Construcción de cónicas usando sólo regla y compás

1. Construcción de cónicas usando sólo regla y compás Laura Hidalgo Foro de Matemáticas, Historia y Filosofía. UAM-I. 28 de Mayo de 2004

2. Historia de las cónicas • El Matemático griego Menecmo (350 A.C.) descubrió estas curvas, y fue Apolonio de Perga (262-190 A.C.) el primero en estudiarlas detalladamente, y encontrar la propiedad plana que las define. • En esta plática veremos su definición, y cómo se construyen usando regla y compás.

3. Los tipos de cónicas • Apolonio, descubrió que se pueden clasificar en tres tipos, y les dio el nombre de elipse, hipérbolas y parábolas. En el libro I de su tratado sobre las cónicas presenta los modos de obtención y propiedades fundamentales de las cónicas.

4. La elipse: • Las elipses son las curvas que se obtienen cortando una superficie cónica con un plano que no es paralelo a ninguna de sus generatrices.

5. La hipérbola: • Las hipérbolas son las curvas que se obtienen al cortar una superficie cónica con un plano que es paralelo a dos de sus generatrices (Base y arista).

6. La parábola: • Las parábolas son las curvas que se obtiene al cortar una superfice cónica con un plano paralelo a una sóla generatriz (arista).

7. Propiedades • Apolonio demostró que las curvas cónicas tienen muchas propiedades interesantes, algunas de las cuales se utilizan actualmente para definirlas, una de estas propiedades es la propiedad de reflexión de las cónicas.

8. Propiedad de reflexión de la elipse: • Por ejemplo, Apolonio demostró que si se coloca una fuente de luz en el foco de un espejo elíptico, entonces la luz reflejada en el espejo se concentra en el otro foco

9. Propiedad de reflexión de la parábola: • Si se recibe luz de una fuente lejana con un espejo parabólico, de manera que los rayos incidentes son paralelos al eje del espejo, entonces la luz reflejada por el espejo se concentra en el foco.

10. Propiedades de reflexión de la parábola Esto se basa en el hecho de que, en los espejos planos, cóncvos y convexos, los rayos iguales se reflejan en ángulos iguales.

11. La leyenda de Arquímedes • Existe la leyenda que dice que Arquímedes de Siracusa (287-212 AC) utilizó esta propiedad para incendiar las naves romanas durante la defensa de Siracusa.

12. Rene Descartes (1596-1650) • En el siglo XVI Descartes desarrolló un método para relacionar las curvas con ecuaciones, lo cual dio origen a la geometría analítica. • Las cónicas pueden representarse por ecuaciones cuadráticas en dos variables. • El hecho que todas las ecuaciones cuadráticas representen secciones cónicas se lo debemos a Jan de Witt (1629-1672)

13. La Elipse: • Una elipse es el lugar geométrico de todos los puntos del plano tales que la suma de las distancias que separan a un punto del conjunto de dos puntos dados, llamados focos, es una constante dada, mayor que la distancia entre los focos.

14. Construcción de la Elipse. • Instrucciones: • Considere una circunferencia con centro en un punto C y que pase por el punto A • Seleccione un punto D en el interior de esta circunferencia, (distinto del centro). • Construya la mediatriz MB del segmento DA. • Sea B el punto de intersección de la mediatriz del segmento DA con el radio CA. • El punto B describe una elipse cuando A se recorre a lo largo de la circunferencia. • D y C son los focos de la elipse.

15. La Hipérbola: • Una hipérbola es el lugar geométrico de todos los puntos del plano tales que el valor absoluto de la diferencia de las distancias que separan a cualquier punto del conjunto de dos puntos dados, llamados focos, es una constante dada, menor que la distancia entre los focos.

16. La Hipérbola • Instrucciones: • Considere una circunferencia con centro en un punto C y que pase por el punto B • Seleccione un punto A en el exterior de esta circunferencia. • Construya la mediatriz MP del segmento AB. • Sea P el punto de intersección de la mediatriz del segmento AB con el radio AC. • El punto P describe una hipérbola cuando B se recorre a lo largo de la circunferencia. • Los puntos A y C son los focos de la hipérbola.

17. La parábola: • Es el lugar geométrico de todos los puntos del plano tales que cada punto del conjunto está a la misma distancia de un punto dado, llamado foco, y de una recta dada, llamada la directriz.

18. La parábola • Instrucciones: • Considere una recta en el plano, dicha recta se denomina directriz. • Seleccione un punto F, denominado foco, fuera de esta línea. • Considere un punto Q en la directriz. • Trace la perpendicular BQ a la directriz por Q. • Construya la mediatriz MP del segmento QF. • Sea P el punto de intersección de la mediatriz del segmento QF con la recta BQ. • El punto P describe una parábola cuando Q se recorre a lo largo de la directriz.