Основная задача линейного программирования

1. Основная задача линейного программирования Симплекс-метод

2. Симплекс-таблица • Теперь мы в состоянии сформулировать алгоритм симплекс-метода для решения задач линейного программирования, заданных в канонической форме. Обычно он реализуется в виде так называемой симплекс-таблицы. • В первом столбце этой таблицы располагаются обозначения переменных, входящих в базис. • Второй столбец - коэффициенты целевой функции, соответствующие переменным, входящим в базис. • Третий столбец - компоненты опорного плана. • В дополнительной строке в этом столбце пишется величина Её легко вычислить перемножая числа из второго столбца и третьего столбца и складывая их.

3. Симплекс-таблица • Далее идут столбцы, соответствующие всем переменным, и в этих столбцах записываются координаты этих переменных в рассматриваемом базисе. Заметим, что для базисных переменных эти координаты имеют вид (0,0, ... ,0,1,0, ..., 0), где единица стоит в той строке, где находится этота базисная переменная. • В дополнительной строке сверху обычно выписывают коэффициенты , соответствующие этим переменным в целевой функции. • В дополнительной строке снизу пишутся величины , вычисляемые по формулам:

4. Симплекс-таблица • Заметим, что для векторов, входящих в базис, эти разности всегда равны нулю. • Далее идут следующие этапы, связанные с преобразованием этой таблицы. При ручном счете каждый раз эту таблицу лучше переписывать заново, при счете на ЭВМ (который, естественно, всегда используется при решении практических, а не учебных задач), эта таблица просто преобразуется в памяти ЭВМ.

5. Этап 1 • Просматривается дополнительная строка снизу, где записаны разности. Если все эти разности меньше, либо равны нулю, то план является оптимальным

6. Этап 2 • Если есть столбцы, где в нижней строке есть величина больше нуля, то выбирается столбец с максимальным значением этой величины. Индекс j определит вектор, вводимый в базис. • Пусть max(zj-cj)=zl-cl, то есть в базис надо вводить переменную xl. Назовем столбец, соответствующий этой переменной, направляющим столбцом. В дальнейшем мы будем направляющий столбец помечать символом ⇒.

7. Этап 3 • Просматривается направляющий столбец. Если все ail<0, то значения целевой функции неограничены снизу. Если есть ail>0, то находится min(i)(xi/ail),где просматриваются лишь те дроби, для которых ail>0. • Пусть этот минимум достигается для akl. Тогда именно переменная xk подлежит выводу из базиса. Строка, соответствующая этой переменной, называется направляющей строкой. В дальнейшем в примерах мы будем помечать ее символом ⇑.

8. Этап 4 • После того, как определены направляющие столбец и строка, начинает заполняться новая симплекс-таблица, в которой на месте направляющей строки будет стоять переменная xl. Обычно заполнение этой новой таблицы начинается именно с направляющей строки. В качестве компоненты опорного плана туда пишется величина xk/akl. • Остальные элементы этой строки заполняются величинами a’lj=akj/akl.

9. akl Этап 4 • Обратите внимание на особую роль элемента akl, стоящего на пересечении направляющей строки и направляющего столбца. Именно на него делятся все бывшие элементы направляющей строки. На месте бывшего элемента автоматически появляется единица. • Написанные выше формулы для пересчета элементов направляющей строки можно записать следующим правилом:

10. Этап 5 • Далее начинается пересчет всех остальных строк таблицы, включая и дополнительную нижнюю строку для компонент плана; для координат разложения по базису; для дополнительной строкипо следующему правилу • Далее итерации продолжаются.

11. Пример • Решить задачу линейного программирования

12. Исходная симплекс-таблица

13. Пример • Обратите внимание на то, что из-за специфического вида системы ограничений в столбец "план" просто переписался вектор свободных членов системы ограничений. • Ну, а величины z0и zj-cj приходится считать:

14. Первая итерация • Просматривая дополнительную строку мы видим, что в ней всего один положительный элемент - в столбце, соответствующем переменной x3. Следовательно, эту переменную надо вводить в базис и этот столбец и будет направляющим столбцом. • В этом направляющем столбце есть два положительных числа - 4 и 3. Поэтому нужно рассмотреть два частных 12/4 и 10/3 и выбрать из них наименьшее. Так как min ((12/4), (10/3))=3 и он достигается на a43=4 , то этот вектор подлежит выводу из базиса и соответствующая ему строка и будет направляющей строкой. • Заполним теперь новую симплекс-таблицу, следуя сформулированным выше правилам. • Начинается заполнение, естественно, со второй строки (так как она была направляющей), а затем пересчитываются все остальные строки.

15. Полученная симплекс-таблица

16. Вторая итерация • Просматривая дополнительную строку мы вновь видим в ней всего один положительный элемент это 1/2, стоящая в столбце x2. Следовательно, этот вектор надо ввести в базис и этот столбец будет направляющим. • В столбце, соответствующем x2, всего один положительный элемент это 5/2в первой строке. Поэтому первая строка будет направляющей и переменная x1 должна быть выведена из базиса.

17. Новая симплекс-таблица