Razão e Proporção

1. Razão e Proporção Razão: é o quociente indicado (exato) entre dois números racionais, sendo que o segundo número é diferente de zero. Como você pode perceber, uma razão é representada por uma fração. No entanto, não deve ser lida como se fosse um número racional. Observe o quadro abaixo:

3. OS TERMOS DE UMA RAZÃO: O ANTECEDENTE E O CONSEQÜENTE Vamos considerar a notação . O que ela representa? A notação é um numeral (fração) que representa um número “três quintos”, onde 3 é o numerador, e 5, o denominador. Porém, é a representação também da razão “três para cinco”, onde 3 é o antecedente, e 5, o conseqüente.

4. RAZÕES EQUIVALENTES Ao multiplicar ou dividir os termos de uma razão por um mesmo número diferente de zero, obtém-se outra razão equivalente à primeira. Veja o exemplo:

5. PROPORÇÃO A proporção é uma igualdade entre duas ou mais razões. Quando temos a igualdade só de duas razões , chamamos essa igualdade de proporção simples. Se tivermos a igualdade de mais de duas razões , chamamos de proporção contínua.

6. Desta forma temos que:

7. Propriedade Fundamental A propriedade fundamental da proporção diz que o produto dos extremos é igual ao produto dos meios.

8. Exemplos: 1) Dois números estão na razão de 2 para 3. Acrescentando-se 2 a cada um, as somas estão na razão de 3 para 5. Então, o produto dos dois números é:       a) 90       b) 96       c) 180       d) 72       e) -124

9. Solução:

10. 2) Sabendo que x + y = 42, determine x e y na proporção .

11. 3) A soma da idade do pai e do filho é 45 anos. A idade do pai está para a idade do filho, assim como 7 está para 2. Determine a idade do pai e do filho.

13. Porcentagem Introdução: Utilizamos o cálculo de porcentagem constantemente no nosso cotidiano. Dois simples exemplos: 1) Uma loja lança uma promoção de 10% no preço dos seus produtos. Se uma mercadoria custa R$120,00, quanto a mercadoria passará a custar?

14. O desconto será de 10% do valor de R$120,00. Logo: Retiramos, portanto, R$12,00 de R$120,00: 120 - 12 = 108Passaremos a pagar, com a promoção, R$108,00.

15. 2) Uma sala de aula possui 100 alunos, sendo que 40% são meninas. Qual a quantidade de meninas e de meninos? quantidade de meninas será: E a de meninos será: 100 - 40 = 60.

16. Razão centesimal: Como o próprio nome já diz, é a fração cujo denominador é igual a 100. Exemplos: ( lê-se 10 por cento) (lê-se 150 por cento)

17. Definição de taxa porcentual ou porcentagem: As expressões 7%, 16% e 125% são chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais. Porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um determinado valor.

18. Exemplos: Calcular 10% de 300. Calcular 25% de 200kg.

19. Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 75 faltas, transformando em gols 8% dessas faltas. Quantos gols de falta esse jogador fez?

20. Exercícios Qual a razão que é igual a 2/7 e cujo antecedente seja igual a 8.

21. Solução: Vamos igualar as razões. 8 = 2 X    7 2x = 8 x 7 2x = 56 X = 56/2 X = 28 Desta forma a razão igual a 2/7, com antecedente igual a 8 é : 8/28 = 2/7

22. 2) Em uma sala de aula,  a razão de moças para o número de rapazes é de 5/4. Se o número total de alunos desta turma é de 45 pessoas, caso exista uma festa quantas moças ficariam sem par ?

23. Solução: Primeiro vamos denominar o número de moças por X, e o número de rapazes por Y. x/y = 5/4 (Igualam-se as razões) x + y = 45 (Soma total de alunos) x + y = 5 + 4  (Aplicação das propriedades das proporções)   x           5 45/x = 9/5 45 x 5 = 9x 225 = 9x ---> x = 225/9 ---> x = 25 moças Substituindo X = 25 na expressão x + y = 45, temos : 25 + y = 45 ---> y = 45 – 25 ----> y = 20 rapazes Tendo por base que cada rapaz fique apenas com uma moça, o número de moças que ficariam sem par será : 25 – 20 = 5 moças Então, o número de moças que ficará sem par é igual a 5.

24. 3) A razão das idades de duas pessoas é 2/3. Achar estas idades sabendo que sua soma é 35 anos. a)14 e 20 anos b)14 e 21 anos c)15 e 20 anos d)18 e 17 anos e)13 e 22 anos

25. Solução:

26. 4) A diferença dos volumes de dois sólidos é 9cm³ e a sua razão é 2/3. Achar os volumes. a)17cm³ e 28cm³ b)18cm³ e 27cm³ c)19cm³ e 28cm³ d)20cm³ e 27cm³ e)n.d.a

27. Solução:

28. 5) O preço de uma  casa sofreu um  aumento de 20%, passando a ser vendida por 35 000 reais. Qual era o preço desta casa antes deste aumento?

29. Solução: Porcentagem         Preço 120                    35 000 100                      x

30. 6) Aumentando-se 10% uma grandeza positiva x e do resultado diminui-se 10% obtemos:(A) x(B) 0,9·x(C) 0,99·x(D) 1,1·x(E) 1,2·x

31. Solução: Acrescentar 10% em X significa dizer que x passa a ser 1,1 x. Retirar 10% de 1,1x é igual: 0,11 Logo : 1,1x – 0,11x = 0,99x

32. 7) Com o reajuste de 10% no preço da mercadoria A, seu novo preço ultrapassará o da mercadoria B em R$9,99. Dando um desconto de 5% no preço da mercadoria B, o novo preço dessa mercadoria se igualará ao preço da mercadoria A antes do reajuste de 10%. Assim, o preço da mercadoria B, sem o desconto de 5%, em R$, é

33. Solução: Temos: 1,1 A = B + 9,99 e que 0,95 B = A 1,1( 0,95 B ) = B + 9,99 1,045 B = B + 9,99 1,045B – B = 9,99 0,045B = 9,99 B = R$ 222,00

34. FIM