Objemy a povrchy hranatých a rotačných telies

1. Objemy a povrchy hranatých a rotačných telies Aleš Slúka 3.C GJGT 2012/13

2. Cavalieriho princíp • Dve telesá s podstavami rovnakého obsahu ležia v spoločnej rovine ρ a majú rovnakú výšku. Ak každá rovina ρ´, rovnobežná s rovinou ρ, pretína obe telesá v rovinných útvaroch rovnakého obsahu, potom majú obe telesá rovnaký objem.

3. Hranaté telesá • Teleso je v geometrii trojrozmerný ohraničený geometrický útvar. Telesá rozlišujeme podľa toho akým spôsobom vznikajú : na rotačné a hranaté. • Medzi hranaté telesá patria: hranol (kocka, kváder, kolmý hranol), ihlan, zrezaný ihlan

4. Kocka • Kocka je trojrozmerné teleso (mnohosten), ktorého steny tvorí šesť rovnakých štvorcov. Je špeciálnym prípadom kvádra, ktorého všetky hrany majú rovnakú dĺžku.

5. Výpočet objemu a povrchu kocky môže byť využívaný aj v architektúre. • Príklad: Hrany dvoch kociek sa líšia o 22 cm. Ich povrchy sa líšia o 19272 cm2. Určite hrany obidvoch kociek.

6. Riešenie:

7. Kváder • Kváder je trojrozmerné teleso – mnohosten, ktorého steny tvorí šesť pravouhlých štvoruholníkov. Kváder obsahuje tri skupiny rovnobežných hrán zhodnej dĺžky. Tieto dĺžky sú obvykle označované ako dĺžka, šírka a výška kvádra. • S = 2.(ab+ac+bc) • V = a.b.c

8. Kolmý hranol • Kolmý hranol je teleso, ktorého bočné hrany sú kolmé na roviny podstáv, ktoré sú tvorené pravidelným mnohouholníkom. • S = 2SP + Q • V = SP . v

9. Ihlan • Ihlan alebo pyramída je teleso, v ktorom sú rohy rovinného mnohouholníka (podstava) priamočiaro spojené s nejakým bodom a nachádzajúcim sa mimo roviny tohto mnohouholníka. • V = Sp.v • S = SP + Q

10. Zrezaný ihlan • Zrezaný ihlan je priestorové teleso – časť ihlanu, ktorá leží medzi dvoma rovnobežnými rovinami prechádzajúcimi týmto ihlanom. • V = .v (S1+S2+ • S = S1+S2 + Q • Q=

11. Rotačné telesá • Rotačné teleso je teleso vytvorené rotáciou rovinnej oblasti obmedzenej uzavretou krivkou okolo pevnej priamky. Príklady rotačného telesa: rotačný valec, rotačný kužeľ, zrezaný rotačný kužeľ, guľa.

12. Rotačný valec • Rotačný valec je priestorový útvar s dvoma rovnako veľkými kruhovými podstavami. • S = 2πr(r + v) • Q = 2πrv • V = πr2v

13. Rotačný kužeľ • Je teleso, ktoré vytvoríme otáčaním(rotáciou) pravouhlého trojuholníka okolo jednej odvesny. Túto odvesnu nazývame os otáčania. • V = πr2.v • S = πr2+πrs

14. Zrezaný rotačný kužeľ • Zrezaný kužeľ je časť kužeľa nachádzajúca sa medzi podstavou a rovinou rovnobežnou s podstavou, ktorá prechádza kužeľom. Vzniká rotáciou pravouhlého lichobežníka kolo kratšieho (kolmého) ramena. • V= πv (r12 +r1.r2 +r22) • S=πr12+πr22+π(r1+r2)s

15. Guľa • Guľa je množina všetkých bodov euklidovského priestoru, ktorých vzdialenosť od pevného bodu (t.j. od tzv. stredu gule) nie je väčšia ako pevné reálne kladné číslo (t.j. ako tzv. polomer gule).

16. Ďakujem za pozornosť