Dane INFORMACYJNE

2. Dane INFORMACYJNE • Nazwa szkoły: • Gimnazjum im. Królowej Jadwigi w Zagórowie • ID grupy: 98/74_MF_G2 • Opiekun: mgr Agnieszka Ławniczak • Kompetencja: matematyczno-fizyczna • Temat projektowy: • „Potęgi w służbie pozycyjnych systemów liczbowych” • Semestr/rok szkolny: 2011 / 2012 • Semestr V

3. Cele projektu • 1)Kształcenie biegłości w wykonywaniu obliczeń z zastosowaniem potęg, sprawności zamiany liczby na wykładniczą oraz potęgi o wykładnikach całkowitych ujemnych na odpowiednie potęgi o wykładnikach naturalnych. • 2)Kształcenie biegłości w zapisywaniu liczb w różnych systemach, wykonywaniu obliczeńwewnątrz systemu i konwertowania liczb pomiędzy systemami (system dziesiątkowy, dwójkowy,szesnastkowy). • 3)Wyrobienie nawyku samooceny swojej pracy oraz współodpowiedzialności za grupowe zadanie

4. Spis treści • Potęgi 1. Potęga i potęgowanie 2. Własności działań na potęgach 3. Mnożenie potęg o jednakowych podstawach 4. Dzielenie potęg o jednakowym podstawach 5. Potęga potęgi 6. Mnożenie potęg o jednakowych wykładnikach 7. Dzielenie potęg o jednakowych wykładnikach 8. Potęga o wykładniku całkowitym ujemnym. 9. Potęga o wykładniku naturalnym i całkowitym 10. Zastosowanie potęg w matematyce

5. Notacja wykładnicza 1. Co to jest notacja wykładnicza? 2. Przykłady notacji wykładniczej 3. Notacja wykładnicza w świecie przyrody • Liczby rzymskie 1. Co to są liczby rzymskie? 2. Podstawowe liczby rzymskie 3. Zasady zapisu liczb w systemie rzymskim 4. Przykłady liczb rzymskich 5. Sposób zapisu liczb rzymskich 6. Odejmowanie w liczbach rzymskich 7. Dzisiejsze użycie liczb rzymskich 8. Ciekawostki dotyczące liczb rzymskich

6. Systemy liczbowe 1. System dziesiętny 2. Stosowanie systemu dziesiętnego 3. System dwójkowy 4. Zastosowanie systemu dwójkowego 5. System szesnastkowy 6. Przeliczanie systemu dwójkowego na dziesiętny 7. Przeliczanie systemu dziesiętnego na dwójkowy 8. Przeliczanie systemu szesnastkowego na dziesiętny • Liczby Liliputy1. Co to są liczby Liliputy? 2. Przedrostki małych liczb 3. Mikroskopijne organizmy 4. Małe liczby w świecie przyrody

7. Liczby Olbrzymy 1. Co to są liczby olbrzymy? 2. Liczby olbrzymy - tabela 3. Nazewnictwo dużych liczb w innych krajach 4. Przykłady dużych liczb • Liczby – ciekawostki • Podsumowanie • Bibliografia

8. POTĘGI

9. Potęga i potęgowanie Potęga jest skróconym sposobem zapisywania mnożenia jednakowych liczb. np. 7*7*= 73 . Potęgowanie to inaczej mnożenie przez siebie tych samych czynników określoną ilość razy.

10. Własności działań na potęgach • Dla każdej pary liczb rzeczywistych a i b oraz liczb naturalnych m i n dodatnich prawdziwe są wzory: a m ∙ a n = a m+n a m : a n = a m-n, dla a ≠ 0 i m>n(a m) n = a m ∙ na n ∙ b n = (ab) na n : b n = (a:b) n, dla b ≠ 0 a -n = (1:a) n, dla a ≠ 0

11. Mnożenie potęg o jednakowym podstawach. • 25*24=(2*2*2*2*2)*(2*2*2*2)= 29 • Iloczynpotęg o jednakowych podstawach jest równy potędze o tej samej podstawie i wykładniku równym sumie wykładników tych potęg.

12. Dzielenie potęg o jednakowym podstawach. • 54 :52=(5*5*5*5):(5*5)=52 • Iloraz potęg o jednakowych podstawach jest potęgą o tej samej podstawie i wykładniku równym różnicy wykładników.

13. Potęga potęgi (23)4=(2*2*2)*(2*2*2)*(2*2*2)*(2*2*2)= 212 Potęga potęgi jest potęgą o tej samej podstawie i wykładniku równym iloczynowi obu wykładników.

14. Mnożenie potęg o jednakowych wykładnikach. • 54*24=(5*5*5*5)*(2*2*2*2)=(5*2)*(5*2)*(5*2)*(5*2)=(5*2)4=104 • Iloczyn potęg o jednakowych wykładnikach jest równy potędze o tym samym wykładniku i podstawie równej iloczynowi podstaw.

15. Dzielenie potęg o jednakowych wykładnikach. • 46:26=(4*4*4*4*4*4):(2*2*2*2*2*2)= • (4:2)*(4:2)*(4:2)*(4:2)*(4:2)*(4:2)= • (4:2)6=26 • Iloraz potęg o jednakowych wykładnikach równy jest potędze o tym samym wykładniku i podstawie równej ilorazowi podstaw.

16. Potęga o wykładniku całkowitym ujemnym. (½)-5=25 Potęgę o wykładniku całkowitym ujemnym określa się odwrotnością podstawy i „zabraniu” minusa z wykładnika.

17. Potęga o wykładniku naturalnym i całkowitym Za pomocą potęg o wykładnikach naturalnych zapisuje się duże liczby, np.:- masa Ziemi wynosi 5,9736×1024 kg   - największa ryba świata- płetwal błękitny waży 1,2•105kg   Za pomocą potęg o wykładniku całkowitym ujemnym określamy bardzo małe liczby, np.:- masa najmniejszego ptaka - kolibra wynosi2•10-3 kg- masa atomu wodoru 1, 67•10-27 kg

18. Zastosowanie potęg w matematyce: tysiąc 10(3) - 1 000 milion 10(6) - 1 000 000 miliard10(9) - 1 000 000 000 bilion 10(12) - 1 000 000 000 000 biliard 10(15) - 1 000 000 000 000 000 trylion 10(18) - 1 000 000 000 000 000 000 tryliard10(21) - 1 000 000 000 000 000 000 000 kwadrylion 10(24) - 1 000 000 000 000 000 000 000 000 kwintylion 10(30) - 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 sekstylion 10(36) - 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 septylion 10(42) - 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 oktylion 10(48) - 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 

19. NOTACJA WYKŁADNICZA

20. Notacja wykładnicza Liczba zapisana w notacji wykładniczej jest iloczynem liczby większej lub równej 1 i mniejszej od 10 oraz potęgi liczby 10. a*10n1 ≤ a <10 Przykłady: 2370000=2,37*106 0,000000032=3,2*10-8

21. Sprawdź się! I spójrz, że to jest proste! (5 5) 5 = 55∙5 = 5 25(5 -1) 2 = 5 (-1)∙2 = 5 -2 = 1/25 3 2 ∙ 2 2 = (3∙2) 2= 62 =365 -2 ∙ 2 -2 = (5∙2) -2= 10-2 = (1/10)2 = 1/100 = 0,01 100 57 ∙ 0,01 57 = (100∙0,01) 57 = 1 57= 1 4 2 : 22 = (4:2) 2 = 22 = 42 -2 : 4 -2 = (2:4) -2 = (1/2) -2 = 22 = 4 100 5 : 0,01 5 = (100:0,01) 5 = 10000 5 = (10 4) 5 = 1020

22. Notacja wykładnicza w Świecie Przyrody masa wirusa grypy sezonowej: 0,0000000000000007 kg = 7*10-16 kg masa wirusa ospy: 0,000000000007 g = 7*10-12 g

23. Notacja wykładnicza w Świecie Przyrody Pyłek niezapominajki : 0,000 000000000 14 kg =14*10-14kg średnica tułowia ameby: 0,0062 m = 6,2*10-4 m

24. Notacja wykładnicza w Świecie Przyrody Ziemia składa się z około: 1052 atomów Ciało ludzkie składa się z około: 1028atomów

25. LICZBY RZYMSKIE

26. Liczby rzymskie System rzymski zapisywania liczb wykorzystuje cyfry pochodnia etruskiego, które Rzymianie przejęli i zmodyfikowali ok.500 p.n.e. Nadaje się on, co prawda, do wygodnego zapisywania liczb, jest jednak niewygodny w prowadzeniu nawet prostych działań arytmetycznych, oraz nie pozwala na zapis ułamków.

27. Podstawowe liczby rzymskie Liczba zero Liczba zero nie posiada własnego znaku w systemie rzymskim, gdyż "nic" nie było powszechnie uważane za wartość liczby. Wartość 0,5 jest reprezentowana przez znak S 

28. ZASADY ZAPISU LICZB W SYSTEMIE RZYMSKIM 1. Obok siebie mogą stać maksymalnie 3 jednakowe znaki spośród: I, X, C, M. 2. Nie można powtarzać obok siebie znaków: V, L, D. 3. Znak I może występować tylko przed V, X. 4. Znak X może stać tylko przed L, C. 5. Znak C może występować tylko przed D, M. 6. Znaki I, X, C poprzedzające znaki większe mogą występować tylko jeden raz.

29. Przykłady liczb rzymskich • Bitwa pod Grunwaldem – 1410r. – MCDX • Bitwa pod Racławicami - 1794r. – MDCCXCIV • Rozpoczęcie drugiej Wojny Światowej – 1939r. – MCMXXXIX • Obrady okrągłego stołu – 1989r. - MCMCXXXIX W powyższych historycznych datach ukazane są wszystkie zasady zapisu liczb w systemie rzymskim.

30. Sposób zapisu liczb rzymskich Nie istnieją znaki dla liczb większych od 1000, choć można zapisywać większe liczby poprzez zapisanie liczby mniejszej 100 razy i umieszczenie jej między '|' np.: |MD| = 1500 * 100 = 150 000 |XL| = 40 * 100 = 4000 (zamiast MMMM) Innym znakiem pełniącym podobną funkcję jest nakreślenie oznaczające pomnożenie przez 1000 np.: XL  = 40 * 1000 = 40 000

31. Odejmowanie w liczbach rzymskich Odejmowanie przy zapisywaniu cyframi rzymskimi jak przy zapisie IV czy IX albo XC nie było popularne w zapisie stosowanym przez Rzymian, a upowszechniło się dopiero w średniowieczu. Obecnie przyjęte jest użycie odejmowania w zapisie liczb: IX = 9 XL = 40 XC = 90 CM = 900

32. Dzisiejsze użycie liczb rzymskich • W Polsce zapisuje się cyframi rzymskimi: numery liceów (ale nie szkół podstawowych i gimnazjów), numery klas i lat studiów, wieki, tomy dzieł, numery pięter, wydziałów w instytucjach. Zwyczajowo zapisuje się czasami również: miesiące, rok powstania budowli (na ich frontonach) oraz numeruje rozmaite grupy klasyfikacyjne (szczególnie na ich wyższych poziomach). • Cyfry rzymskie powszechnie stosuje się również w numeracji stuleci (np. XIX wiek — nie dotyczy to tradycji anglosaskiej, gdzie powszechnie stosuje się cyfry arabskie), w imionach władców i papieży (np. Jan Paweł II), nazwach wydarzeń historycznych (II wojna światowa).

33. Ciekawostki dotyczące liczb rzymskich • Rzymianie do zapisywania liczb poza siedmioma, które przetrwały do dziś, używali dodatkowo ligatur ↁ oznaczający 5000, oraz ↂ oznaczający 10000. Dodatkowo stosowano notację pozwalającą zapisywać większe liczby. Wpisanie liczby pomiędzy dwa znaki | oznaczało liczbę stukrotnie większą, a umieszczenie poziomej kreski nad liczbą oznaczało mnożenie przez 1000. • John Wallis w 1655 roku zaproponował użycie symbolu ↀ, oznaczającego 1000, do oznaczania nieskończoności; później dla wygody ten symbol został zniekształcony do znaku ∞, i od tej pory jest on stosowany w tym właśnie znaczeniu.

34. SYSTEMY LICZB

35. System Dziesiętny Dziesiętny system liczbowy, zwany też systemem decymalnym lub arabskim to pozycyjny system liczbowy, w którym podstawą pozycji są kolejne potęgi liczby 10. Do zapisu liczb potrzebne jest więc w nim 10 cyfr: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Jak w każdym pozycyjnym systemie liczbowym, liczby zapisuje się tu jako ciąg cyfr, z których każda jest mnożnikiem kolejnej potęgi liczby stanowiącej podstawę systemu. Na przykład zapis 4078,3 wynika z: 4*103+0*102+7*101+8*100+3*101=4000+0+70+8+0,7=4078,3

36. Stosowanie systemu dziesiętnego • Pozycyjny, dziesiętny system liczbowy jest obecnie na świecie podstawowym systemem stosowanym niemal we wszystkich krajach. Oryginalnie pochodzi on z Indii, z których przedostał się do Europy za pośrednictwem Arabów. Stosowano go obok systemu rzymskiego. W końcu, dzięki praktycznym zaletom system rzymski został prawie zupełnie wyparty na korzyść arabskiego.

37. System Dwójkowy Dwójkowy system liczbowy (inaczej: system binarny) – system liczbowy, w którym podstawą jest liczba 2. Do zapisu liczb potrzebne są więc tylko dwie cyfry: 0 i 1. Jak w każdym pozycyjnym systemie liczbowym, liczby zapisuje się tu jako ciągi cyfr, z których każda jest mnożnikiem kolejnej potęgi podstawy systemu. Np. liczba zapisana w dziesiętnym systemie liczbowym jako 10, w systemie dwójkowym przybiera postać 1010, gdyż: 1*23+0*22+1*21+0*100=2+8=10 Tabela przedstawiająca pierwsze 10 liczb w systemie dwójkowym:

38. Zastosowanie systemu dwójkowego • Powszechnie używany w elektronice cyfrowej, gdzie minimalizacja liczby stanów (do dwóch) pozwala na prostą implementację sprzętową odpowiadającą zazwyczaj stanom wyłączony i włączony oraz zminimalizowanie przekłamań danych. Co za tym idzie, przyjął się też w informatyce.

39. System szesnastkowy Szesnastkowy system liczbowy – pozycyjny system liczbowy, w którym podstawą jest liczba 16. Do zapisu liczb w tym systemie potrzebne jest szesnaście cyfr.W najpowszechniejszym standardzie poza cyframi dziesiętnymi od 0 do 9 używa się pierwszych sześciu liter alfabetu łacińskiego: A, B, C, D, E, F (wielkich lub małych). Cyfry 0-9 mają te same wartości co w systemie dziesiętnym, natomiast litery odpowiadają następującym wartościom: A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14 oraz F = 15.

40. System szesnastkowy • Jak w każdym pozycyjnym systemie liczbowym, liczby zapisuje się tu jako ciągi znaków, z których każdy jest mnożnikiem kolejnej potęgi liczby stanowiącej podstawę systemu. Np. liczba zapisana w dziesiętnym systemie liczbowym jako 1000, w systemie szesnastkowym przybiera postać 3E8, gdyż: • 3*162+14*161+8*160=768+224+8=1000

41. Przeliczanie systemu dwójkowego na dziesiętny Zapisujemy liczbę w systemie dwójkowym np. : 0 1 1 0 0 0 1 0 Nad każdą cyfrą zapisujemy odpowiednią potęgę liczby 2 np. : 128 64 32 16 8 4 2 1 __0__1__1__0_0_0_1_0 Następnie poniżej wpisujemy składniki powstałe w wyniku mnożenia potęgi 2 i liczby poniżej. W skrócie: przepisujemy tylko te potęgi pod którymi jest 1 a następnie je dodajemy: 64+32+2=98 Liczba 98 jest otrzymaną liczbą w systemie dziesiątkowym.

42. Przeliczanie systemu dziesiętnego na dwójkowy Zapisujemy liczbę dziesiętną i obok niej pionową kreskę. Następnie dzielimy ją przez 2 i poniżej zapisujemy wynik, ale jeżeli z dzielenia wychodzi reszta to po prawej stronie kreski zapisujemy 1 jeżeli liczba dzieli się bez reszty wpisujemy 0 np.: 134|0 67|1 33|1 16|0 8|0 4|0 2|0 1|1 Następnie od dołu przepisujemy reszty: 10000110 Otrzymany wynik jest liczbą w systemie binarnym (dwójkowym).

43. Przeliczanie systemu szesnastkowego na dziesiętny Pod pierwszą z cyfr wpisujemy jej wartość dziesiętną i mnożymy ją przez 161. Pod drugą cyfrą wpisujemy jej wartość dziesiętną i mnożymy przez 160, czyli 1. Następnie je dodajemy np.: AD A=10 D=13 10*16+13*1=160+13=173 Otrzymujemy liczbę w systemie dziesiętnym.

44. LICZBA LILIPUT = SUPERLILIPUT

45. Co to są liczby liliputy? • Liliputy to bardzo małe liczby. Są one tak małe, że trudno je sobie wyobrazić. • Takimi liczbami są na przykład: • wielkość ładunku elektrycznego- 0,000 000 000 000 000 000 16 C (kulomba), • masa protonu 0,000 000 000 000 000 000 000 000 001 672 6 kg

46. Przedrostki małych liczb

47. Mikroskopijne organizmy Pantofelki osiągają rozmiar od 120 μm do 350 μm. Neutrino, cząstka elementarna, osiągająca rozmiar 10-24m Najmniejszy ssak, ryjówka etruska,osiąga rozmiary 6cm.

48. MAŁE LICZBY W ŚWIECIE PRZYRODY masa pszczoły 0,0001kg = 10⁻⁴ kg komar waży 0,000 001 5 kg, czyli jest to 15*10-7kg masa najmniejszego ptaka kolibra wynosi 2*10-3kg

49. LICZBA OLBRZYM =HIPERKOLOS

50. CO TO SĄ LICZBY OLBRZYMY ? • Z liczbami-olbrzymami spotykamy się nie tylko w obliczeniach naukowych, bajkach, legendach, ale i w przyrodzie, zarówno w mikroświecie, w świecie atomów, jak i w makroświecie, w kosmosie, w świecie galaktyk. Liczba fizyczna jest wynikiem porównania jakiejś wielkości z inną przyjętą za jednostkę miary. Nasze ludzkie jednostki są zbyt duże w świecie atomów, a zbyt małe w świecie galaktyk. Człowiek stoi więc na granicy dwu światów: "nieskończenie" małego i "nieskończenie" wielkiego.