Resonance meters for viscoelasticity measurement

1. Department of Biophysics and Physical Chemistry, Faculty of Pharmacy, Heyrovskeho 1203, 500 05 Hradec Kralove, Czech Republic DELTER v.o.s. Lohenice 43, 535 01 Prelouc, Czech Republic Resonance meters for viscoelasticity measurement

2. Introductory remarks Quantification of relations between strains and stresses in dynamic loading is one of the key tasks of biomechanics. In contrast to static loading, in dynamic loading energy losses play a relevant role. Viscoelasticity must thus be taken into account. Rheologicalviscoelastic modelsare currently applied on this field. Nevertheless, they do not ensure a satisfactory approximation. There are two main sources of discrepancy between the behavior of rheological models and the behavior of real viscoelastic structures. The first issue is the problematic disregard of the influence of inertial forces. The second lies in the fact that the current rheological models use lumped parameters which are incongruous with the distributed parameters in real bodies. Complex moduli or, more generally, complex stiffnesses, provide adequate tools for satisfactory characterizing dynamic behavior of linear mechanical systems.

3. Principle of resonance apparatuses (RMA) RMA measure complex stiffnes and complex moduli. RMA are based on the measurement of mechanical resonance of samples of biological materials. Resonance methods represent an alternative to direct measurements of frequency characteristics (DMA apparatuses). Crucial advantage of resonance meters consists in the high sensitivity of measurements and the elimination of errors resulting from the effect of the mass of the sample and the mass of the moving part of the meter on measurement results. Moreover, its design enables contactless sensing, which further improves the accuracy and precision. Application of this principle leads to a reduction of costs and elimination of some errors.

4. Inverse problem solutions Fundamental equations: sample l0 Complex stiffness definition: inertial body F Complex modulus definition: Complex stiffness of system sample-inertial body in periodic mode: Loss modulus of sample: Storage modulus of sample:

5. RMA – tensile measurements

6. RMA – measurements in bending loading

7. RMA – measurements of surface sitiffness

8. Potential application of measurement of viscoelasticity in biomechanics Solutions of problems of mechanical compatibility Origin of additional stresses in mechanically incompatible bodies. Tangent stresses in tensile loading. Condition of mechanical compatibility is the same complex stiffness in all bodies in contact.

9. 1 2 F body n body1 body2 body 3 n Potential application of measurement of viscoelasticity in biomechanics Solutions of problems ofcomplexmechanicalsystems Knowledge of stiffnesses of partial bodies enables calculation of stiffness of whole system F Serial systems L1 L2 L3 Parallel systems F1 F2 F3 L

10. Addenda

11. Přechodová charakteristika - odezva na skok síly Příklad přechodové charakteristiky Voigtova modelu

12. Křivka toku - odezva na obdélníkový impuls síly Příklad křivky toku Voigtova modelu

13. imaginární osa imaginární osa Frekvenční charakteristiky poloha fázoruv čase t F0 poloha fázoru odezvy v čase 0 φ reálná osa reálná osa směr rotace fázorů poloha fázoru síly v čase0 ωt φ L0 Fázorové (vektorové) zobrazení síly a deformace

14. Další používané charakteristiky Odezvy na lineárně rostoucí sílu – rampová charakteristika Cyklické odezvy Odezvy na pilový průběh síly Odezvy na trojúhelníkovýprůběh síly Odezvy na sílu rostoucí po skocích

15. Teorie chování lineárních mechanických systémů Základní diferenciální rovnice kde aab jsou koeficienty, i a j jsou stupně derivace, l je deformace, fje namáhání Pokud je vstupní veličina síla Fa výstupní veličina deformace l, lze vztah napsat ve jednodušší formě

16. Fourierova transformace Základní diferenciální rovnice je na obecné úrovni obtížně řešitelná. S použitím Fourierovy transformace ji však možné řešení podstatně usnadnit. Princip spočívá v tom, že se čas nahradí novou proměnnou (iω). Dostáváme pak relace mezi fázory síly a deformace. Tyto relace jsou popsány algebraickou rovnicí, jejíchž řešení je snadnější. Tato metoda se používá v elektronice a regulační technice. Převody mezi časovými průběhy a fázory Transformační vztah, definující Fourierovu transformaci se v praxi obvykle přímo nepoužívá. Využívá se tzv. slovník transformace, kde je transformace již vypočtena. . Fourierova transformace je vhodná pro analýzu frekvenčních závislostí mezi namáháním a deformací. Lze ji využít i pro fyzikálně reálné periodické průběhy. Využíváme tzv. harmonickou analýzu, založenou na Fourierově trigonometrické řadě. Dokonce i neperiodické průběhy lze řešit pomocí Fourierovy transformace.

17. Laplaceovatransformace Podobně jako Fourierova transformace, nahrazuje Laplaceova transformace základní diferenciální rovnici algebraickou rovnici. Princip spočívá v tom, že se čas nahradí novou proměnnou (p). Dostáváme pak relace mezi Laplaceovými obrazy síly a deformace. Rovněž tato metoda se používá v elektronice a regulační technice. Ulehčuje zejména hledání impulsních a přechodových charakteristik. Transformační vztah Transformační vztah se opět v praxi obvykle přímo nepoužívá. I v případě Laplaceovy transformace se využívá se tzv. slovník transformace, kde je transformace již vypočtena pro běžné funkce. .

18. imaginární osa imaginární osa Komplexní tuhost a komplexní moduly poloha fázoru odezvy v čase 0 φ S(iω) reálná osa d = |S(iω)| Komplexní mechanická tuhostT(iω) je poměr fázoru síly F(iω) a deformace l(iω): poloha fázoruv čase0 SIM φ reálná osa SRE . Komplexní mechanická tuhost obsahuje reálnou složku (TRE) a imaginární složku (TIM). fázorová presentace dynamická tuhost

19. Komplexní modul V režimu namáhání v tahu a tlaku lze u těles tvaru homogenní tyče charakterizovat materiál pomocí komplexních modulů. Komplexní modul E(iω) je poměr fázoru mechanického napětí σ(iω) a relativní deformace ε(iω): Komplexní modul obsahuje reálnou složku (ERE) a imaginární složku (EIM). Imaginární část komplexního modulu se nazývá „storagemodulus“. Imaginární část komplexního modulu se nazývá „lossmodulus“. Relace mezi komplexní tuhosti a komplexním modulem Protože pro namáhání v normálovém směru (tahu a tlaku platí): Platí také:

20. Energetické ztráty při dynamickém zatěžování Energetické ztráty závisí na frekvenci a na imaginární části komplexní tuhosti. Při normálovém namáhání tedy na ztrátovém modulu EIM (lossmodulus). Pokud je průběh síly dán vztahem: A průběh deformace vztahem: Obecně lze energetické ztráty určit podle vztahu: Při znalosti komplexní tuhosti je možno použít vztah:

21. 1 F stejné síly 2 F těleso n těleso1 těleso 2 těleso 3 n Komplexní tuhost a komplexní moduly mechanických soustav Mechanické soustavy více vzájemně spojených těles do kombinací „sériově“ spojených částí (u nichž je společné namáhání) a „paralelně“ spojených částí (společná je deformace). Například Maxwellův model je sériové spojení Hookeova a Newtonova tělesa, Voigtův model je paralelní spojení Hookeova a Newtonova tělesa. Sériová kombinace Převrácená hodnota celková tuhost je součet převrácených hodnot dílčích tuhostí Paralelní kombinace L stejné deformace Celková tuhost je součet dílčích tuhostí

22. Lze určit : Deformace dílčích struktur Celkovou komplexní tuhost v závislosti na frekvenci Energetické ztráty v dílčích strukturách v závislosti na frekvenci Tlumení vibrací v závislosti na frekvenci Dynamická tuhost složitých soustav viskoelastických struktur - příklady Sériová kombinace T1(ω) T2(ω) L2(ω) 1 Modelové příklady použití: Držadlo s krytem Podrážka boty složená z více vrstev Podložky L

23. Paralelní struktury  Lze určit : Síly a namáhání v dílčích strukturách Celkovou komplexní tuhost v závislosti na frekvenci Energetické ztráty v dílčích strukturách v závislosti na frekvenci Namáhání na rozhraní  struktur v závislosti na frekvenci Dynamická tuhost složitých soustav viskoelastických struktur - příklady F2(ω) Paralelní kombinace T1(ω) T2(ω) Modelové příklady použití: Tělesa s povrchovým krytem či lakem Vícevrstevný textil Povrch těla a přiléhající struktury (textil, obuv, náplasti a obinadla) L

24. Příklady problémů které lze řešit na základě znalosti komplexní dynamické tuhosti • 1) Deformace v dílčích strukturách • 2) Namáhání dílčích struktur • 3) Ztráty energie, celkové i v dílčích strukturách • 4) Mechanická kompatibilita materiálů Znalost komplexní dynamické tuhosti lze využít také k řešení problematiky nebezpečí vzniku trvalých deformací a porušení celistvosti (prasknutí) dílčích struktur.

25. Voigtův (Kelvinův) model Namáhání je společné pro obě tělesa deformace se sčítají Pro normálové namáhání tyče Obecně N η H E F σ Komplexní modul Komplexní tuhost Praktické poznámky: U Voigtova modelu jsou parametry (H, N, E, η) frekvenčně nezávislé. Rovněž je frekvenčně nezávislá reálná část tuhosti a modulu. Reálná část komplexního modulu je shodná s Youngovým modulem pružnosti. Imaginární části komplexní tuhosti i komplexních modulů jsou přímo úměrné frekvenci.

26. Voigtův model se setrvačností Namáhání je společné pro obě tělesa deformace se sčítají H N Komplexní tuhost M F Praktické poznámky: U tělesa chovajícího se podle Voigtova modelu jsou parametry (H, N, M) frekvenčně nezávislé. Reálná část tuhosti i imaginární část modulu je frekvenčně závislá.

27. Viskoelastické modely Složené reologické modely Závěry Složené modely tvoří sério-paralelní struktura Hookeových a Newtonových těles. Modely neberou v úvahu vliv setrvačných si, což je při dynamickém zatěžování principiální nedostatek. Identifikace a odhad parametrů modelů je obtížně řešitelný úkol. Praktické použití reologických modelů je sporné.

28. Význam kvantitativního popisu viskoelasticity Mechanická kompatibilita těles a materiálů Kontrola kvality produktů. Metodika ovlivnění houževnatosti a křehkosti volbou viskoelastických parametrů Stabilita parametrů v závislosti na vnějších podmínkách a stárnutí materiálu. Mechanické filtry vibrací Kvantifikace viskoelasticitybiomateriálů

29. F stejné síly těleso n těleso1 těleso1 těleso 2 těleso 2 těleso 3 Vibrace, vlastní oscilace, mechanické filtry vibrací Analýza mechanického chování soustav těles, založená na znalosti komplexní tuhosti, umožňuje předpovídat možnost vzniku vlastních kmitů, jejich frekvenci a tlumení. Sériová kombinace těles Selektivní mechanické filtry vibrací V řadě praktických případů se setkáváme se situací, kdy je mechanická soustava složena z dílčích těles, namáhaných stejnou silou. Příkladem mohou být držadla, podrážky bot, podložky apod. Deformace v dílčích tělesech lze určit na základě vztahů pro komplexní tuhosti. Častá je také situace, kdy je třeba minimalizovat vibrace v některých tělesech, respektive „odfiltrovat“ některé frekvence vibrací. Například je žádoucí, aby určité frekvence vibrací nepřecházely do lidského těla (rukojeti pneumatických kladiv, volanty u automobilů, jsou markantní příklady). Vhodná volba viskoelasticity ochranných vrstev umožňuje takovéto selektivní filtrování. Znalost komplexních tuhostí umožňuje vhodnou volbu viskoelasticty mechanických filtrů. Přiklad selektivního mechanického filtru pro vibrace od 5 do 7 Hz

30. F0 Řešení inversního problému Z frekvenčních charakteristik Z hlediska komplexní tuhosti se jedná o přímou metodu. Tuto metodu využívají přístroje DMA. Hledáme reálnou a imaginární část komplexní tuhosti v závislosti na frekvenci Δt L0 Postup: a) Určíme deformaci pro harmonický průběh síly b) Určíme absolutní hodnotu komplexní tuhosti c) Určíme fázový posun d) Určíme reálné a imaginární části komplexní tuhosti e) Měření opakujeme pro různé frekvence

31. Řešení inversního problému Z přechodových charakteristik Tato metoda je použitelná pro periodické i neperiodické odezvy. Obecně je odezva součtem periodických a aperiodických částí. Na obecné úrovni je řešení inversního problému komplikované, byť možné. Odezva má totiž obecně složitý průběh: Snadnější je řešení pro ryze periodickou odezvu a je shodné s řešením podle postupu u impulsních charakteristik. Pokud je odezva pouze aperiodická, obsahuje součet klesajících exponenciálních průběhů, které lze jednoduše, ale s omezenou přesností, identifikovat. Pokud je chování tělesa v souladu s Voigtovým modelem, má odezva deformace na skok síly F průběh: Parametry H a N lze snadno určit. Toto je klasický reologický přístup. Deformace však bývají malé a měření je zatíženo velkou chybou. Významná chyba vzniká navíc zanedbáním vlivu setrvačnosti tělesa a případně i setrvačností senzoru deformace. Z parametrů H a N lze vypočítat komplexní tuhost takto:

32. resonanční přístroje (RMA) Přesná, citlivá a levná metodika měření mechanického chování viskoelastických těles při dynamickém zatěžování. Základní myšlenka řešení Resonanční metody měření se požívají v mnoha oborech. Vyznačují se zpravidla velkou citlivostí a přesností. Příklady resonančních metod: NMR, EPR, spektrofotometrie, měření elektrické impedance, měření torzních kmitů v mechanice atd. Předpokladem použití resonanční metody periodický charakter odezvy měřené veličiny na vstupní stimul. Musí docházet k resonanci. Pohybová rovnice viskoelastických těles však v reálných situacích nemá periodické řešení. Vhodnou úpravou (spojením měřeného tělesa se „setrvačným členem“) lze dospět ke stavu, kdy pohybová rovnice systému těleso-setrvačný člen má periodické řešení a lze tedy použít resonančního principu měření. Toto řešení ve spojení s bezkontaktním snímáním deformace je spojeno s dalšími výhodami.

33. L délka Ilustrace principu RMA na měření tyče při namáhání v tahu Deformační odezva y na vnesení energie do systému krátkým impulsem je součet tlumených harmonických průběhů. Parametry Ai,  ωi a αi vypočte z naměřených průběhů počítač a jeho software. Část výrazu: je úměrná disipaci energie v tělese. Z parametrů Ai,  ωi a αi lze určit komplexní dynamickou tuhost tělesa, komplexní modul pružnosti, ztrátový úhel a časové konstanty deformační odezvy na skok namáhání. vzorek sensor deformace počítač a SW setrvačné těleso

34. Obvyklý postup: 1) Pro zvolené M změříme impulsní nebo přechodovou charakteristiku. 2) Určíme α a ω tlumených kmitů dílčích složek průběhu (vypočte SW). 3) Vypočteme celkovou a po odečtení tuhosti setrvačného členu i tuhost samotného tělesa. 4) Měření opakujeme pro různé ω. Takto získáme frekvenční závislosti reálných i imaginárních částí komplexního modulu tělesa.

35. Přístroje RMA umožňují měřit: Komplexní tuhost těles Komplexní mechanickou impedanci těles Komplexní modul pružnosti Časové konstanty tělesa pro skokovou změnu namáhání Měření lze provádět při různých frekvencích a různých úrovních klidového namáhání (předpětí), tyto parametry lze nastavovat nezávisle

36. Nelineárně elastická tělesa a materiály

37. Lineární viskoelasticita Statické mechanické chování těles V ustálených stavech se i u viskoelastických těles uplatňují pouze elastické síly. Například pro tyč namáhanou v tahu se klasicky předpokládá platnost Hookeova zákona: E je modul pružnosti, F je síla, S je průřez tyče, l je délka tyče při namáhání, l0 je délka tyče bez namáhání. Modul se považuje za konstantu a závislost mezi σ a ε je tedy lineární. Protože klidová délka se v řadě případů určuje obtížně, je možno ze zatěžovacího grafu určit modul podle vztahu: Δε Δσ Takto lze postupovat jen u lineárně se chovajících těles. Modul, takto určený, je nezávislý na rozdílu hladin i na velikosti deformace či předpětí.

38. Nelineární viskoelasticita – statická namáhání Viskoelastická tělesa se často chovají nelineárně. Například průběh na grafu je výrazně nelineární. U nelineárních průběhů je možné mechanické chování popsat tak, že v každém bodě grafu určíme diferenciálně určovaný modul. Δε2 2 Δσ Δε1 1 Δσ Diferenciální modul je směrnice ke grafu v daném bodě (pro dané předpětí). Na grafu je v oblasti kolem bodu 1 mnohem menší modul než kolem bodu 2. Právě diferenciální moduly jsou pro praxi zásadní, protože namáhání se zpravidla mění v okolí jistého klidového zatížení (tedy předpětí).

39. Nelineární viskoelasticita – dynamické namáhání Dynamické mechanické chování tělesa se obvykle určuje pomocí komplexních modulů. Komplexní modul je poměr fázoru namáhání ku fázoru deformace. U nelineárních systémů určujeme diferenciální komplexní moduly v daném pracovním bodě: U přístroje RMA vycházíme z měření tlumených oscilací o velmi malé amplitudě kolem pracovního bodu. Tedy pro dané předpětí. Z oscilací pak počítáme diferenciální komplexní modul (moduly stroge i loss). bod 2 bod 1

40. Dodatek: Teorie RMA podrobněji

41. Teoretická východiska • U lineárních či linearizovatelných systémů má rovnice popisující vztahy mezi vstupem a výstupem následující tvar: (1) kde aab jsou koeficienty, i jsou stupně derivace, y je výstupní veličina (deformace), f(t) je vstupní veličina (síla, napětí) Dále budeme za vstupní veličinu považovat sílu a za výstup (absolutní) deformaci. Poznámka: Toto pojetí vychází zfaktu, že při měření vycházíme ze sil a absolutních deformací. Přechod krelacím mezi mechanickým napětím a relativní deformaci (veličinami obvykle používanými vliteratuře) je možný, ale až sekundární krok, závisející na geometrii vzorku.

42. (1) Z teorie diferenciálních rovni vyplývá, že deformační odezva na Diracův impuls síly je tvořena součtem exponenciálních průběhů a tlumených harmonických průběhů. Tento charakter má i odezva na změnu síly formou skoku mezi dvěma konstantními hladinami. Principiálně je tedy možné určit koeficienty v rovnici (1) na základě měření impulsní charakteristiky (odezvy na krátký impuls) nebo na základě přechodové charakteristiky (odezvy na skok mezi hladinami). Jinými slovy na základě měření impulsní charakteristiky lze dospět k obecnému popisu mechanického chování tělesa (vyřešit tzv. inverzní problém). Koeficienty v rovnici (1) lze určit také na základě měření závislostí mezi harmonickým namáháním a deformací. Na tomto principu pracuje řada přístrojů kategorie DMA. K řešení inversního problémů je v tomto případě třeba měřit frekvenční závislosti pro dostatečným počet frekvencí.

43. Snadnější vhled do této problematiky přináší aplikace Laplaceovy transformace na rovnici (1). Po Laplaceově transformaci totiž rovnice (1) přejde na algebraickou rovnici (2): (1) , (2) kde Y(p) je obraz výstupu, X(p) je obraz vstupu, p je Laplaceův operátor. Obraz výstupní veličiny (deformace) racionální lomená funkce, kterou lze pomocí metody parciálních zlomků převést na součet zlomků typu: Členy typu odpovídají včasové oblasti klesajícím exponenciálám podle vztahu: Členy typu odpovídají včasové oblasti klesajícím exponenciálám podle vztahu: