1 / 29

A korlátozott síkbeli háromtestprobléma

A korlátozott síkbeli háromtestprobléma. Newton II. axiómája. A test mozgásmennyiségének megváltozása arányos a rá ható erővel, és annak az egyenes vonalnak az irányában megy végbe, amelyben az erő hat. Ha a tömeg állandó az egyenlet F = m a –ra egyszerűsödik. A mozgásegyenlet megoldása.

hye
Download Presentation

A korlátozott síkbeli háromtestprobléma

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. A korlátozott síkbeli háromtestprobléma

  2. Newton II. axiómája • A test mozgásmennyiségének megváltozása arányos a rá ható erővel, és annak az egyenes vonalnak az irányában megy végbe, amelyben az erő hat. Ha a tömeg állandó az egyenlet F = ma –ra egyszerűsödik.

  3. A mozgásegyenlet megoldása Néhány egyszerű erőtörvény esetében a mozgásegyenlet analitikusan is megoldható Általában csak numerikusan Ha ismerjük az erőtörvényt, egy adott helyen és pillanatban kiszámítható a gyorsulás Ha a testnek gyorsulása van, akkor egy kis idő múlva megváltozik a sebessége Ha test mozog, egy kis idő múlva máshol lesz. Az új helyet és időpontot visszaírva az erőtörvénybe a mozgás nyomon követhető Numerikus módszerek pl.: Euler, leapfrogging (Feynman), Runge-Kutta

  4. Newton általános tömegvonzási törvénye Nem lineáris

  5. A kéttest probléma Határozzuk meg két, tömegpontnak tekinthető test mozgását, ha rájuk csak a Newton-féle kölcsönös gravitációs vonzóerő hat! A feladat megoldható (centrális erőtér => síkmozgás, megmaradó mennyiségek: energia és impulzusnyomaték)

  6. A háromtest probléma Határozzuk meg három, tömegpontnak tekinthető test mozgását, ha rájuk csak a Newton-féle kölcsönös gravitációs vonzóerő hat! (A több mint két évszázados kutató munka ellenére a lehetséges megoldások összességét ma sem ismerjük.)

  7. A korlátozott síkbeli háromtest probléma Határozzuk meg három, tömegpontnak tekinthető test mozgását, ha rájuk csak a Newton-féle kölcsönös gravitációs vonzóerő hat, az alábbi korlátozó feltételek mellett: • Két test körpályán kering a közös tömegközéppont körül. • A harmadik test • az előző kettő keringési síkjában mozog • tömege olyan kicsi, hogy az semmilyen hatást nem fejt ki a másik két testre

  8. Elrendezés és jelölések Együtt forgó vonatkoztatási rendszer

  9. Dimenziótlanítás* után Marad egy paraméter: * ld. pl. Tél Tamás - Guiz Márton: Kaotikus dinamika, Nemzeti Tankönyvkiadó Rt., Budapest, 2002., 285.-289. o.

  10. A forgó rendszer potenciáltere = 0,2

  11. Lagrange-pontok L1, L2 és L3 instabil (nyeregpontok), L4 és L5 stabil (egyenlő szárú háromszögek csúcspontjai)

  12. A potenciálteret kirajzoló Matlab kód % % Két, egymás körül körpályán mozgó tömeg közös potenciálja együtt forgó vonatkoztatási rendszerben % [x,y]=meshgrid(-2:0.01:2); mu2 = 0.2; % a kisebbik tömeg mu1 = 1 - mu2; s1 = sqrt((x + mu2).*(x + mu2) + y.*y); % a vonzócentrumoktól s2 = sqrt((x - mu1).*(x - mu1) + y.*y); % való távolságok for i=1:401 % a zéróval való osztás elkerülése for j=1:401 if s1(i,j)<0.01 s1(i,j)=0.01; end; if s2(i,j)<0.01 s2(i,j)=0.01; end; end end z=-mu1./s1-mu2./s2-(x.*x+y.*y)/2-mu1.*mu2/2; % a potenciál értéke for i=1:401 % a szintvonalak sûrûségének beállítása for j=1:401 if z(i,j) < -3 z(i,j) = -3; end; end end surfc(x,y,z),xlabel('x'),ylabel('y'),zlabel('z'); shading flat

  13. Futtatási eredmények • Rendszer: Nap – Jupiter ( = 0,001) • Az L1 pont energiája E1 = -1,5198 • Kaotikus tartományok jelennek meg, ha -1.55 < E < E1, ahol E a próbatest összenergiája • A következő futtatási eredmények az E = -1,525 értékre vonatkoznak

  14. #1: (x;y)=(0.2;0), (vx;vy) = (0;2.633211) • A kiszámított pontok száma: 2000x100 • Összenergia a számolás végén: -1,52422

  15. #2: (x;y)=(0.3;0), (vx;vy) = (0;1. 918786075) • A kiszámított pontok száma: 2000x100 • Összenergia a számolás végén: -1,52486

  16. #3: (x;y)=(0.4;0), (vx;vy) = (0;1. 44806) • A kiszámított pontok száma: 2000x100 • Összenergia a számolás végén: -1,52499

  17. #4: (x;y)=(0.5;0), (vx;vy) = (0;1. 092264) • A kiszámított pontok száma: 2000x50 • Összenergia a számolás végén: -1,52499

  18. #5: (x;y)=(0.6;0), (vx;vy) = (0;0. 800299944) • A kiszámított pontok száma: 2000x200 • Összenergia a számolás végén: -1, 52471

  19. #6: (x;y)=(0.7;0), (vx;vy) = (0;0. 545802162) • A kiszámított pontok száma: 2000x100 • Összenergia a számolás végén: -1,52500

  20. #7: (x;y)=(0.8;0), (vx;vy) = (0;0.30893365) • A kiszámított pontok száma: 2000x100 • Összenergia a számolás végén: - 1,52500

  21. #8: (x;y)=(0.85;0), (vx;vy) = (0;0. 186386695) • A kiszámított pontok száma: 2000x100 • Összenergia a számolás végén: - 1,52500

  22. A futtatások összesítése

  23. Néhány érdekes pályagörbe - 1 (x;y)=(0.499;0), (vx;vy) = (0;1.3) Összenergia= -1,28000

  24. Néhány érdekes pályagörbe - 2 (x;y)=(0.499;0), (vx;vy) = (1.4; 0.7) Összenergia= -0.90000

  25. Néhány érdekes pályagörbe - 3 (x;y)=(0.499;0), (vx;vy) = (0.2; 0.96) Összenergia= -1.64420

  26. Néhány érdekes pályagörbe - 4 (x;y)=(0.499;0), (vx;vy) = (0;1.16) Összenergia= -1.45220

  27. Néhány érdekes pályagörbe - 5 (x;y)=(0.499;0.8), (vx;vy) = (0; 0.2008) Összenergia= -1.48484

More Related