ABILITÀ COGNITIVE e SOLUZIONE DEI PROBLEMI MATEMATICI

1. Germana Englaro, Susi Cazzaniga Servizio Disturbi dell’Apprendimento Università degli Studi di Padova ABILITÀ COGNITIVE e SOLUZIONE DEI PROBLEMI MATEMATICI Torino 20-21-22 marzo 2006

3. COS’È UN PROBLEMA? Un PROBLEMA sorge quando un essere vivente ha una meta, ma non sa come raggiungerla(Dunker, 1935)

4. Ci sono due corde attaccate al soffitto, ad una certa distanza. Le devo unire ma la distanza è tale che non ci riesco. Nella stanza ci sono anche vari oggetti: una tenaglia, una sedia, della colla.Come faccio a unire le due corde?

5. Quali sono gli OSTACOLI che rendono difficoltosa la soluzione dei problemi? FISSITÀ FUNZIONALE= fissare l’attenzione su una funzione abituale e stereotipatadi un elemento del problema mantenere contempora-neamente presenti TUTTE LE INFORMAZIONIche il problema fornisce AUTOPORSI DEI LIMITInon necessari e non richiesti dal problema EFFETTI DELL’ABITUDINEspesso si ripetono procedimenti tentati in precedenza, senza ricercare procedure alternative più efficaci

6. Caratteristiche dei problemi: • Spesso la soluzione dipende da un’intuizione cruciale • C’è una sensazione di “tensione cognitiva” e di coinvolgimento emotivo che ci guida nella soluzione • C’è un insight cognitivo in cui avviene una ristrutturazione delle conoscenze pregresse alla luce degli elementi del problema

7. Differenze fra “problema” e “esercizio” • Gli esercizi richiedono un tipo di pensiero riproduttivo (problemi di tipo routinario che vengono solitamente proposti a scuola, nei quali è richiesto di applicare procedure già apprese). Sono quindi legati a conoscenze pregresse • I problemi richiedono un pensiero produttivo (Wertheimer, 1920), condizionato dalla situazione, dal contesto e dal vissuto del soggetto Stimolareun pensiero di tipo produttivo

8. ABILITÀ COGNITIVEimplicate nella soluzione dei problemi matematici COMPRENSIONE RAPPRESENTAZIONE CATEGORIZZAZIONE PIANIFICAZIONE AUTOVALUTAZIONE SOLUZIONE

9. Queste componenti sono viste all’interno di un FLUSSO. Il flusso parte dalla comprensione, unica componente sovraordinata (senza la comprensione matematica il flusso non parte), le altre componenti sono parallele.

10. COMPRENSIONE Capacità di cogliere le informazioni rilevanti e di comprenderne le relazioni quantitative. La comprensione del testo del problema NON può essere una comprensione verbale ma deve essere una comprensione matematica!

11. Marco ha 3 biglie più di Andrea e 7 meno di Giulio che ne ha 11. Che cos’è? E’ un problema? NO! Questa è una storiella, ma noi siamo abituati ad approcciare con il verbale e cominciamo ad attivare tutte le nostre conoscenze pregresse su questo tipo di esercizio. Manca l’elemento distintivo che dà la grammatica al problema matematico: la DOMANDA

12. Comprendere il problema significa capire la grammatica (ovvero la logica) imposta dalla domandaSe comprendo la grammatica del problema e non il verbale del testo sarò in grado di far partire il flusso di soluzionedel problema

13. RAPPRESENTAZIONE Capacità di raffigurarsi il problema mediante uno schema in grado di strutturare e integrare le informazioni. Da una rappresentazione figurativa (immagino i tre bambini) ad una rappresentazione più schematica (schema che meglio rappresenta il problema)

14. Attenzione! Non promuovere la rappresentazione verbale del problema (disegna le biglie) ma la rappresentazione produttiva del problema guidata dall’insight (i bambini disegnerebbero i tre bimbi che giocano) Guidare i bambini nella ricerca delle informazioni rilevanti = informazioni necessarie alla soluzione del problema = dati Non necessariamente numerici!

15. CATEGORIZZAZIONE Capacità di raggruppare i problemi che hanno medesime soluzioni sulla base della struttura profonda del testo (cerco di riconoscere una categoria generale alla quale il problema può appartenere).

16. PIANIFICAZIONE Abilità di costruzione del piano di soluzione: cerco la strada che mi può condurre alla soluzione. Come? Cercando la corretta sequenza di operazioni di calcolo capace di rispondere al mio schema (rappresentazione)

17. AUTOVALUTAZIONE Capacità di monitorare il proprio operato. Ha lo scopo di ricontrollare il flusso non tanto per verificare se la soluzione è giusta o sbagliata, quanto per esercitare e stabilizzare in memoria il processo di soluzione, perché non si tratta di abilità innate, ma vanno apprese!

18. Può accadere che solo alcune componenti siano deficitarie. Che fare: • Identificare la componente più debole • Esercitare la componente deficitaria non come aspetto a sé stante ma come all’interno del FLUSSO (allenare la componente debole dentro al flusso) • In fase di insegnamento forzare il flusso, senza automatizzarlo perché è una componente dinamica, non meccanica

19. SOLUTORI: NON ABILI ABILI PERCHE’?

20. Altre abilità cognitive coinvolte: • Memoria (memoria di lavoro) • Metacognizione • i solutori non abili non riescono a discriminare le informazioni rilevanti da quelle irrilevanti • ricordano maggiormente le informazioni irrilevanti del testo del problema e hanno difficoltà a mantenere e controllare le informazioni in memoria

21. Non ci sono disturbi specifici del problem solving, ma le difficoltà di soluzione dei problemi sono in relazione a problemi a carico delle abilità cognitive implicate nel processo

22. Cosa fare quindi per aiutare i bambini nella soluzione dei problemi? • Promuovere una didattica metacognitiva • Favorire la comprensione matematica del problema, senza sovraccaricare di informazioni verbali che affaticano l’esecutivo centrale (componente della ML deputata alla selezione delle informazioni rilevanti e all’inibizione di quelle irrilevanti) • Promuovere la soluzione dei problemi dentro al FLUSSO!

24. STRUTTURA DELLA BATTERIA • SOGGETTI: • strumento rivolto all’analisi delle difficoltà di soluzione di problemi matematici in soggetti dalla 3a elementarealla 3a media PROVE: batteria composta da 3 problemi per la 3a elementare 4 problemi dalla 3a elem. alla 3a media SOMMINISTRAZIONE: -   in uscita alla classe indicata o in entrata alla successiva es. prova di 5a: fine 5a (da maggio) inizio 1a media (entro ottobre) - individuale o collettiva -   non è una prova a tempo (consigliabile l’interruzione dopo un’ora e mezzo)

25. DESCRIZIONE DELLE PROVE • Ogni problema è scomposto nelle seguenti 5 componenti: • COMPRENSIONE • RAPPRESENTAZIONE • CATEGORIZZAZIONE • PIANIFICAZIONE • SVOLGIMENTO • AUTOVALUTAZIONE PROCEDURA: al soggetto si richiede di • leggere attentamente il problema • segnare la risposta corretta per le prime tre componenti • ordinare le fasi di soluzione • svolgere il problema • autovalutare la propria esecuzione

26. IL PROBLEMA PROBLEMA5.4 La nonna di Luisa ha 19 nipoti. La nonna di Gina ha 7 nipoti in meno della nonna di Luisa. La nonna di Carolina ha 1/3 del numero dei nipoti della nonna di Gina. Quanti nipoti hanno in tutto le 3 nonne? Classe elementare 5a

27. 1. COMPRENSIONE capacità di cogliere le informazioni rilevanti e di comprenderne le relazioni quantitative • COMPRENSIONE • Scegli la frase con le informazioni più importanti per la soluzione del problema: • La nonna di Carolina ha 1/3 del numero dei nipoti della nonna di Luisa. • La nonna di Gina ha 7 nipoti in meno della nonna di Luisa. • La nonna di Carolina ha 1/3 del numero dei nipoti della nonna di Gina, che a sua volta ha 7 nipoti in meno della nonna di Luisa. • Luisa, Gina e Carolina hanno una nonna. Classe elementare E P C I 5a

28. 2. RAPPRESENTAZIONE capacità di rappresentarsi le relazioni tra dati mediante uno schema/figura RAPPRESENTAZIONE Scegli, tra le vignette, quale rappresenta esattamente il problema: C P Classe elementare 5a

29. E I

30. 3. CATEGORIZZAZIONE capacità di riconoscere la struttura profonda del problema inibendo le informazioni superficiali • CATEGORIZZAZIONE • Quale dei seguenti problemi risolveresti come quello che stai eseguendo ora? • Mario ha percorso 21 chilometri in bicicletta. Piero invece ne ha percorso i 4/7. Quanti chilometri hanno percorso in tutto? • Stefano pesa 58 Kg. Mario pesava lo stesso, ma dopo che ha smesso di mangiare cioccolatini è calato di 2/8 del peso che aveva. Quanto pesa Mario? • la mia nonna ha 72 anni. La nonna di Giulio ne ha 68. Quanti anni avrà la nonna del cugino di Giulio? • Maria ha 12 anni, sua sorella ne ha 6 di più. Antonella invece ha 2/3 degli anni della sorella di Maria. Quanti anni hanno in tutto le tre bambine? Classe media P E IC 5a

31. 4. PIANIFICAZIONE capacità di individuare la sequenza di fasi che porta alla soluzione Classe media PIANO DI SOLUZIONE Prova a dire come risolveresti il problema, mettendo in ordine la sequenza, numerando le fasi dall’1 al 3: — Calcolo quanti nipoti ha la nonna di Carolina. — Calcolo quanti nipoti ha la nonna di Gina — Calcolo quanti nipoti hanno in tutto le tre nonne 5a 2 1 3

32. 5. AUTOVALUTAZIONE capacità di monitorare quanto eseguito Classe media • AUTOVALUTAZIONE • Indica quanto sei sicuro di aver eseguito correttamente il tuo piano di soluzione: • Sono certo di aver fatto giusto • Probabilmente ho fatto giusto • Probabilmente ho sbagliato • Sono certo di aver sbagliato 5a

33. ATTRIBUZIONE DEL PUNTEGGIO Punti • risposta irrilevante o omissione (I) • risposta errata (E) • Risposta parzialmente corretta (P) • Risposta corretta (C) • COMPRENSIONE • RAPPRESENTAZIONE • CATEGORIZZAZIONE da 0 a 3, 4, 5 o 6 n° di fasi correttamente ordinate se sbaglia il primo passaggio: 0 (non si prosegue) • PIANIFICAZIONE • SVOLGIMENTO • soluzione errata o problema non risolto • soluzione parzialmente corretta • procedura corretta con errore di calcolo • soluzione corretta

34. AUTOVALUTAZIONE

35. Luca 13 anni PROBLEMA 3.4 Calcola l’area della superficie totale di un cilindro sapendo che la somma del raggio con l’altezza misura 18 dm e che l’altezza è i 5/4 del raggio. Classe media • COMPRENSIONE • Scegli la risposta più importante per risolvere il problema: • In un cilindro l’altezza è i 4/5 del raggio. • Il raggio misura 18 dm e l’altezza è 5/4 del raggio. • Il cilindro è un solido con base circolare. • Il raggio e l’altezza insieme di un cilindro misurano 18 dm e l’altezza è 5/4 del raggio. 3a PEIC

36. PROBLEMA 3.4 RAPPRESENTAZIONE Scegli, tra gli schemi seguenti, quale rappresenta il problema: I P Classe media Misura della superficie totale 3a h = 5/4 di r r

37. PROBLEMA 3.4 C E h = 5/4 di r r Raggio + altezza = 18 dm Classe media 3a h = 5/4 del diametro Diametro

38. PROBLEMA 3.4 • CATEGORIZZAZIONE • Quale dei seguenti problemi risolveresti come quello che stai eseguendo ora? • In un solido regolare con entrambe le basi circolari se si sommano altezza e raggio si ottengono 35 dm. Si calcoli l’area della figura che si ottiene sviluppando il solido sapendo che il raggio è i 7/8 dell’altezza. • Il volume di un cilindro è di 345 cmc. Sapendo che l’altezza è mag- giore del raggio, calcola l’area della superficie totale del cilindro. • Il volume di un cilindro è.pari a 572 dmc; sapendo che il raggio misura 15 dm e l’alezza è i 7/5 del raggio si calcoli l’area della superficie totale del cilindro. • L’altezza di un cilindro misura 23 cm e il raggio misura 12 cm. Quale sarà l’area della superficie totale del cilindro? C I E P Classe media 3a

39. PROBLEMA3.4 PIANO DI SOLUZIONE Prova a dire come risolveresti il problema, mettendo in ordine la sequenza, numerando le fasi dall’1 al 5: _ Trovo l’area della superficie totale del cilindro. _ Trovo la circonferenza della base del cilindro. _ Trovo l’area della superficie esterna senza basi. _ Trovo la misura dell’altezza e del raggio. _ Trovo l’area delle basi. 5 3-2 4-3 1 2-3-4 5 1 4 2 3 Classe media 3a SVOLGIMENTO Esegui il problema. Non esegue il problema • AUTOVALUTAZIONE • Indica quanto sei sicuro di aver eseguito correttamente il tuo piano di soluzione: • Sono certo di aver fatto giusto • Probabilmente ho fatto giusto • Probabilmente ho sbagliato • Sono certo di aver sbagliato

40. Classe media SPM / SOLUZIONE DEI PROBLEMI MATEMATICI PROTOCOLLO DI VALUTAZIONE 3a Luca Cognome ________________ Nome ______________ Sesso  M  F Età ______ Data del test _________ Scuola __________________ Classe ______________ 13 anni COMPRENSIONE RAPPRESENTAZIONE CATEGORIZZAZIONE PIANIFICAZIONE SVOLGIMENTO AUTOVALUTAZIONE 3a media 31228 441110 21137 52007 32117 322310

42. 4 alternative di risposta I = RISPOSTA IRRILEVANTE riporta informazioni che, pur essendo presenti nel testo del problema, non servono per la soluzione E = RISPOSTA ERRATA riporta informazioni che, se utilizzate, portano a un risultato non corretto P = RISPOSTA PARZIALE riporta dati corretti, ma non completi per la soluzione C = RISPOSTA CORRETTA riporta tutti i dati utili per la soluzione