Königs uendelighedslemma

1. Königs uendelighedslemma Satz 6. Lad Π1, Π2, Π3, … være en tællelig uendelig følge af ikke-tomme, endelige, indbyrdes disjunkte punktmængder, og lad G være en graf med deres foreningsmængde som punktmængde. Hvis hvert punkt i Πn+1 har en nabo i Πn for alle n, så har G en en-vejs uendelig vej P1P2P3… , hvor Pn ligger i Πn for alle n.

2. Satz 1, 2 & 3 • Både punkt- og kantmængden i en sammenhængende, lokalt endelig graf er endelig eller tælleligt uendelig • En lokalt endelig graf består af sammenhængskomponenter, der hver har endeligt eller tælleligt uendeligt mange punkter og kanter • En sammenhængende, uendelig og lokalt endelig graf har en uendelig vej begyndende i et vilkårligt punkt

3. Anvendelser 1: stamtræer • Hvis menneskeheden ikke uddør, vil der være et nulevende menneske, der får en uendelig følge af efterkommere • Hvis menneskeheden ikke uddør, vil der være en nuværende kvinde, der får en uendelige følge af kvindelige efterkommere

4. Anvendelser 2: Heine-Borel • En delmængde af Rn er kompakt, hvis og kun hvis den er lukket og begrænset • Det lukkede interval [0,1] er kompakt • Flere beviser, der bruger lemmaet • König viser: Givet lukket delmængde E af [0,1] og overdækning I af E bestående af åbne intervaller. Så findes et n, så når [0,1] deles i 2n lige lange intervaller, vil ethvert af disse, der indeholder et punkt fra E, være indeholdt i et interval fra I

5. Anvendelser 3: van der Waerden • König viser, at følgende er ækvivalente: 1)Givet naturlige tal l og k. Så findes et N, så hvis {1, 2, … , N} deles i k dele, vil én af disse indeholde en aritmetisk progression af længde l 2)Givet naturlige tal l og k. Hvis de naturlige tal deles i k mængder, vil én af disse indeholde en aritmetisk progression af længde l

6. Ramsey’s Sætning for uendelige grafer • Givet en tælleligt uendelig komplet graf, hvis kanter er farvet med to farver. Så findes en uendelig komplet delgraf, hvis kanter alle har samme farve • Kan generaliseres til flere farver, og til farvning af delmængder af anden størrelse end 2

7. Stilen i endelig Ramsey-teori • Givet k og l, så findes et tal n, så enhver komplet graf Kn hvis kanter er farvet med to farver, rød og blå, enten indeholder en rød Kk eller en blå Kl • Diverse generalisationer

8. Checkliste fra Bondy & Murty 1 • Graf • Komplet graf Kn • Todelt graf, komplet todelt graf Km,n • Vej, kreds, længde af disse • Sammenhængende graf

9. Checkliste fortsat • Planar graf, plan graf • Summen af valenserne i en graf er …? • Isomorfi, automorfi • Kantgraf • Digraf