MODELES DE LA COURBE DES TAUX D’INTERET ENSAE - DEA MASE Université Paris IX Dauphine Séance 2

1. MODELES DE LA COURBE DES TAUX D’INTERETENSAE - DEA MASE Université Paris IX DauphineSéance 2 Philippe PRIAULET HSBC-CCF

2. Plan de la Séance • Les modèles de reconstitution de la courbe des taux • Introduction, Rappels et Notations • La courbe d’Etat Sélection des paniers Méthode théorique directe et bootstrapping Différents types d’interpolation Méthodes indirectes: modèle de Nelson et Siegel, splines cubiques et exponentielles • La courbe interbancaire • Les courbes «corporate» • Exemple d’application: l’analyse rich/cheap • voir MP p. 19 à 34 et 167 à 178

3. Introduction Cette séance a pour but la reconstitution de la courbe des taux zéro-coupon au comptant («spot»). Connaître la courbe des taux zéro-coupon au comptant est très important en pratique car cela permet aux acteurs du marché: - d’évaluer et de couvrir à la date de reconstitution les produits de taux délivrant des flux futurs connus (obligation à taux fixe, par exemple) => certaines applications comme l’analyse «rich and cheap» (bond picking) qui consiste à détecter les produits sur-et sous-évalués par le marché pour tenter d’en tirer profit.

4. Introduction (2) - de dériver les autres courbes implicites: la courbe des taux forward, la courbe des taux de rendement au pair et la courbe des taux de rendement instantanés. - enfin, la courbe spot est le point de de départ pour la mise en place de modèles stochastiques de déformation de cette courbe dans le temps.

5. Introduction (3) La reconstitution de cette courbe est rendue nécessaire par le fait qu’il n’existe pas suffisamment d’obligation zéro-coupon («strips») cotées sur le marché. Par conséquent, il n’est pas possible d’obtenir les taux zéro-coupon pour un continuum de maturité. En outre, les obligations zéro-coupon ont souvent une moindre liquidité que les obligations à coupons. • :

6. Introduction (4) Nous allons distinguer trois grands types de courbe de taux zéro-coupon: - la courbe Trésor (ou courbe d’Etat). - la courbe interbancaire - et les courbes «corporate» La courbe Trésor est construite à partir des obligations émises par l’Etat (OAT, BTAN et BTF en France). Il s’agit de la courbe dite sans risque dans les pays du G7 dans la mesure où les Etats de ces pays sont censés ne jamais faire défaut. Les Etats de ces pays sont notés AAA par les agences de rating, i.e. disposent de la meilleure notation possible. • :

7. Introduction (5) La courbe interbancaire comme son nom l’indique résulte d’opérations financières entre banques. Elle est construite à partir des taux de dépôt, des futures et des swaps. Il ne s’agit pas d’une courbe sans risque puisque les banques ne jouissent pas du meilleur rating des agences de notations. Leur rating moyen se situe entre A et AA pour S&P et A1 et Aa1 pour Moody’s. Les courbes «corporate» sont les courbes qui caractérisent les entreprises du secteur privé. Il y en a de multiples qui dépendent du rating des entreprises et de leur secteur économique. On peut par exemple tracer: - la courbe des taux zéro-coupon des entreprises disposant du rating A • :

8. Introduction (6) - la courbe des taux zéro-coupon des entreprises du secteur Télécom disposant du rating BB - la courbe des taux zéro-coupon de France Telecom Chacune de ces courbes est construite en utilisant les obligations des entreprises concernées. On verra qu ’il est courant de construire la courbe des spreads «corporate». Elle est obtenue en soustrayant la courbe Trésor ou interbancaire à la courbe «corporate». • :

9. Introduction (7) Rappel de l’échelle des ratings Moody’s et S&P • :

10. Introduction (8) Rappels et notations Définition du taux zéro-coupon Il est implicitement défini dans la relation suivante: où: - B(0,t): prix de marché à la date 0 d’une obligation zéro-coupon délivrant 1 euro à la date t. On appelle aussi B(0,t), le facteur d’actualisation en 0 pour la maturité t. - R(0,t): taux de rendement en 0 de l’obligation zéro-coupon délivrant 1 euro en t. R(0,t) est aussi le taux zéro-coupon en 0 de maturité t. • :

11. Introduction (9) Rappels et notations • Evaluation d’obligations à flux connus • Le prix V de l’obligation à la date t s’écrit donc plus justement • Exemple 1:Soit l’obligation de montant nominal 100$, de maturité 3 ans et de taux de coupon 10%. • Les taux zéro-coupon à 1 an, 2 ans et 3 ans sont de 7%, 9% et 10%. Le prix P de l’obligation est égal à

12. La courbe d’Etat Sélection des titres • Elle est construite à partir d’obligations d’Etat. • Il est important de faire une sélection rigoureuse des titres qui servent à la reconstitution. Il faut éliminer: • - les titres qui présentent des clauses optionnelles car la présence d’options rend le prix de ces titres non homogènes avec ceux qui n’en contiennent pas. • - les titres qui présentent des erreurs de prix, typiquement dues à des erreurs de saisie. • - les titres qui sont soit illiquides, soit surliquides, et présentent donc des prix qui ne sont pas dans le marché. • Il ne faut pas tracer la courbe des taux sur des segments de maturité où l’on ne dispose pas de titres. Par exemple, ne pas tracer la courbe sur le segment [20-30 ans] si l’on ne dispose pas de titres de maturités supérieures à 20 ans dans le panier.

13. La courbe d’Etat La méthode théorique de reconstitution • Elles permettent de déduire directement les taux zéro-coupon des obligations à coupons. Elles requièrent les deux conditions suivantes: • - elles ont les mêmes dates de tombée de coupon • - elles ont des maturités multiples de la fréquence de tombée des coupons. • Cette méthode n’est que théorique car dans la pratique il est très rare de pouvoir trouver un échantillon d’obligations ayant ces deux caractéristiques.

14. La courbe d’Etat La méthode théorique de reconstitution (2) • Notations et résolution • Pt =(Pt1, Pt2,....., Ptn)T le vecteur des prix à l’instant t des n obligations à coupons du panier • F = (Fti(j))i=1,...,n, j=1,...,n la matrice n x n correspondant aux flux des n titres. Les dates de tombées des flux sont identiques pour tous les titres. • Bt =(B(t,t1), B(t,t2), ,....., B(t,tn))T le vecteur des facteurs d’actualisation • Par AOA, on obtient le vecteur des facteurs d’actualisation • Pt = F . Bt soit Bt = F-1 . Pt car F est inversible

15. La courbe d’Etat La méthode théorique de reconstitution (3) • On extrait le vecteur des taux zéro-coupon à l’aide de la relation • Si l’on souhaite utiliser des taux continus, on utilise alors

16. La courbe d’Etat La méthode théorique de reconstitution (4) • Exemple • On obtient le système d’équation suivant: • 101 = 105 B(0,1) • 101.5 = 5.5 B(0,1) + 105.5 B(0,2) • 99 = 5 B(0,1) + 5 B(0,2) + 105 B(0,3) • 100 = 6 B(0,1) + 6 B(0,2) + 6 B(0,3) + 106 B(0,4) • soit B(0,1)=0.9619, B(0,2)=0.9119, B(0,3)=0.8536, B(0,4)= 0.7890 • et R(0,1)=3.96%, R(0,2)=4.717%, R(0,3)=5,417%, R(0,4)=6,103% Coupon Maturité (années) Prix Titre 1 5 1 101 Titre 2 5.5 2 101.5 Titre 3 5 3 99 Titre 4 6 4 100

17. La courbe d’Etat La méthode du bootstrap • Il s’agit d’une procédure en plusieurs étapes qui permet de reconstituer une courbe zéro-coupon au comptant «pas à pas» i.e. segment par segment de maturité. • 1- Pour le segment de la courbe inférieur à 1 an: • Extraction des taux zéro-coupon grâce aux prix des titres zéro-coupon cotés sur le marché puis obtention d’une courbe continue par interpolation linéaire ou cubique (voir plus loin).

18. La courbe d’Etat La méthode du bootstrap (2) • 2- Pour le segment de la courbe allant de 1 an à 2 ans: • Parmi les obligations de maturité comprise entre 1 an et 2 ans, on choisit l’obligation à l’échéance la plus rapprochée. Ce titre verse deux flux. Le facteur d’actualisation du premier flux est connu grâce à l ’étape 1. Le facteur d’actualisation du second flux est solution de l’équation non linéaire • P = C B(0, t1) + (100 + C) B(0, t2) avec t1 <= 1 et 1< t2 <= 2 • On obtient alors un premier point de courbe sur ce segment. • On réitère alors le même procédé avec l’obligation de maturité immédiatement supérieure mais toujours inférieure à 2 ans.

19. La courbe d’Etat La méthode du bootstrap (3) • 3- Pour le segment de la courbe allant de 2 ans à 3 ans: • On réitère l’opération précédente à partir des titres ayant une maturité comprise entre 2 ans et 3 ans. • ...etc...

20. La courbe d’Etat La méthode du bootstrap (4) • Exemple de Bootstrap • Taux à 1 an et 2 mois • soit 5.41% • Taux à 1 an et 9 mois • soit 5.69%

21. La courbe d’Etat La méthode du bootstrap (5) • Exemple de Bootstrap (2) • Taux à 2 ans • soit 5.79% • Taux à 3 ans • soit 5.91% • On obtient le tracé de courbe suivant pour les maturités comprises entre 1 jour et 3 ans, en supposant que l’on raccorde linéairement l’ensemble des points.

22. La courbe d’Etat La méthode du bootstrap (6)

23. La courbe d’Etat Les différents types d’interpolation • Quand on utilise la méthode théorique directe ou le bootstrap, il est nécessaire de choisir une méthode d’interpolation entre deux points. • Deux sont particulièrement utilisées: les interpolations linéaire et cubique. • Interpolation linéaire: • On connaît les taux zero-coupon de maturités t1 et t2. On souhaite interpoler le taux de maturité t avec t1< t <t2 • Exemple: R(0,3) =5.5% et R(0,4)=6%

24. La courbe d’Etat Les différents types d’interpolation (2) • Interpolation cubique: • On procède à une interpolation cubique par segment de courbes. On définit un premier segment entre t1 et t4 où l’on dispose de 4 taux R(0, t1), R(0, t2), R(0, t3), R(0, t4). • Le taux R(0, t) de maturité t est défini par • sous la contrainte que la courbe passe par les quatre points de marché R(0, t1), R(0, t2), R(0, t3), R(0, t4). D’où le système à résoudre:

25. La courbe d’Etat Les différents types d’interpolation (3) • Exemple • On se donne les taux suivants : • R(0, t1) = 4%, R(0, t2) =5%, R(0, t3) = 5.5% et R(0, t4) = 6% • Calculer le taux de maturité 2.5 ans ? • R(0, 2.5) = a x 2.53 + b x 2.52 + c x 2.51 + d = 5.34375% • avec

26. La courbe d’Etat Les différents types d’interpolation (4) • Comparaison des deux interpolations 6.50% Linéaire Cubique 6.00% 5.50% 5.00% Taux 4.50% 4.00% 3.50% 3.00% 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 Maturité

27. La courbe d’Etat Les méthodes indirectes • Ce sont les méthodes les plus utilisées en pratique • Principe: Pour un panier d’obligations à coupons, il s’agit de la minimisation de l’écart au carré entre les prix de marché et les prix reconstitués à l ’aide d’une forme a priori spécifiée des taux zéro-coupon ou de la fonction d’actualisation. • Soit un panier constitué de n titres. On note à la date t: • : prix de marché du j-ème titre. • : prix théorique du j-ème titre • : flux futur du j-ème titre tombant à la date s (s > t)

28. La courbe d’Etat Les méthodes indirectes (2) • L’idée consiste à trouver le vecteur des paramètres tel que • On distingue deux grandes classes de modèles: • - les modèles type Nelson et Siegel fondés sur une modélisation des taux zéro-coupon (cf MP 28 à 34). Le prix théorique s’écrit: • g est la fonctionnelle des taux zéro-coupon. Le prix de l’obligation est une fonction non linéaire des paramètres d’estimation. La résolution d’un tel problème s’effectue à l’aide d’un algorithme de Newton modifié (cf MP p. 172 à 175).

29. La courbe d’Etat Les méthodes indirectes (3) • - les modèles à splines fondés sur une modélisation de la fonction d’actualisation. • f est une fonction linéaire des paramètres d’estimation. Par conséquent, le prix de l’obligation est également une fonction linéaire des paramètres d’estimation La résolution d’un tel problème est donc matricielle. • Cf MP p. 19 à 28 et p. 167 à 172

30. La courbe d’Etat Les méthodes indirectes (4) • Le modèle de Nelson et Siegel (1987) • La fonctionnelle imaginée par Nelson et Siegel s’écrit : • : taux zéro-coupon de maturité  • 0: facteur de niveau; il s ’agit du taux long. • 1: facteur de rotation; il s’agit de l’écart entre le taux court et le taux long • 2: facteur de courbure • : paramètre d’échelle destiné à rester fixe au cours du temps

31. La courbe d’Etat Les méthodes indirectes (5) • Le modèle de Nelson et Siegel (2) • Il est aisé d’exprimer les dérivées partielles de par rapport à chacun des paramètres béta, ce que l’on appelle les sensibilités des taux zéro-coupon aux paramètres béta (cf graphique suivant). • Ces sensibilités sont très proches de celles que l’on obtient historiquement en appliquant la méthode de l’ACP aux taux zéro-coupon. • On retrouve bien les facteurs de niveau, pente et courbure.

32. La courbe d’Etat Les méthodes indirectes (6)

33. La courbe d’Etat Les méthodes indirectes (7) • Effets de pente et courbure dans le modèle de Nelson et Siegel • Pour illustrer les effets de pente et courbure, nous allons d’abord tracer une courbe croissante classique en retenant le choix de paramètres suivant: • 0 = 7% • 1 = -2% • 2 = 1% •  = 3.33 • Puis nous allons faire varier isolément chacun des paramètres 1 et 2 entre -6% et 6%.

34. La courbe d’Etat Les méthodes indirectes (8) • La courbe de départ

35. La courbe d’Etat Les méthodes indirectes (9) • Effet de pente dans le modèle de Nelson et Siegel

36. La courbe d’Etat Les méthodes indirectes (10) • Effet de courbure dans le modèle de Nelson et Siegel

37. La courbe d’Etat Les méthodes indirectes (11) • Les formes de courbe possibles dans le modèle de Nelson et Siegel

38. La courbe d’Etat Les méthodes indirectes (12) • Exemple d’évolution des paramètres dans le modèle de Nelson et Siegel (France - 1999 et 2000)

39. La courbe d’Etat Les méthodes indirectes (13) • Inconvénients du modèle de Nelson et Siegel • Le modèle de Nelson et Siegel ne permet pas de reconstituer toutes les formes de courbes de taux que l’on peut rencontrer sur le marché, en particulier les formes à une bosse et un creux (voir slide suivante). • En outre, il manque de souplesse d’ajustement pour les maturités supérieures à 7 ans si bien que les obligations de telles maturités sont parfois mal évaluées par le modèle. • Le premier inconvénient peut être levé en utilisant le modèle de Svensson ou modèle de Nelson-Siegel augmenté.

40. La courbe d’Etat Les méthodes indirectes (14) • Forme de courbe à une bosse et un creux

41. La courbe d’Etat Les méthodes indirectes (15) • Le modèle de Nelson et Siegel augmenté • La fonctionnelle s’écrit maintenant : • 3 : paramètre de courbure supplémentaire qui a surtout une influence sur la partie courte de la courbe • 2 : paramètre d’échelle • Cette extension donne plus de flexibilité à la courbe sur le secteur court terme.

42. La courbe d’Etat Les méthodes indirectes (16) • Effet de courbure donné par3

43. La courbe d’Etat Les méthodes indirectes (17) • Les autres modèles • 1- La fonctionnelle des taux zéro-coupon dans le modèle stochastique de Vasicek (1977): • Elle est obtenue en modélisant le taux court sous la forme (voir séances suivantes pour une description complète du modèle) • 2- Vasicek augmenté 1 (très proche de Nelson et Siegel)

44. La courbe d’Etat Les méthodes indirectes (18) • Les autres modèles (2) • 3- Vasicek augmenté 2 (très proche de Nelson-Siegel augmenté) • 4- Fonctionnelle CIR et bien d’autres encore

45. La courbe d’Etat Les méthodes indirectes (19) • Exemples de reconstitution Voir polycopié intitulé «Séance 2 - Illustrations» pages 6 à 12

46. La courbe d’Etat Les méthodes indirectes (20) • Conclusion sur les modèles de type Nelson et Siegel • Le reproche souvent formulé à l’encontre de cette classe de modèles est leur insuffisante flexibilité. En revanche les variables de ces modèles sont interprétables financièrement. • Cette classe de modèles est en pratique le plus souvent utilisée pour l’analyse et la couverture du risque de taux de portefeuilles à flux connus (cf séance 2). • Nous allons à présent aborder les modèles à splines qui sont beaucoup plus flexibles mais présentent au contraire des paramètres qui ne sont pas interprétables d’un point de vue financier.

47. La courbe d’Etat Les méthodes indirectes (21) • Les modèles à splines • Ils sont fondés sur une modélisation de la fonction d’actualisation. • Les plus célèbres sont les splines polynomiaux (cf Mc Culloch (1971,1975)) et les splines exponentielles (cf Vasicek et Fong (1982)). • Leur avantage tient à leur grande flexibilité qui leur permet de reconstruire toutes les formes de courbe rencontrées sur le marché. • Ils sont utilisés pour l’analyse «rich and cheap».

48. La courbe d’Etat Les méthodes indirectes (22) • Principe des modèles à splines • Il faut d ’abord faire le choix d’une forme spécifique pour la fonction d’actualisation f(s-t;ß). • La méthode consiste à estimer les paramètres en minimisant l’écart au carré entre prix de marché et prix reconstitués. • Rappelons que le prix théorique de la j-ème obligation s’écrit: • où B(t,t) = 1 constitue la contrainte de la minimisation • A une date t, on écrit: • où est la partie résiduelle non expliquée par le modèle.

49. La courbe d’Etat Les méthodes indirectes (23) • Principe des modèles à splines (2) • Les résidus vérifient les conditions suivantes: • - en moyenne, ils sont nuls: • - ils sont non corrélés entre eux: • - il y a deux hypothèses possibles pour la variance • * soit on la suppose constante auquel cas les résidus sont homoscédastiques • * soit elle varie pour chaque titre auquel cas les résidus sont hétéroscédastiques

50. La courbe d’Etat Les méthodes indirectes (24) • Principe des modèles à splines (3) • Quand on fait la première hypothèse, on constate que la partie courte de la courbe est mal estimée. Dans ce cas, le vecteur des paramètres est obtenu par la méthode des MCO sous contrainte. • L’idée est donc de retenir la deuxième hypothèse en donnant plus de poids dans la minimisation aux obligations de maturité courte. Une façon de procéder est de choisir un poids égal à la duration de l’obligation: