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Alessandro Bottaro UNIVERSIT À DI GENOVA

PERTURBATIONS OPTIMALES et DEFAUTS MINIMAUX. Alessandro Bottaro UNIVERSIT À DI GENOVA.

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Presentation Transcript

  1. PERTURBATIONS OPTIMALES et DEFAUTS MINIMAUX Alessandro Bottaro UNIVERSITÀ DI GENOVA Abstract: Optimal perturbations are those perturbations which can optimally excite the initial growth of the disturbance energy for a given flow in subcritical conditions, i.e. in conditions for which all the eigenvalues of the linearized system predict asymptotic stability. An approach is described to obtain optimal perturbations, and some examples are provided. The interest in the transient, algebraic growth of disturbances stems from the fact that such a growth can be so large that nonlinear interactions should no longer be neglected from the analysis (leading to the so-called by-pass transition). An alternative path to transition is also outlined, consisting in the exponential destabilization of normal modes of a nominally stable mean flow, optimally perturbed by a minimal defect. The variational technique to find such a mean flow distortion relies on the notion of system sensitivity. The procedure is here outlined, and examples of optimally destabilizing defects, capable of producing early transition are given.

  2. MINIMAL DEFECTS PERTURBATIONS OPTIMALES et DEFAUTS MINIMAUX Alessandro Bottaro UNIVERSITÀ DI GENOVA Canal carré

  3. Royal Soc. Phil. Trans., 1883 Osborne Reynolds, 1842 - 1912

  4. LA TRANSITION DE L’ETAT LAMINAIRE A L’ETAT TURBULENT POUR DES ECOULEMENTS CISAILLES SIMPLES N’EST PAS ENCORE COMPRISE: mauvais accord entre la théorie de l’instabilité linéaire (Recrit) et les résultats expérimentaux (Retrans)PoiseuilleCouette Hagen-Poiseuille Canal carréRecrit 5772Retrans ~ 1000 ~400 ~2000 ~2000

  5. 2.LA TRANSITION N’EST PAS ENCORE COMPRISE… La théorie classique prédit des ondes de Tollmien-Schlichting A l’exception des expériences contrôlées et sans bruit, on observe des stries et des spots turbulents

  6. THEORIE DE L’INSTABILITE HYDRODYNAMIQUE • Étant donne le mauvais accord entre la théorie classique (conditions critiques et type de transition) et les expériences, on peut se poser la question: la théorie linéaire sert elle à quelque chose? • OUI! • … bien que la théorie … . ne s’intéresse qu’au comportement asymptotique des perturbations, . ne contient pas l’effet de la turbulence extérieure, des incertitudes géométriques, éléments de rugosité, écoulement de base mal modelé, forces de masse incertaines, etc.

  7. Deux problèmes: • Conditions initiales croissance transitoire • Incertitudes dynamiques et termes mal modelisés dans les équations perturbations structurées de l’opérateur linéaire [L(U, a; w, b, Re) + D]v = 0

  8. LE PROCESSUS DE TRANSITION • Phase de réceptivité: l’écoulement filtre les perturbations de l’environnement • Croissance linéaire des petites perturbations: • CHEMIN 1: TRANSITOIRE • CHEMIN 2: EXPONENTIELLE en conditions nominalement sous-critiques (liée a la présence de défauts dans l’écoulement de base) • Saturation non-linéaire, instabilités secondaires, résonances paramétriques, etc.

  9. PETITES PERTURBATIONS • Équations de Navier-Stokes incompressible, linéarisées[pour simplifier, coordonnées cartésiennes, U=U(y)] avec conditions aux limites homogènes pour (u, v, w) eny=h • But: EVOLUTION SPATIALE OU TEMPORELLE DES PERTURBATIONS SUR DES DISTANCES/TEMPS LONGUES (CROISSANCE EXPONENTIELLE) ET/OU COURTS (CROISSANCE TRANSITOIRE)

  10. CHEMIN 1: CROISSANCE TRANSITOIRE CHEMIN 1: CROISSANCE TRANSITOIRE • LE MECANISME: une instabilité algébrique non visqueuse peut exister (effet “lift up”). Dans le cas visqueux la croissance est modérée par la diffusion croissance transitoire P.H. Alfredsson and M. Matsubara (1996); structures striées dans une couche limite. Vitesse extérieure : 2 [m/s], niveau de turbulence : 6%

  11. CHEMIN 1: CROISSANCE TRANSITOIRE ANALYSE NON-VISQUEUSE, CROISSANCE EN TEMPS longues stries …quasi-périodiques en z … exp(ibz)Équations à l’ordre principale :vy + ibw = 0 ut + v U’ = 0 vt = -py wt = -ibp x  h/e y, z  h (e<< 1)

  12. CHEMIN 1: CROISSANCE TRANSITOIRE Il est très facile de trouver que:u = - v0(y) U’ t + const.v = v0(y)w = iv0y/bp = const. CROISSANCE ALGEBRIQUE

  13. CHEMIN 1: CROISSANCE TRANSITOIRE ANALYSE NON-VISQUEUSE, CROISSANCE EN ESPACE : Équations (stationnaires) à l’ordre principale : U, u  Umax v, w  e Umax p  r (e Umax)2 /t =0

  14. CHEMIN 1: CROISSANCE TRANSITOIRE On cherche des solutions de la forme : En remplaçant dans les équations il est banal de trouver que l = 1 est une solution, et que : CROISSANCE ALGEBRIQUE

  15. Lv = 0 CHEMIN 1: CROISSANCE TRANSITOIRE EXPLICATION PHYSIQUE: L’EFFET “LIFT UP ” EXPLICATION MATHEMATIQUE: NON-NORMALITE DE L’OPERATEUR (MATRICE) D’EVOLUTION L luk = Luk uk vecteurs propres à droite l*vhT = vhTL*vhvecteurs propres à gauche avec le produit scalaire :(vh , uk) = vh*Tuk = dhk (pour vecteurs propres normalisés) du/dt = L u

  16. Lv = 0 CHEMIN 1: CROISSANCE TRANSITOIRE LORSQUE LA MATRICE LEST NON-NORMALE (LL*TL*TL) LES VECTEURS PROPRES uk NE SONT PAS ORTHOGONAUX ENTRE EUX. LA PERTURBATION INITIALE u (combinaisonlinéaire des uk) PEUT CROITRE INITIALEMENT (MEME LORSQUE TOUTESLES VALEURS PROPRESlkSONT NEGATIVES) u eiq u1 1 u t 2 u2 t = 0 t >0

  17. Lv = 0 CHEMIN 1: CROISSANCE TRANSITOIRE Il peut être important de chercher les conditions initiales qui produisent la croissance transitoire la plus grande: PERTURBATIONS OPTIMALES Hypothèse: L est une matrice NxN, ses vecteurs propres forment une base U = [u1u2 … uN] V = [v1v2 … vN] (vh , uk ) = dhk V*TU = I (V*T = U-1) (vh , Luk) = (vh , lkuk) = lkdhk V*TL U = L PERTURBATIONS OPTIMALES

  18. Lv = 0 CHEMIN 1: CROISSANCE TRANSITOIRE U = [u1u2 … uN] V = [v1v2 … vN] V*T = U-1V*TL U = L On prends : u = U q(q vecteur de coefficients) du/dt = U dq/dt = L u = L U q dq/dt = U-1 L U q = L q  q = exp (Lt) q(0) q = U-1 u = exp(Lt) q(0) = exp(Lt) U-1 u(0) P est le PROPAGATEUR de la condition initial u0 u = U exp(Lt) U-1 u(0) = P u0

  19. Lv = 0 CHEMIN 1: CROISSANCE TRANSITOIRE Question : comment trouver la condition initiale optimale, c.a.d. celle qui produit la croissance énergétique la plus importante ? On définit l’énergie comme: E(t) = (u , u) = u*Tu = (Pu0 , Pu0) Problème :Max(E) sous contrainte: E(0) = 1 Max(L) sans contraintes, avecL = E – g [E(0) - 1] = = (u0 , P*TPu0) – g [(u0 , u0) - 1] En imposant que dL = 0 (condition nécessaire d’extremum) on trouve l’équation de Euler-Lagrange: “SVD” P*TPu0 = g u0

  20. Lv = 0 CHEMIN 1: CROISSANCE TRANSITOIRE Il est simple de montrer que des itérations de puissance convergent (souvent) rapidement sur le u0 optimal : Pu0(0) = u(0)en avant, jusqu’à t P*Tu(0) = u0(1)en arrière, jusqu’à 0 Pu0(1) = u(1) P*Tu(1) = u0(2) Pu0(2) = u(2) P*Tu(2) = u0(3) ……

  21. CHEMIN 1: CROISSANCE TRANSITOIRE ANALYSE VISQUEUSE, CROISSANCE EN ESPACE : • Approche classique: normalise avec ( ) et trouve un système de Orr-Sommerfeld/Squire avec et • Approche à deux échelles : échelle de temps pour arriverà un système de Os/Squire réduit

  22. CHEMIN 1: CROISSANCE TRANSITOIRE Modes normaux : , Écoulement de Poiseuille: modes du système complet vs ceux du modèleparabolique Re = 2000, w = 0, b = 1.91 Re = 2000, w = 0.3, b = 1.91 Parabolique: ap =a Re, wp = w ReComplet: a, w

  23. CHEMIN 1: CROISSANCE TRANSITOIRE Perturbations optimales.Il est clair que le gain : se simplifie lorsque la normalisation à deux échelles est employée, u =  (Umax)et(v,w) =  (Umax/Re), et le gainG est un maximum lorsque u0 = 0. Donc :

  24. CHEMIN 1: CROISSANCE TRANSITOIRE Si on décompose la perturbation générique q comme une somme de modes normaux : Alors : Quotient de Rayleigh. Le gain maximal pour chaquexest la plus grande valeur propre solution de : B. Farrell, Phys. Fluids, 1988

  25. CHEMIN 1: CROISSANCE TRANSITOIRE Croissance optimale, Re = 1000,w = 0,b = 1.91 (Poiseuille) Re = 500,w = 0,b = 1.58 (Couette)

  26. CHEMIN 1: CROISSANCE TRANSITOIRE Iso-G, écoulement de Poiseuille, Re = 2000

  27. CHEMIN 1: CROISSANCE TRANSITOIRE Écoulement de Poiseuille, Re = 2000 & 5000,w = 0,b = 1.91 Non visqueux Visqueux Viscous Analytique

  28. CHEMIN 1: CROISSANCE TRANSITOIRE Perturbation optimale àx = 0 et strie optimaleàxopt, écoulement de Poiseuille, Re = 2000,w = 0,b = 1.91

  29. CHEMIN 1: CROISSANCE TRANSITOIRE Seconde valeur singulière, écoulement de Poiseuille, Re = 2000

  30. CHEMIN 1: CROISSANCE TRANSITOIRE

  31. CHEMIN 1: CROISSANCE TRANSITOIRE Perturbations optimales Gmax/Re2 xopt/Re Poiseuille 2.41*10-4 0.057 bopt = 1.91 Couette 3.39*10-4 0.073 bopt = 1.58 HP 1.03*10-4 0.033 mopt = 1 Canal carré 1.12*10-4 0.039

  32. CHEMIN 1: CROISSANCE TRANSITOIRE En conditions sous-critiques, la croissance transitoire peut provoquer une telle amplification des perturbations que les effets non-linéaires ne sont plus négligeables: transition “by-pass”

  33. CHEMIN 2: CROISSANCE EXPONENTIELLE CHEMIN 2: CROISSANCE EXPONENTIELLE Observation préliminaire: les valeurs propres du système de OS/Squire sont très sensibles aux perturbations E de l’opérateur … L.N. Trefethen et al., Science, 1993

  34. CHEMIN 2: CROISSANCE EXPONENTIELLE On considère une forme très particulière de perturbations de l’opérateur, une distorsion de l’écoulement moyen U(y) (produite par un quelconque forçage de l’environnement) Le pseudospectre-dU est différent du pseudospectre-e classique, parce qu’il se base sur des incertitudes dynamiques structurées, fonctions seulement des défauts qui peuvent apparaître sur le profil de vitesse moyenne

  35. CHEMIN 2: CROISSANCE EXPONENTIELLE ANALYSE DE SENSIBILITEEquation de OS: L (U, a; w, b, Re) v = 0Avec une variation de l’écoulement de base dU(y):dL v + L dv = 0

  36. CHEMIN 2: CROISSANCE EXPONENTIELLE On projette sur a, fonction propre adjointe (L*Ta=0) pour trouver et donc, En pratique, pour chaque valeur propre an on peut mettre en relation la variation de l’écoulement de base dUà la variation da de la valeur propre, à travers la fonction de sensibilité GU

  37. CHEMIN 2: CROISSANCE EXPONENTIELLE ECOULEMENT DE HAGEN-POISEUILLE Spectre de valeurs propres pourRe = 3000, m = 1,w = 0.5. Les deux valeurs propres plus réceptives sont encerclées.

  38. CHEMIN 2: CROISSANCE EXPONENTIELLE Norme  de rGu. Les modes sont numérotés en ordre de |ai| croissant.

  39. CHEMIN 2: CROISSANCE EXPONENTIELLE FONCTIONS DE SENSIBILITE Mode 22 (ligne continue); mode 24 (traits); 103*mode 1 (traits-points)

  40. CHEMIN 2: CROISSANCE EXPONENTIELLE “Optimisation” Recherche de la distorsion optimal de l’écoulement de base (défaut minimal) de norme donnée e, de sort que le taux de croissance de l’instabilité (-ai) soitmaximisé : Une condition nécessaire est que : Min(ai) avec U – Urefde normee

  41. CHEMIN 2: CROISSANCE EXPONENTIELLE En employant le résultat précédent: Un algorithme du gradient simple peut être employé pour trouver le nouvel écoulement de base qui maximise le taux de croissance, pour chaque an et pour undéfaut de norme e quelconque : avec

  42. CHEMIN 2: CROISSANCE EXPONENTIELLE Re = 3000, m = 1, w = 0.5. Écoulement de HP (cercles), avec le défaut minimal (triangles) pour e = 2.5*10-5 qui minimise ai du mode 22.

  43. CHEMIN 2: CROISSANCE EXPONENTIELLE Écoulement de Hagen-Poiseuille avec et sans ledéfaut minimal. La courbe (U’/r)’/20indique une instabilité inflexionnelle.

  44. CHEMIN 2: CROISSANCE EXPONENTIELLE Re=3000 Re=2300 Re=1800 Re=1760 Taux de croissance en fonction dew pour m = 1et e= 10-5

  45. CHEMIN 2: CROISSANCE EXPONENTIELLE

  46. CHEMIN 2: CROISSANCE EXPONENTIELLE e=2*10-6 e=10-5 e=5*10-6 e=5*10-5 Courbes neutres pour m = 1 et e= 10-5. Les symboles donnent Recrit

  47. CHEMIN 2: CROISSANCE EXPONENTIELLE • e varie comme Re-2 l’amplitude critique varie comme Re-1 • (cf. Hof, Juel et Mullin, PRL 2003)

  48. CHEMIN 2: CROISSANCE EXPONENTIELLE Un petit défaut sur l’écoulement de base peut déstabiliser l’écoulement, en conditions qui sont nominalement sous-critiques, et provoquer la transition …

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