1 / 23

Over voetbal enzo

Over voetbal enzo. Hoeveel zeshoeken bevat een voetbal?. Probleem: onmogelijk om een voetbal te maken met alleen zeshoeken. Bovenstaande figuur is een vlakvulling: een vlak rooster. De veelzijdigheid van bollen. Hoekpunten n. Zijden n. 1. Buren 2. 2. Diagonalen n*(n-3)/2. n. 3.

homer
Download Presentation

Over voetbal enzo

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Over voetbal enzo Hoeveel zeshoeken bevat een voetbal? Probleem: onmogelijk om een voetbal te maken met alleen zeshoeken Bovenstaande figuur is een vlakvulling: een vlak rooster De veelzijdigheid van bollen

  2. Hoekpunten n Zijden n 1 Buren 2 2 Diagonalen n*(n-3)/2 n 3 … Veelhoeken (polygonen) Convexe veelhoek: Alle diagonalen vallen binnen veelhoek

  3. 1 1 2 2 n n 3 3 … … Recursieve Constructie: Herhaald afknippen Een n-hoek bekom je als je vertrekkende vanuit een driehoek n-3 maal een hoekpunt wegsnijdt. Herhaald bijplakken Een n-hoek bekom je door n-2 driehoeken aan elkaar te plakken. De som van de hoeken van een n-hoek = (n-2)*180°

  4. Regelmatige veelhoeken Gegeven: r(=1) en n(=9) a=

  5. Regelmatige veelhoeken z=2*r*sin(180°/n) a=r*cos(180°/n) Opp = r2*sin(180°/n)* cos(180°/n) = r2*sin(360°/n)/2 Opp n-hoek=n*r2/2*sin(360°/n) Omtrek n-hoek=2*n*r*sin(180°/n) Opp 9-hoek=9/2*sin(40°)=2,89 Omtrek 9-hoek=2*9*sin(20°)=6,16

  6. veelvlakken Een veelvlak is een ruimtelijke figuur begrensd door vlakke veelhoeken: Zijden of facetten(diamant) Ribben Hoekpunten Buren zijn hoekpunten verbonden door ribbe Diagonalen: zijdediagonaal lichaamsdiagonaal

  7. orde 5 3 3 3 3 3 3 5 3 3 De orde van een zijde = Aantal begrenzende ribben De orde van een hoekpunt = Aantal ribben die toekomen

  8. Prisma{n} Grondvlak // bovenvlak 3 Opstaande ribben 3 Hoogte h: afstand boven-grond 3 5 3 3 4 h 4 De orde van een zijde = zijvlakken orde 4 grond en boven orde n 4 3 3 3 5 De orde van een hoekpunt = allemaal orde 3 3 3 inh=opp(grond)*h

  9. Piramide {n} grondvlak top opstaande ribben 5 Hoogte h: afstand top-grondvlak 3 3 3 3 3 3 5 3 3 inh=opp(grond)*h/3 De orde van een hoekpunt = grondvlak orde 3 top orde n De orde van een zijde = zijvlakken orde 3 grondvlak orde n

  10. samenstellingen

  11. Formule van Euler Voor convexe veelvlakken geldt steeds: H+Z-R=2

  12. Platonische veelvlakken Tetraëder Kubus octaëder Slechts 5 Zijden zijn identieke regelmatige veelhoeken EN & Dus alle ribben even lang Alle hoekpunten hebben zelfde orde

  13. dodecaëder twaalfvlak 12 regelmatige 5-hoeken Orde hoekpunten 3 Orde zijden 5

  14. Icosaëder 20 regelmatige 3-hoeken Orde hoekpunten 5 Orde zijden 3

  15. Afgeknotte icosaëder H R Z 60 90 32

  16. Dualiteit Dodecaëder  Icosaëder Kubus  octaëder Verbind middelpunten van zijden

  17. Duale in tabel Het duale van afknotten is uitstulpen

  18. geode Een veelvlak waarbij elk Hoekpunt op een bol ligt En orde 5 of 6 heeft Richard Buckminster Fuller (1895-1983)

  19. triangulatie

  20. Moeilijk kan ook

  21. Fullerenen Het duale van een geode wordt een Fullereen genoemd Onze voetbal is een Fullereen F(1,1)

  22. Ook dit nog H+Z-R=2 5H5+6H6=2R=3Z Euler Telt het aantal ribben uit elke punt Elke ribbe wordt dubbel geteld Elke zijde heeft 3 ribben, maar weeral dubbel geteld 12H+12Z-12R=24 2H5+2(5H5+6H6)+12Z-6(2R)=24 2H5+2(3Z)+12Z-6(3Z)=24 In elke geode zijn er exact 12 hoekpunten van orde 5. H=H5+H6 2H5=24

  23. Voetbal? H+Z-R=2 3H=2R=6Z Euler Telt het aantal ribben uit elke punt Elke ribbe wordt dubbel geteld Elke zijde heeft 6 ribben, maar weeral dubbel geteld 6H+6Z-6R=12 2(3H)+6Z-3(2R)=12 2(6Z)+6Z-3(6Z)=12 Er bestaan geen voetballen met alleen zeshoeken 012

More Related