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D ata s tructures

D ata s tructures. 02.2:m athematical i nduction. 동의대학교 멀티미디어공학과 이광의 교수. T oday’s t opic. 재귀함수의 예와 동작방법 계승 함수와 그 동작방법 피보나치 함수와 그 동작방법 최소공배수 함수 mathematical induction 수학적 귀납법 계승 함수의 증명 피보나치 함수의 증명 최소공배수 함수의 증명 재귀함수의 활용 징검다리 건너기 당근 캐기 거북이 옮기기.

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Presentation Transcript

  1. Data structures 02.2:mathematical induction 동의대학교 멀티미디어공학과 이광의 교수

  2. Today’s topic • 재귀함수의 예와 동작방법 • 계승 함수와 그 동작방법 • 피보나치 함수와 그 동작방법 • 최소공배수 함수 • mathematical induction수학적 귀납법 • 계승 함수의증명 • 피보나치 함수의 증명 • 최소공배수 함수의 증명 • 재귀함수의 활용 • 징검다리 건너기 • 당근 캐기 • 거북이 옮기기 Dept. of Multimedia Engineering, DongEui Univ.

  3. Correctness of Recursive Functions • 계승함수의 증명 • intrFac (int n) { // n>0; • if (n==1) return 1; • elsereturn n*rFac (n-1); • } • void main ( ) { • cout << rFac(3); // 6을 출력 • } Dept. of Multimedia Engineering, DongEui Univ.

  4. Correctness of Recursive Functions • 계승함수의 증명 • intrFac (int n) { // n>0; • if (n==1) return 1; • elsereturn n*rFac (n-1); • } • void main ( ) { • cout << rFac(3); // 6을 출력 • } rFac () 1 N=1 rFac () 2 N=2 rFac() 6 N=3 main () Dept. of Multimedia Engineering, DongEui Univ.

  5. Correctness of Recursive Functions • 계승함수의 증명 • intrFac (int n) { // n>0; • if (n==1) return 1; • elsereturn n*rFac (n-1); • } • void main ( ) { • cout << rFac(3); // 6을 출력 • } • 무엇을 증명하여야 하는가? rFac () 1 N=1 rFac () 2 N=2 rFac() 6 N=3 main () Dept. of Multimedia Engineering, DongEui Univ.

  6. Correctness of Recursive Functions • 계승함수의 증명 • intrFac (int n) { // n>0; • if (n==1) return 1; • elsereturn n*rFac (n-1); • } • void main ( ) { • cout << rFac(3); // 6을 출력 • } • 무엇을 증명하여야 하는가? • rFac(1) == 1! • rFac(2) == 2! • … • rFac(n) == n! • ... rFac () 1 N=1 rFac () 2 N=2 rFac() 6 N=3 main () Dept. of Multimedia Engineering, DongEui Univ.

  7. Correctness of Recursive Functions • 계승함수의 증명 • intrFac (int n) { // n>0; • if (n==1) return 1; • elsereturn n*rFac (n-1); • } • void main ( ) { • cout << rFac(3); // 6을 출력 • } • 무엇을 증명하여야 하는가? • rFac(1) == 1! • rFac(2) == 2! • … • rFac(n) == n! • ... • 모든자연수 n에대하여 rFac(n) == n! rFac () 1 N=1 rFac () 2 N=2 rFac() 6 N=3 main () Dept. of Multimedia Engineering, DongEui Univ.

  8. Correctness of Recursive Functions • 계승함수의 증명 • intrFac (int n) { // n>0; • if (n==1) return 1; • elsereturn n*rFac (n-1); • } • void main ( ) { • cout << rFac(3); // 6을 출력 • } • 무엇을 증명하여야 하는가? • rFac(1) == 1! P(1)을rFac(1) == 1! • rFac(2) == 2! P(2)를 rFac(2) == 2! • … • rFac(n) == n! P(n)을 rFac(n) == n! • ... • 모든자연수 n에대하여 rFac(n) == n! 모든 자연수 n에대하여 P(n)이 성립! rFac () 1 N=1 rFac () 2 N=2 rFac() 6 N=3 main () Dept. of Multimedia Engineering, DongEui Univ.

  9. Mathematical induction • 모든 자연수 n에대하여 P(n)이 성립함을 보이는 2단계 • 단계 1: P(1)이 성립함을 보인다. • 단계 2: 임의의 자연수 k에 대하여 P(k)이 성립할 때 P(k+1)이 성립함을 보인다. P(k) -> P(k+1) Dept. of Multimedia Engineering, DongEui Univ.

  10. Mathematical induction • 모든 자연수 n에대하여 P(n)이 성립함을 보이는 2단계 • 단계 1: P(1)이 성립함을 보인다. • 단계 2: 임의의 자연수 k에 대하여 P(k)이 성립할 때 P(k+1)이 성립함을 보인다. P(k) -> P(k+1) • 증명 • P(1) • P(2) • P(3) • P(4) • … • P(n-1) • P(n) • ... Dept. of Multimedia Engineering, DongEui Univ.

  11. Mathematical induction • 모든 자연수 n에대하여 P(n)이 성립함을 보이는 2단계 • 단계 1: P(1)이 성립함을 보인다. • 단계 2: 임의의 자연수 k에 대하여 P(k)이 성립할 때 P(k+1)이 성립함을 보인다. P(k) -> P(k+1) • 증명 • P(1): 단계 1에 의하여 • P(2) • P(3) • P(4) • … • P(n-1) • P(n) • ... P(1) Dept. of Multimedia Engineering, DongEui Univ.

  12. Mathematical induction • 모든 자연수 n에대하여 P(n)이 성립함을 보이는 2단계 • 단계 1: P(1)이 성립함을 보인다. • 단계 2: 임의의 자연수 k에 대하여 P(k)이 성립할 때 P(k+1)이 성립함을 보인다. P(k) -> P(k+1) • 증명 • P(1): 단계 1에 의하여 • P(2): 단계 2에서 k에 1을 대입 P(1)->P(2) • P(3) • P(4) • … • P(n-1) • P(n) • ... P(2) P(1) Dept. of Multimedia Engineering, DongEui Univ.

  13. Mathematical induction • 모든 자연수 n에대하여 P(n)이 성립함을 보이는 2단계 • 단계 1: P(1)이 성립함을 보인다. • 단계 2: 임의의 자연수 k에 대하여 P(k)이 성립할 때 P(k+1)이 성립함을 보인다. P(k) -> P(k+1) • 증명 • P(1): 단계 1에 의하여 • P(2): 단계 2에서 k에 1을 대입 P(1)->P(2) • P(3): 단계 2에서 k에 2를 대입 P(2)->P(3) • P(4) • … • P(n-1) • P(n) • ... P(3) P(2) P(1) Dept. of Multimedia Engineering, DongEui Univ.

  14. Mathematical induction • 모든 자연수 n에대하여 P(n)이 성립함을 보이는 2단계 • 단계 1: P(1)이 성립함을 보인다. • 단계 2: 임의의 자연수 k에 대하여 P(k)이 성립할 때 P(k+1)이 성립함을 보인다. P(k) -> P(k+1) • 증명 • P(1): 단계 1에 의하여 • P(2): 단계 2에서 k에 1을 대입 P(1)->P(2) • P(3): 단계 2에서 k에 2를 대입 P(2)->P(3) • P(4): 단계 2에서 k에 3을 대입 P(3)->P(4) • … • P(n-1) • P(n) • ... P(4) P(3) P(2) P(1) Dept. of Multimedia Engineering, DongEui Univ.

  15. Mathematical induction • 모든 자연수 n에대하여 P(n)이 성립함을 보이는 2단계 • 단계 1: P(1)이 성립함을 보인다. • 단계 2: 임의의 자연수 k에 대하여 P(k)이 성립할 때 P(k+1)이 성립함을 보인다. P(k) -> P(k+1) • 증명 • P(1): 단계 1에 의하여 • P(2): 단계 2에서 k에 1을 대입 P(1)->P(2) • P(3): 단계 2에서 k에 2를 대입 P(2)->P(3) • P(4): 단계 2에서 k에 3을 대입 P(3)->P(4) • … • P(n-1) • P(n) • ... … P(4) P(3) P(2) P(1) Dept. of Multimedia Engineering, DongEui Univ.

  16. Mathematical induction • 모든 자연수 n에대하여 P(n)이 성립함을 보이는 2단계 • 단계 1: P(1)이 성립함을 보인다. • 단계 2: 임의의 자연수 k에 대하여 P(k)이 성립할 때 P(k+1)이 성립함을 보인다. P(k) -> P(k+1) • 증명 • P(1): 단계 1에 의하여 • P(2): 단계 2에서 k에 1을 대입 P(1)->P(2) • P(3): 단계 2에서 k에 2를 대입 P(2)->P(3) • P(4): 단계 2에서 k에 3을 대입 P(3)->P(4) • … • P(n-1): 앞단계에 의하여 성립함이 증명되었을 것임. • P(n) • ... P(n-1) … P(3) P(2) P(1) Dept. of Multimedia Engineering, DongEui Univ.

  17. Mathematical induction P(n) • 모든 자연수 n에대하여 P(n)이 성립함을 보이는 2단계 • 단계 1: P(1)이 성립함을 보인다. • 단계 2: 임의의 자연수 k에 대하여 P(k)이 성립할 때 P(k+1)이 성립함을 보인다. P(k) -> P(k+1) • 증명 • P(1): 단계 1에 의하여 • P(2): 단계 2에서 k에 1을 대입 P(1)->P(2) • P(3): 단계 2에서 k에 2를 대입 P(2)->P(3) • P(4): 단계 2에서 k에 3을 대입 P(3)->P(4) • … • P(n-1): 앞단계에 의하여 성립함이 증명되었을 것임. • P(n): 단계 2에서 k에 n-1을 대입 P(n-1)->P(n) • ... P(n-1) … P(3) P(2) P(1) Dept. of Multimedia Engineering, DongEui Univ.

  18. Mathematical induction … • 모든 자연수 n에대하여 P(n)이 성립함을 보이는 2단계 • 단계 1: P(1)이 성립함을 보인다. • 단계 2: 임의의 자연수 k에 대하여 P(k)이 성립할 때 P(k+1)이 성립함을 보인다. P(n) … P(3) P(2) P(1) Dept. of Multimedia Engineering, DongEui Univ.

  19. Mathematical induction … • 모든 자연수 n에대하여 P(n)이 성립함을 보이는 2단계 • 단계 1: P(1)이 성립함을 보인다. • 단계 2: 임의의 자연수 k에 대하여 P(k)이 성립할 때 P(k+1)이 성립함을 보인다. • 모든 자연수 n에대하여 P(n)이 성립함을 보이는 2단계 • 귀납법 기초: P(1) • 귀납법 단계: 임의의 자연수 k에 대하여 P(k-1)->P(k) 특히 P(k-1)을 “귀납법 가정”이라 한다. • 이를수학적 귀납법이라 한다. P(n) … P(3) P(2) P(1) Dept. of Multimedia Engineering, DongEui Univ.

  20. Mathematical induction … • 모든 자연수 n에대하여 P(n)이 성립함을 보이는 2단계 • 단계 1: P(1)이 성립함을 보인다. • 단계 2: 임의의 자연수 k에 대하여 P(k)이 성립할 때 P(k+1)이 성립함을 보인다. • 모든 자연수 n에대하여 P(n)이 성립함을 보이는 2단계 • 귀납법 기초: P(1) • 귀납법 단계: 임의의 자연수 k에 대하여 P(k-1)->P(k) 특히 P(k-1)을 “귀납법 가정”이라 한다. • 이를수학적 귀납법이라 한다. • A이상의 모든 정수 n에대하여 P(n)이 성립함을 보이는 2단계 • 귀납법 기초: P(a) • 귀납법 단계: 임의의 자연수 k>a에 대하여 P(k-1)->P(k) P(n) … P(a+2) P(a+1) P(a) Dept. of Multimedia Engineering, DongEui Univ.

  21. Mathematical induction … • 모든 자연수 n에대하여 P(n)이 성립함을 보이는 2단계 • 귀납법 기초: P(1) • 귀납법 단계: 임의의 자연수 k에 대하여 P(k-1)->P(k) • intrFac (int n) { // n>0; • if (n==1) return 1; • elsereturn n*rFac (n-1); • } • 증명과정: • 귀납법 기초 P(1) • 귀납법 단계 P(n-1)->P(n) P(n) … P(3) P(2) P(1) Dept. of Multimedia Engineering, DongEui Univ.

  22. Mathematical induction … • 모든 자연수 n에대하여 P(n)이 성립함을 보이는 2단계 • 귀납법 기초: P(1) • 귀납법 단계: 임의의 자연수 k에 대하여 P(k-1)->P(k) • intrFac (int n) { // n>0; • if (n==1) return 1; • elsereturn n*rFac (n-1); • } • 증명과정: • 귀납법 기초 P(1): rFac(1)은 1!을 계산한다. • 귀납법 단계 P(n-1)->P(n) P(n) … P(3) P(2) P(1) Dept. of Multimedia Engineering, DongEui Univ.

  23. Mathematical induction … • 모든 자연수 n에대하여 P(n)이 성립함을 보이는 2단계 • 귀납법 기초: P(1) • 귀납법 단계: 임의의 자연수 k에 대하여 P(k-1)->P(k) • intrFac (int n) { // n>0; • if (n==1) return 1; • elsereturn n*rFac (n-1); • } • 증명과정: • 귀납법 기초 P(1): rFac(1)은 1!을 계산한다. O.K. • 귀납법 단계 P(n-1)->P(n) P(n) … P(3) P(2) P(1) Dept. of Multimedia Engineering, DongEui Univ.

  24. Mathematical induction … • 모든 자연수 n에대하여 P(n)이 성립함을 보이는 2단계 • 귀납법 기초: P(1) • 귀납법 단계: 임의의 자연수 k에 대하여 P(k-1)->P(k) • intrFac (int n) { // n>0; • if (n==1) return 1; • elsereturn n*rFac (n-1); • } • 증명과정: • 귀납법 기초 P(1): rFac(1)은 1!을 계산한다. O.K. • 귀납법 단계 P(n-1)->P(n): rFac(n-1)이 (n-1)!을 계산한다면, rFac(n)은 n!을계산한다. P(n) … P(3) P(2) P(1) Dept. of Multimedia Engineering, DongEui Univ.

  25. Mathematical induction … • 모든 자연수 n에대하여 P(n)이 성립함을 보이는 2단계 • 귀납법 기초: P(1) • 귀납법 단계: 임의의 자연수 k에 대하여 P(k-1)->P(k) • intrFac (int n) { // n>0; • if (n==1) return 1; • elsereturn n*rFac (n-1); • } • 증명과정: • 귀납법 기초 P(1): rFac(1)은 1!을 계산한다. O.K. • 귀납법 단계 P(n-1)->P(n): rFac(n-1)이 (n-1)!을 계산한다면, rFac(n)은 n!을계산한다. O.K. P(n) … P(3) P(2) P(1) Dept. of Multimedia Engineering, DongEui Univ.

  26. Mathematical induction • 피보나치 함수의 증명 • intrF(int n) { // n>=0 • if (n<2) return n; // if (n==0||n==1) return n • else return rF(n-1)+rF(n-2); • } • // 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21… Dept. of Multimedia Engineering, DongEui Univ.

  27. Mathematical induction • 피보나치 함수의 증명 • intrF(int n) { // n>=0 • if (n<2) return n; // if (n==0||n==1) return n • else return rF(n-1)+rF(n-2); • } • // 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21… • 무엇을증명해야 하는가? • P(0): rF(0) == 0 일단 생략 • P(1): rF(1) == 1 • P(2): rF(2) == 1 • P(3): rF(3) == 2 • … • P(n): rF(n) == n번째 피보나치 수 • ... • 모든 자연수 n에대하여 P(n)이 성립! >> 수학적 귀납법 Dept. of Multimedia Engineering, DongEui Univ.

  28. Mathematical induction • 피보나치 함수의 증명 • intrF(int n) { // n>=0 • if (n<2) return n; // if (n==0||n==1) return n • else return rF(n-1)+rF(n-2); • } • // 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21… • 무엇을증명해야 하는가? • 귀납법 기초: P(1) • 귀납법 단계: 임의의 자연수 k에 대하여 P(k-1)->P(k) Dept. of Multimedia Engineering, DongEui Univ.

  29. Mathematical induction • 피보나치 함수의 증명 • intrF(int n) { // n>=0 • if (n<2) return n; // if (n==0||n==1) return n • else return rF(n-1)+rF(n-2); • } • // 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21… • 무엇을증명해야 하는가? • 귀납법 기초: P(1) • 귀납법 단계: 임의의 자연수 k에 대하여 P(k-1)->P(k) • 증명과정: • 귀납법 기초 P(1): • 귀납법 단계 P(n-1)->P(n): Dept. of Multimedia Engineering, DongEui Univ.

  30. Mathematical induction • 피보나치 함수의 증명 • intrF(int n) { // n>=0 • if (n<2) return n; // if (n==0||n==1) return n • else return rF(n-1)+rF(n-2); • } • // 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21… • 무엇을증명해야 하는가? • 귀납법 기초: P(1) • 귀납법 단계: 임의의 자연수 k에 대하여 P(k-1)->P(k) • 증명과정: • 귀납법 기초 P(1): rF(1)은 첫번째 피보나치 수를 계산한다. • 귀납법 단계 P(n-1)->P(n): Dept. of Multimedia Engineering, DongEui Univ.

  31. Mathematical induction • 피보나치 함수의 증명 • intrF(int n) { // n>=0 • if (n<2) return n; // if (n==0||n==1) return n • else return rF(n-1)+rF(n-2); • } • // 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21… • 무엇을증명해야 하는가? • 귀납법 기초: P(1) • 귀납법 단계: 임의의 자연수 k에 대하여 P(k-1)->P(k) • 증명과정: • 귀납법 기초 P(1): rF(1)은 첫번째 피보나치 수를 계산한다. O.K. • 귀납법 단계 P(n-1)->P(n): Dept. of Multimedia Engineering, DongEui Univ.

  32. Mathematical induction • 피보나치 함수의 증명 • intrF(int n) { // n>=0 • if (n<2) return n; // if (n==0||n==1) return n • else return rF(n-1)+rF(n-2); • } • // 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21… • 무엇을증명해야 하는가? • 귀납법 기초: P(1) • 귀납법 단계: 임의의 자연수 k에 대하여 P(k-1)->P(k) • 증명과정: • 귀납법 기초 P(1): rF(1)은 첫번째 피보나치 수를 계산한다. O.K. • 귀납법 단계 P(n-1)->P(n): rF(n-1)은 (n-1)번째 피보나치 수를 계산한다면, rF(n)은 n번째 피보나치 수를 계산한다. Dept. of Multimedia Engineering, DongEui Univ.

  33. Mathematical induction • 피보나치 함수의 증명 • intrF(int n) { // n>=0 • if (n<2) return n; // if (n==0||n==1) return n • else return rF(n-1)+rF(n-2); • } • // 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21… • 무엇을증명해야 하는가? • 귀납법 기초: P(1) • 귀납법 단계: 임의의 자연수 k에 대하여 P(k-1)->P(k) • 증명과정: • 귀납법 기초 P(1): rF(1)은 첫번째 피보나치 수를 계산한다. O.K. • 귀납법 단계 P(n-1)->P(n): rF(n-1)은 (n-1)번째 피보나치 수를 계산한다면, rF(n)은 n번째 피보나치 수를 계산한다. Nope! Absolutely Not!! Dept. of Multimedia Engineering, DongEui Univ.

  34. Mathematical induction • 피보나치 함수의 증명 • intrF(int n) { // n>=0 • if (n<2) return n; // if (n==0||n==1) return n • else return rF(n-1)+rF(n-2); • } • // 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21… • 무엇을증명해야 하는가? • 귀납법 기초: P(1) • 귀납법 단계: 임의의 자연수 k에 대하여 P(k-1)->P(k) • 증명과정: • 귀납법 기초 P(1): rF(1)은 첫번째 피보나치 수를 계산한다. O.K. • 귀납법 단계 P(n-1)->P(n): rF(n-1)은 (n-1)번째 피보나치 수를 계산한다면, rF(n)은 n번째 피보나치 수를 계산한다. Nope! Absolutely Not!! {P(n-1) AND P(n-2)} –> P(n) Dept. of Multimedia Engineering, DongEui Univ.

  35. Mathematical induction • 피보나치 함수의 증명 • intrF(int n) { // n>=0 • if (n<2) return n; // if (n==0||n==1) return n • else return rF(n-1)+rF(n-2); • } • // 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21… • 무엇을증명해야 하는가? • 귀납법 기초: P(1) • 귀납법 단계: 임의의 자연수 k에 대하여 {P(k-1) AND P(k-2)} -> P(k) Dept. of Multimedia Engineering, DongEui Univ.

  36. Mathematical induction • 피보나치 함수의 증명 • intrF(int n) { // n>=0 • if (n<2) return n; // if (n==0||n==1) return n • else return rF(n-1)+rF(n-2); • } • // 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21… • 무엇을증명해야 하는가? • 귀납법 기초: P(1) O.K. • 귀납법 단계: 임의의 자연수 k에 대하여 {P(k-1) AND P(k-2)} -> P(k) Dept. of Multimedia Engineering, DongEui Univ.

  37. Mathematical induction • 피보나치 함수의 증명 • intrF(int n) { // n>=0 • if (n<2) return n; // if (n==0||n==1) return n • else return rF(n-1)+rF(n-2); • } • // 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21… • 무엇을증명해야 하는가? • 귀납법 기초: P(1) O.K. • 귀납법 단계: 임의의 자연수 k에 대하여 {P(k-1) AND P(k-2)} -> P(k) O.K. Dept. of Multimedia Engineering, DongEui Univ.

  38. Mathematical induction • 피보나치 함수의 증명 • intrF(int n) { // n>=0 • if (n<2) return n; // if (n==0||n==1) return n • else return rF(n-1)+rF(n-2); • } • // 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21… • 무엇을증명해야 하는가? • 귀납법 기초: P(1) • 귀납법 단계: 임의의 자연수 k에 대하여 {P(k-1) AND P(k-2)} -> P(k) • 검증해 봅시다! ??? • P(1) • P(2) • P(3) • … Dept. of Multimedia Engineering, DongEui Univ.

  39. Mathematical induction • 피보나치 함수의 증명 • intrF(int n) { // n>=0 • if (n<2) return n; // if (n==0||n==1) return n • else return rF(n-1)+rF(n-2); • } • // 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21… • 무엇을증명해야 하는가? • 귀납법 기초: P(1) • 귀납법 단계: 임의의 자연수 k에 대하여 {P(k-1) AND P(k-2)} -> P(k) • 검증해 봅시다! ??? • P(1): 귀납법 기초에서 P(1)이 성립함을 증명. O.K. • P(2) • P(3) • … P(1) Dept. of Multimedia Engineering, DongEui Univ.

  40. Mathematical induction • 피보나치 함수의 증명 • intrF(int n) { // n>=0 • if (n<2) return n; // if (n==0||n==1) return n • else return rF(n-1)+rF(n-2); • } • // 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21… • 무엇을증명해야 하는가? • 귀납법 기초: P(1) • 귀납법 단계: 임의의 자연수 k에 대하여 {P(k-1) AND P(k-2)} -> P(k) • 검증해 봅시다! ??? • P(1): 귀납법 기초에서 P(1)이 성립함을 증명. O.K. • P(2): 귀납법 단계에서 k에 2를 대입 {P(1) AND P(0)} -> P(2) • P(3) • … P(2) P(1) Dept. of Multimedia Engineering, DongEui Univ.

  41. Mathematical induction • 피보나치 함수의 증명 • intrF(int n) { // n>=0 • if (n<2) return n; // if (n==0||n==1) return n • else return rF(n-1)+rF(n-2); • } • // 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21… • 무엇을증명해야 하는가? • 귀납법 기초: P(1) • 귀납법 단계: 임의의 자연수 k에 대하여 {P(k-1) AND P(k-2)} -> P(k) • 검증해 봅시다! ??? • P(1): 귀납법 기초에서 P(1)이 성립함을 증명. O.K. • P(2): 귀납법 단계에서 k에 2를 대입 {P(1) AND P(0)} -> P(2) Oops!! • P(3) • … P(2) P(0) P(1) Dept. of Multimedia Engineering, DongEui Univ.

  42. Mathematical induction • 피보나치 함수의 증명 • intrF(int n) { // n>=0 • if (n<2) return n; // if (n==0||n==1) return n • else return rF(n-1)+rF(n-2); • } • // 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21… • 무엇을증명해야 하는가? • 귀납법 기초: P(1) • 귀납법 단계: 임의의 자연수 k에 대하여 {P(k-1) AND P(k-2)} -> P(k) • 검증해 봅시다! ??? • P(1): 귀납법 기초에서 P(1)이 성립함을 증명. O.K. • P(2): 귀납법 단계에서 k에 2를 대입 {P(1) AND P(0)} -> P(2) Oops!! • P(3) • … P(2) P(0) P(1) 도대체 무엇이 문제인가? Dept. of Multimedia Engineering, DongEui Univ.

  43. Mathematical induction 귀납법 기초는 귀납법 단계의 모든 경우에 결국 종료될 수 있도록 모든 경우를 고려하여 작성되어야 한다. • 피보나치 함수의 증명 • intrF(int n) { // n>=0 • if (n<2) return n; // if (n==0||n==1) return n • else return rF(n-1)+rF(n-2); • } • // 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21… • 무엇을증명해야 하는가? • 귀납법 기초: P(1) • 귀납법 단계: 임의의 자연수 k에 대하여 {P(k-1) AND P(k-2)} -> P(k) • 검증해 봅시다! ??? • P(1): 귀납법 기초에서 P(1)이 성립함을 증명. O.K. • P(2): 귀납법 단계에서 k에 2를 대입 {P(1) AND P(0)} -> P(2) Oops!! • P(3) • … P(2) P(0) P(1) 도대체 무엇이 문제인가? Dept. of Multimedia Engineering, DongEui Univ.

  44. Mathematical induction • 피보나치 함수의 증명 • intrF(int n) { // n>=0 • if (n<2) return n; // if (n==0||n==1) return n • else return rF(n-1)+rF(n-2); • } • // 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21… • 무엇을증명해야 하는가? • 귀납법 기초: P(1), P(0) • 귀납법 단계: 임의의 자연수 k에 대하여 {P(k-1) AND P(k-2)} -> P(k) Dept. of Multimedia Engineering, DongEui Univ.

  45. Mathematical induction • 피보나치 함수의 증명 • intrF(int n) { // n>=0 • if (n<2) return n; // if (n==0||n==1) return n • else return rF(n-1)+rF(n-2); • } • // 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21… • 무엇을증명해야 하는가? • 귀납법 기초: P(1), P(0) • 귀납법 단계: 임의의 자연수 k에 대하여 {P(k-1) AND P(k-2)} -> P(k) • 귀납법 기초의 점검 • P(1): 귀납법 기초에서 P(0), P(1)이 성립함을 증명. O.K. • P(2) • P(3) • … P(1) P(0) Dept. of Multimedia Engineering, DongEui Univ.

  46. Mathematical induction • 피보나치 함수의 증명 • intrF(int n) { // n>=0 • if (n<2) return n; // if (n==0||n==1) return n • else return rF(n-1)+rF(n-2); • } • // 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21… • 무엇을증명해야 하는가? • 귀납법 기초: P(1), P(0) • 귀납법 단계: 임의의 자연수 k에 대하여 {P(k-1) AND P(k-2)} -> P(k) • 귀납법 기초의 점검 • P(1): 귀납법 기초에서 P(0), P(1)이 성립함을 증명. O.K. • P(2) • P(3) • … P(2) P(1) P(0) Dept. of Multimedia Engineering, DongEui Univ.

  47. Mathematical induction • 피보나치 함수의 증명 • intrF(int n) { // n>=0 • if (n<2) return n; // if (n==0||n==1) return n • else return rF(n-1)+rF(n-2); • } • // 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21… • 무엇을증명해야 하는가? • 귀납법 기초: P(1), P(0) • 귀납법 단계: 임의의 자연수 k에 대하여 {P(k-1) AND P(k-2)} -> P(k) • 귀납법 기초의 점검 • P(1): 귀납법 기초에서 P(0), P(1)이 성립함을 증명. O.K. • P(2): 귀납법 단계에서 k에 2를 대입 {P(1) AND P(0)} -> P(2) • P(3) • … P(2) P(1) P(0) Dept. of Multimedia Engineering, DongEui Univ.

  48. Mathematical induction • 피보나치 함수의 증명 • intrF(int n) { // n>=0 • if (n<2) return n; // if (n==0||n==1) return n • else return rF(n-1)+rF(n-2); • } • // 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21… • 무엇을증명해야 하는가? • 귀납법 기초: P(1), P(0) • 귀납법 단계: 임의의 자연수 k에 대하여 {P(k-1) AND P(k-2)} -> P(k) • 귀납법 기초의 점검 • P(1): 귀납법 기초에서 P(0), P(1)이 성립함을 증명. O.K. • P(2): 귀납법 단계에서 k에 2를 대입 {P(1) AND P(0)} -> P(2). O.K. • P(3) • … P(2) P(1) P(0) Dept. of Multimedia Engineering, DongEui Univ.

  49. Mathematical induction • 피보나치 함수의 증명 • intrF(int n) { // n>=0 • if (n<2) return n; // if (n==0||n==1) return n • else return rF(n-1)+rF(n-2); • } • // 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21… • 무엇을증명해야 하는가? • 귀납법 기초: P(1), P(0) • 귀납법 단계: 임의의 자연수 k에 대하여 {P(k-1) AND P(k-2)} -> P(k) • 귀납법 기초의 점검 • P(1): 귀납법 기초에서 P(0), P(1)이 성립함을 증명. O.K. • P(2): 귀납법 단계에서 k에 2를 대입 {P(1) AND P(0)} -> P(2). O.K. • P(3) • … P(3) P(2) P(1) P(0) Dept. of Multimedia Engineering, DongEui Univ.

  50. Mathematical induction • 피보나치 함수의 증명 • intrF(int n) { // n>=0 • if (n<2) return n; // if (n==0||n==1) return n • else return rF(n-1)+rF(n-2); • } • // 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21… • 무엇을증명해야 하는가? • 귀납법 기초: P(1), P(0) • 귀납법 단계: 임의의 자연수 k에 대하여 {P(k-1) AND P(k-2)} -> P(k) • 귀납법 기초의 점검 • P(1): 귀납법 기초에서 P(0), P(1)이 성립함을 증명. O.K. • P(2): 귀납법 단계에서 k에 2를 대입 {P(1) AND P(0)} -> P(2). O.K. • P(3): 귀납법 단계에서 k에 3를 대입 {P(2) AND P(1)} -> P(3). • … P(3) P(2) P(1) P(0) Dept. of Multimedia Engineering, DongEui Univ.

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