下面的数列就是你每年的存款额： a0, a1, a2, a3, …, an,… 设r为年利率，由于an+1=an+r an, 因此存款问题的数学模型是： a0=1000, an+1=(1+r)an, n=1,2,3,…

21. 2. 家庭教育基金 从1994年开始，我国逐步实行了大学收费制度. 为了保障子女将来的教育费用，小张夫妇从他们的儿子出生时开始，每年向银行存入x元作为家庭教育基金. 若银行的年利率为r，试写出第n年后教育基金总额的表达式. 预计当子女18岁入大学时所需的费用为100000元，按年利率3%计算，小张夫妇每年应向银行存入多少元? 设n年后教育基金总额为an，每年向银行存入x元，依据复利率计算公式，得到家庭教育基金的数学模型为： a0=x, an+1=(1+r)an+x, n=0,1,2,3,…

22. 家庭教育基金模型的解 由 a0=x, an+1=(1+r)an+x, n=0,1,2,3,… 得通解: 将 a0=x, =1+r, b=x 代入, 得 c =x(1+r)/r, 因此方程的特解是: 将 a18=100000,r=0.03 代入计算出 x=3981.39.

23. 3 . 抵押贷款 小李夫妇要购买二居室住房一套，共需30万元. 他们已经筹集10万元，另外20万元申请抵押贷款. 若贷款月利率为0.6%，还贷期限为20年，问小李夫妇每月要还多少钱？ 设贷款额为a0，每月还贷额为x，月利率为r，第n个月后的欠款额为an，则 a0=200000, a1=(1+r)a0-x, a2=(1+r)a1-x, …… an=(1+r)an-1-x, n=1,2,3,…

24. 购房抵押贷款模型的解 由 a0=200000, an+1=(1+r)an-x, n=0,1,2,3,… 将 =1+r, b=-x 代入得到方程的特解: 若在第N个月还清贷款，令 aN=0, 得: 将 a0=200000, r =0.006, N=20*12=240 代入计算出 x=1574.70

25. 4 . 分期付款 小王看到一则广告：商场对电脑实行分期付款销售. 一台售价8000元的电脑，可分36个月付款，每月付300元即可. 同时他收到了银行提供消费贷款的消息：10000元以下的贷款，可在三年内还清，年利率为15%. 那么，他买电脑应该向银行贷款，还是直接向商店分期付款？ 经过分析可知，分期付款与抵押贷款模型相同. 设第n个月后的欠款额为an，则 a0=8000, an+1=(1+r)an-300, n=0,1,2,3,… 贷款模型 a0=8000, an+1=(1+0.15/12)an-x, n=0,1,2,3,…

26. 增加产量 价格上涨 价格下降 减少产量 供不应求 9.2 市场经济中的蛛网模型 供大于求 现 象 数量与价格在振荡 描述商品数量与价格的变化规律 问 题 商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定 当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定

27. y0 y 需求函数 供应函数 P0 g f x0 0 x 蛛 网 模 型 xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格 消费者的需求关系 减函数 生产者的供应关系 增函数 f与g的交点P0(x0,y0) ~ 平衡点 一旦xk=x0，则yk=y0, xk+1,xk+2,…=x0, yk+1,yk+2, …=y0

28. y3 y0 P2 y0 P3 y2 曲线斜率 P2 y1 y y f P1 P4 g P4  P1   P0 P0 P3 f x2 g x0 x0 x3 0 0 x x 蛛 网 模 型 设x1偏离x0 P0是稳定平衡点 P0是不稳定平衡点 x1

29. 方 程 模 型 在P0点附近用直线近似曲线 P0稳定 P0不稳定 方程模型与蛛网模型的一致

30. 经济稳定 结果解释 结果解释 考察 ,  的含义 xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格  ~ 商品数量减少1单位, 价格上涨幅度  ~ 价格上涨1单位, (下时段)供应的增量  ~ 消费者对需求的敏感程度 小, 有利于经济稳定  小, 有利于经济稳定  ~ 生产者对价格的敏感程度

31. y y 供应曲线变为竖直 需求曲线变为水平 g g y0 f f 0 0 x0 x x 结果解释 经济不稳定时政府的干预办法 1. 使  尽量小，如 =0 以行政手段控制价格不变 2. 使  尽量小，如  =0 靠经济实力控制数量不变

32. 模型的推广 生产者管理水平提高 • 生产者根据当前时段和前一时段的价格决定下一时段的产量。 设供应函数为 需求函数不变 二阶线性常系数差分方程 x0为平衡点 研究平衡点稳定，即k, xkx0的条件

33. 1, 2~特征根，即方程 的根 平衡点稳定条件 比原来的条件 放宽了 方程通解 模型的推广 (c1, c2由初始条件确定) 平衡点稳定，即k, xkx0的条件:

34. 9.3 简单的鹿群增长问题 1、问题的分析 由于公鹿和母鹿的比例大致相等，所以在此仅考虑母鹿的增长。鹿群的增长与鹿的死亡率和生育率密切相关，因为鹿的生育周期为一年，即一岁以上的母鹿可以生育，所以我们把母鹿分为两组，一岁以下的为幼鹿，其余的为成年鹿。根据这样的分组，一年以后存活的幼鹿都为成年鹿，而这一年中出生的鹿构成新的幼鹿。从以上的分析，我们可把观测的时间间隔取为一年。 2、模型假设 １）动物的数量足够大，故可以用连续的方法来度量。 ２）只考虑母鹿，并将其分为两组，一岁以下为幼鹿组，其余为成年鹿组。

35. ３）把时间离散化，每年观测一次，即环境因素、生育、死亡方式等每年重复发生。 ４）不考虑饱和状态，即在所考虑的时间段内，种群的增长几乎不受自然资源的制约。 ５）疾病是死亡的主要原因，鹿的死亡数与鹿的总数成正比。 ６）鹿的生育数与鹿的总数成正比。 3、模型的建立与求解 分别以 和 表示第n年幼鹿和成年鹿的数量。 一年后，幼鹿存活的数量与 之比叫做幼鹿的存活率。 由假设５，每年的存活率是一常数，分别以 和 表示幼鹿和成年鹿的存活率。

36. 因为年长的幼鹿在这一年之内可能超过一岁，因而有生育能力。根据假设６，生育率也是常数， 分别以 和 表示幼鹿和成年鹿的生育率。 假设刚出生的幼鹿在哺乳期的存活率为s。 一年以后，原来的幼鹿可生育幼鹿数为 成年鹿可生育的幼鹿数为 由于哺乳期的新生幼鹿的存活率为s， 所以一年以后新的幼鹿数： (7.2.1) 一年以后，原来的幼鹿存活数为 原来的成年鹿的存活数为 所以新的成年鹿的数目是 (7.2.2)

37. (7.2.1).(7.2.2)联立起来，即得下面的线性差分方程组： (7.2.3) 或用矩阵表示为： (7.2.4) 这是一个一步方程，令 ， A= 则(7.2.4)式可表示为 (7.2.5)

38. 于是可推出： n = (7.2.6) 或 如果知道开始时幼鹿数量 和成年鹿的数量 ，由(7.2.6)可算出第n年的鹿的总数。 为了给出解的一般表达式，先把矩阵A对角化： 令 =0 即 得特征方程： (7.2.7)

39. 其判别式为 = 由于s, 都是大于零的，所以判别式Δ> 0， 和 ，这保证了 特征方程(7.2.7)有两个相异的实根 矩阵A可以对角化。 对于特征根 ，从下面的线性方程组 = 可解得特征向量 的特征向量 同理可解得对应于特征根

40. 使得 所以可得矩阵 P＝ 即 A＝ 于是得 将上式代入(7.2.6)式 =

41. = (7.2.8) = 记 所以 = =

42. 由此可得： n 故解得： (7.2.9) 现在利用公式(7.2.9)对下面的一组数据 ＝0.8（千头） ＝0.62 s＝0.8 ＝0.3 ＝1 （千头） ＝1.5 ＝0.75

43. 计算今后6年鹿的总数。 为此，将以上数据代入(7.2.7),解得 将数据代入(7.2.8)得 最后由(7.2.9)得

44. 4、模型评价 该模型的假设中，没有考虑资源的制约，所以当鹿群的增长接近饱和状态时，该模型失效。如果考虑自然资源的制约，则模型假设中的第６条不成立，这时生育率与食物的获取有关。

45. 7.4 减肥计划——节食与运动 • 体重指数BMI=w(kg)/l2(m2). 18.5<BMI<25 ~正常； BMI>25 ~ 超重; BMI>30 ~ 肥胖. 背景 • 多数减肥食品达不到减肥目标，或不能维持 • 通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体的前提下，达到减轻体重并维持下去的目标 分析 • 体重变化由体内能量守恒破坏引起 • 饮食（吸收热量）引起体重增加 • 代谢和运动（消耗热量）引起体重减少

46. 模型假设 1）体重增加正比于吸收的热量——每8000千卡增加体重1千克； 2）代谢引起的体重减少正比于体重—— 每周每公斤体重消耗200千卡 ~ 320千卡(因人而异), 相当于70千克的人每天消耗2000千卡 ~ 3200千卡； 3）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式有关； 4）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过1.5千克，每周吸收热量不要小于10000千卡。

47. 减肥计划 某甲体重100千克，目前每周吸收20000千卡热量，体重维持不变。现欲减肥至75千克。 1）在不运动的情况下安排一个两阶段计划。 第一阶段：每周减肥1千克，每周吸收热量逐渐减少，直至达到下限（10000千卡）； 第二阶段：每周吸收热量保持下限，减肥达到目标 2）若要加快进程，第二阶段增加运动，试安排计划。 3）给出达到目标后维持体重的方案。

48. ~ 代谢消耗系数(因人而异) 基本模型 w(k) ~ 第k周(末)体重 c(k) ~第k周吸收热量 1）不运动情况的两阶段减肥计划 • 确定某甲的代谢消耗系数 每周吸收20000千卡 w=100千克不变 即每周每千克体重消耗 20000/100=200千卡

49. 吸收热量为 1）不运动情况的两阶段减肥计划 • 第一阶段: w(k)每周减1千克, c(k)减至下限10000千卡 第一阶段10周, 每周减1千克，第10周末体重90千克

50. 基本模型 1）不运动情况的两阶段减肥计划 • 第二阶段：每周c(k)保持Cm, w(k)减至75千克