1 / 15

Relationer

Relationer. En relation mellem to mængder er en generaliseret funktion En funktion f: A  B kan opfattes som en mængde af ordnede (a, b), hvor der til ethvert a  A eksisterer netop ét b  B, så f(a) = b. Dvs. f er en delmængde af A  B, som opfylder ovenstående begrænsning

hope-gibbs
Download Presentation

Relationer

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Relationer En relation mellem to mængder er en generaliseret funktion En funktion f: A  B kan opfattes som en mængde af ordnede (a, b), hvor der til ethvert a  A eksisterer netop ét b  B, så f(a) = b. Dvs. f er en delmængde af A  B, som opfylder ovenstående begrænsning Denne definition kan generaliseres ved at fjerne begrænsningen og lade et element i A være relateret til 0 eller flere elementer i B og omvendt Relationer

  2. Definition af relationer • En relation R mellem mængderne A og B er en delmængde af A  B: R  A  B = {(a, b) A  B a A  b B} • Ofte kikker vi på relationer, hvor A = B og så taler vi om en relation på A Relationer

  3. Eksempler • a = b, hvor a A  b A: • ’=’ er en relation på A og vi kan skrive • ”(a, b) =” i stedet for ”a = b” • Generelt kan vi skrive • aRb i stedet for (a, b) R for en relation R på A. Relationer

  4. Relationer og grafer • En relation kan repræsenteres med en orienteret graf (digraph: directed graph). • Fx: A = {1, 2, 3, 4} R = {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2), (2,3),(2,4),(3,4),(4,1)} Relationer

  5. Ækvivalensrelationer • En relation R på en mængde A er en ækvivalensrelation, hvis den er: • Refleksiv: a A (aRa) • Symmetrisk: a, b A (aRb  bRa) • Transitiv: a, b, c A ((aRb  bRc)  aRc) Relationer

  6. Øvelse (5 min.) Undersøg, hvilke af følgende relationer på de naturlige tal N: • = b) > c)  Der er • Refleksive • Symmetriske • Transitive Relationer

  7. Øvelse • Og den her: • Refleksiv? • Symmetrisk? • Transitiv? A = {1, 2, 3, 4} R = {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2), (2,3),(2,4),(3,4),(4,1)} Relationer

  8. Eksempel: kongruensrelation på de naturlige tal Læses: Kongruent modulus 4 • Lad relationen ’4’ være defineret ved:a 4 b, hvis a-b er et multiplum af 4, hvor a{0, 1, 2, 3}eller præcist: (a 4 b) def (k  Z: (a - b)= k4) • Fx er {0, 4, 8, 12, 16, …} kongruente (modulus 4) • Er 4 en ækvivalensrelation? • Refleksiv? • Symmetrisk? • Transitiv? Relationer

  9. Klassedelinger (eng.: partition) • En klassedeling S1, S2,…, Sn af en mængde A er en samling af parvis disjunkte delmængder af A, hvis foreningsmængde er lig med A: A= (i| 1in: Si) hvor Si A og Si Sj = Ø for alle 1  i, j  n Relationer

  10. Klassedelinger og ækvivalensrelationer • En klassedeling af en mængde A definerer en ækvivalensrelation E på A, idet vi kan definere E: aEb ”a og b tilhører samme klasse” Bevis: Først vises, at E er en ækvivalensrelation: 1) Refleksive? 2) Symmetrisk? 3) Transitiv?(Tænk på klasserne som ”spande”) Relationer

  11. Bevis – fortsatNu skal vi vise, at en ækvivalensrelation definerer en klassedeling: • Lad [a]E betegne {x A xEa}, vi kalder [a]E ækvivalensklassen indeholdende a • Vi skal nu vise, at mængderne [a]E for a A er en klassedeling, dvs. • at foreningsmængden af alle ækvivalensklasserne er lig med A • at ækvivalensklasserne er parvis disjunkte Ad 1: Vi skal vise, at ethvert element i A tilhører én af ækvivalensklasserne. Følger trivielt af definitionen af [a]E Ad 2: Øvelse (se Martin, s. 17) Relationer

  12. Relationer mellem n>2 mængder • En relation kan også defineres mellem mere end én eller to mængder:Givet mængder A1, A2, …, An. En relation mellem disse er da defineret som en delmængde af det kartetiske produkt mellem disse: R A1 A2  …  An eller R {(a1, a2, …,an)  a1 A1 a2  A2  …  an  An} • En relation mellem n mængder er en mængde af n-tupler (et ordnet par er en 2-tuple, så en n-tuple er et ordnet ”par” med n elementer) Relationer

  13. Databaser som relationer • En databasetabel kan ses, som en relation mellem de domæner, som tabellen er defineret over: • Hermed kan en database opfattes som en mængde af relationer, hvor en relation er en mængde af tupler. Relationer

  14. Egenskaber ved relationer: Følger af, at en relation er en mængde i matematisk forstand: • der ingen tuple, som optræder mere end en gang ( => der eksisterer altid en primærnøgle) • tuplerne er uordnede (vertikalt) • attributterne er uordnede (horisontalt) BEMÆRK FORSKELLE TIL TABELLER Afhænger af den præcise definition af mængdeprodukt Relationer

  15. Fordele • Relationsdatabaser er baseret på en solid matematisk teori, hvilket muliggør, at man ræsonnere formelt om relationsdatabaser: • Forespørgselssprog (relationsalgebra/prædikatslogik). • Query-optimering (vise ækvivalens mellem forskellige forespørgsler). • Normalisering (redundans undgås, og integritet kan sikres). • Automatiske værktøjer. • Mmm. Relationer

More Related