ESTUDO DAS CÔNICAS (Noções básicas)

1. ESTUDO DAS CÔNICAS(Noções básicas) Prof. Carlos A. Gomes

2. 1-INTRODUÇÃO Cônicas por quê? As seções cônicas são curvas obtidas pela interseção de um cone circular reto de duas folhas com um plano.

3. 2-ESTUDO ANALÍTICO I.A ELIPSE Definição: Dados um plano a e dois pontos fixos F1 e F2 Pertencentes a a , chamamos de ELIPSE de focos F1 e F2 ao lugar geométrico dos pontos P do plano cuja soma das distâncias aos pontos F1 e F2 permanece constante.

4. Como desenhar uma elipse perfeita? Fixe um barbante em dois pontos fixos F1 e F2 de um plano, de modo que o barbante não fique esticado. Com a ponta de um lápis estique o barbante e o mantendo esticado descreva com o lápis uma curva.

5. Elementos geométricos de uma elipse.

6. OBSERVAÇÃO: Já vimos que Qual o valor dessa constante? Vamos mostrar que

7. Para isso vamos introduzir um sistema de coordenadas cartesianas. Para qualquer posição do ponto P sobre a elipse sabemos que

8. Para determinarmos o valor dessa constante tomemos uma posição particular do ponto P, conforme ilustra a Figura abaixo Para esta posição do ponto P, Portanto,

9. Como a soma e para uma particular posição do ponto P vale 2a (medida do eixo maior da elipse) segue que para todos os pontos da elipse,

10. Em particular, perceba que na figura abaixo d(B2F2)=a, pois mas ,especialmente para o ponto B2 , Portanto d(B2 ,F2)=a. Em particular,

11. EQUAÇÃO PADRÃO (CANÔNICA) DE UMA ELIPSE. Pois,

12. Elevando cada membro ao quadrado, desenvolvendo... elevando cada membro ao quadrado,

13. Lembrando que Temos

14. OBSERVAÇÕES: a)Caso o eixo maior da elipse estivesse sobre o eixo y a sua equação padrão (canônica) seria b)A razão e=c/a é chamada de EXCENTRICIDADE da elipse e mede o quanto a elipse é achatada ou arredondada, conforme sugere a figura a seguir:

15. c)Pode-se demonstrar que a medida da área de uma elipse é A=pab. d)Caso a elipse não esteja centrada na origem a sua equação assume uma das formas a seguir dependendo se o seu eixo maior é paralelo ao eixo x ou ao eixo y, respectivamente ou Aqui (xc, yc) são as coordenadas do centro da elipse.

16. EXERCÍCIOS 01.(UFRN-2009) O gráfico que melhor representa a equação com a e b positivos e a > b , é:

17. Resolução: Como a>b segue que E portanto o denominador do y2 é maior que o denominador do x2 o Que implica que a equação dada representa uma elipse com eixo maior Sobre o eixo y. (ALTERNATIVA: A)

18. 02.Copa do Mundo voltará a ser realizada na América do Sul após 36 anos, já que a Argentina sediou o evento em 1978, coerente com a política da FIFA de um rodízio no direito de sediar uma Copa do Mundo entre as diferente confederações continentais. Dezoito cidades candidataram-se para sediar as partidas da Copa, todas capitais de estados. A FIFA limita o número de cidades-sedes entre oito e dez, entretanto, dada a dimensão continental do país sede, a organização cedeu aos pedidos da CBF e concedeu permissão para que se utilizem 12 sedes no mundial. Uma das exigências para que as cidades candidatas devem obedecer é de que melhorem sua infra-estrutura de trânsito. Em Natal, serão contruídos novos viadutos, entre eles o que está esquematizado na figura abaixo, com estrutura na forma de uma semi-elipse com vão de 40m e flecha de 10m. Uma placa indicando a altura h deverá ser fixada antes do viaduto para informação dos usuário da via. A indicação da placa deve apontar uma medida de: a)8,5m b)5,8m c)6,0m d)5,0m

19. Resolução: Introduzindo um sistema de coordenadas cartesianas, A equação cartesiana dessa elipse é Quando x=10m, (ALTERNATIVA: A)

20. 03.(UFRN – 2004) Uma seção cônica é obtida a partir da interseção de um cone com um plano. Na figura ao lado, temos um exemplo de uma seção cônica, denominada Elipse. A figura consiste de duas esferas S1 e S2 que tangenciam o cone em duas circunferências C1 e C2 e tangenciam o plano p nos pontos F1 e F2. Os pontos P1, P2 e P estão, respectivamente, na interseção de uma reta do cone com as circunferências e a Elipse. A soma das distâncias de P aos pontos F1 e F2 é igual a distância a) entre as duas circunferências. b) entre P1 e P2. c) entre os centros das duas esferas. d) entre F1 e F2.

21. Resolução: É um fato bastante conhecido que se de um ponto externo a uma circunferência traçarmos dois segmentos tangentes a ela esses segmentos tem a mesma medida (Teorema de Pitot), conforme ilustra a figura abaixo:

22. Existe uma extensão bem menos divulgada deste resultado na geometria espacial em que prova-se que se de um ponto externo a uma superfície esférica traçarmos dois segmentos tangentes à superfície esférica então esses segmentos serão congruentes. De posse deste resultado, como o ponto P é externo as duas esferas (veja a figura ao lado) não é difícil ver que portanto temos a seguinte igualdade: (ALTERNATIVA: B)

23. 04.(UFPB) O escudo de um time de futebol é formado por uma elipse de excentricidade 4/5 , cujo eixo menor mede 6cm, e duas circunferências concêntricas e tangentes a essa elipse, como mostra a figura ao abaixo. Considere que a área da região limitada pela elipse é dada por A=pab , sendo a , em centímetros, o comprimento de um semi-eixo maior e b, de um semi-eixo menor. Nesse contexto, é correto afirmar que a área da região hachurada mede: a)19pcm2 b) 17pcm2 c) 15pcm2 d) 18pcm2 e) 24pcm2 Resolução:

24. Mas,o eixo menor da elipse mede 6cm e portanto 2b=6 e daí b=3. Assim, Assim , A medida da área hachurada é (ALTERNATIVA: A)

25. 05.(UEL-2007) Existem pessoas que nascem com problemas de saúde relacionados ao consumo de leite de vaca. A pequena Laura, filha do Sr. Antônio, nasceu com este problema. Para solucioná-lo, o Sr. Antônio adquiriu uma cabra que pasta em um campo retangular medindo 20 m de comprimento e 16 m de largura. Acontece que as cabras comem tudo o que aparece à sua frente, invadindo hortas, jardins e chácaras vizinhas. O Sr. Antônio resolveu amarrar a cabra em uma corda presa pelas extremidades nos pontos A e B que estão 12 m afastados um do outro. A cabra tem uma argola na coleira por onde é passada a corda, de tal modo que ela possa deslizar livremente por toda a extensão da corda. Observe a figura e responda a questão a seguir. Qual deve ser o comprimento da corda para que a cabra possa pastar na maior área possível, dentro do campo retangular? a) 10 m. b) 15 m. c) 20 m. d) 25 m.

26. Resolução: De acordo com a teoria que vimos, ao amarrarmos uma corda em dois pontos fixos de um plano a curva descrita por um móvel que mantém essa corda esticada ao descrever uma volta completa é uma elipse. E Numa elipse Onde 2a é o comprimento do eixo maior da elipse que no caso é de 20m. Note que d(P,A)+d(P,B) é justamente o comprimento da corda e portanto Io comprimento da corda é igual a 20m. (A e B são os focos!) (ALTERNATIVA: C)

27. 06.(UEL-2005) Em uma praça dispõe-se de uma região retangular de 20 m de comprimento por 16 m de largura para construir um jardim. A exemplo de outros canteiros, este deverá ter a forma elíptica e estar inscrito nessa região retangular. Para aguá-lo, serão colocados dois aspersores nos pontos que correspondem aos focos da elipse. Qual será a distância entre os aspersores? a) 4 m b) 6 m c) 8 m d) 10 m e) 12 m Resolução:

28. Introduzindo um sistema de coordenadas cartesianas, Como os aspersores estão localizados nos focos de coordenadas (-c,0) e (c,0) , segue que Assim a distância entre os aspersores é igual a 2c=2.6=12m (ALTERNATIVA: E)

29. 07. No plano cartesiano, a curva de equações paramétricas x=2cost e y=5sent com t e lR é: a) uma senóide b) uma cossenóide c) uma hipérbole d) uma circunferência e) uma elipse Resolução: Como Segue que que é a equação padrão de uma elipse. (ALTERNATIVA: E)

30. 08.(UERJ) Uma porta colonial é formada por um retângulo de 100 cm × 200 cm e uma semi-elipse. Observe as figuras: Na semi-elipse o eixo maior mede 100 cm e o semi-eixo menor, 30 cm. Calcule a medida da corda PQ, paralela ao eixo maior, que representa a largura da porta a 224 cm de altura.

31. Resolução: Introduzindo um sistema de coordenadas cartesianas, A equação cartesiana dessa elipse é Quando y=14cm,

32. 09.Esboce a elipse descrita pela equação Resolução: Como a equação não está na forma padrão. Vamos usar a técnica de Completar os quadrados:

33. Lembrando que neste caso a equação padrão é Segue que a elipse possui centro C=(5,5), a=4 e b=3. assim o seu esboço é

34. 10.Quais as equações das retas tangentes (t) a elipse pelo ponto P=(7,2). Resolução: Para determinarmos os pontos de interseção entre a reta (t) e a elipse Devemos resolver o sistema Substituindo o y na segunda equação obtemos Como queremos que a reta (t) e a elipse sejam tangentes devemos ter D=0

35. Assim, Portanto m=0 ou m=7/10. Como a equação da reta t é da forma Segue que as equações das retas tangentes são

36. II.A HIPÉRBOLE Definição: Dados um plano a e dois pontos fixos F1 e F2 pertencentes a a , chamamos de HIPÉRBOLE de focos F1 e F2 ao lugar geométrico dos pontos P do plano a cujo módulo da diferença das distâncias aos pontos F1 e F2 permanece constante.

37. Elementos geométricos de uma hipérbole

38. OBSERVAÇÃO: Já vimos que Qual o valor dessa constante?

39. Para respondermos essa questão vamos introduzir um sistema de coordenadas cartesianas. como para qualquer posição do ponto P sobre a hipérbole, vamos determinar essa constante para uma posição particular do ponto P.

40. Para essa posição particular, Portanto,

41. Como e para uma particular posição do ponto P vale 2a (medida do eixo real da hipérbole) segue que para todos os pontos da hipérbole,

42. EQUAÇÃO PADRÃO (CANÔNICA) DE UMA HIPÉRBOLE. Pois

43. Elevando cada membro ao quadrado, desenvolvendo... Elevando cada membro ao quadrado,

44. Como c>a, segue que Fazendo

45. Note que aqui não estamos aplicando o teorema de Pitágoras! Apenas chamamos o número positivo c2-a2 de b2, com o intuito de que a equação da hipérbole fique semelhante a já conhecida equação da elipse! Assim,

46. OBSERVAÇÕES: a)Caso os vértices da hipérbole estivessem localizados sobre o eixo y a sua equação padrão seria b)Aqui o quociente e=c/a também é denominado de EXECENTRICIDADE da hipérbole e neste caso é um indicador abertura da hipérbole, sendo tanto mais aberta quando maior for a sua excentricidade, que neste casa da hipérbole é sempre um número maior que 1, pois na hipérbole c>a.

47. c)Caso a hipérbole não esteja centrada na origem a sua equação assume uma das formas a seguir dependendo se o seu eixo real (eixo que liga os seus vértices) é paralelo ao eixo x ou ao eixo y, respectivamente ou Aqui (xc, yc) são as coordenadas do centro da hipérbole.

48. d)ASSÍNTOTAS DE UMA HIPÉRBOLE Já vimos que a equação padrão de uma hipérbole é Isolando o y, Quando x cresce,

49. As retas Se aproximam da hipérbole quando . Estas retas são chamadas de ASSÍNTOTAS da hipérbole.

50. EXERCÍCIOS 1.(UFPB)Uma quadra de futsal está representada na figura abaixo pelo Retângulo ABCD , onde A=(-20,-10) e C=(20,10). Cada uma das áreas dos goleiros (regiões hachuradas) é delimitada por uma das linhas de fundo, AD ou BC, e por um dos dois ramos de uma hipérbole de focos F1 e F2. O Círculo central e a hipérbole são concêntricos, o raio do círculo mede 3m e uma das assíntotas da hipérbole passa pelos pontos A e C. Dados: