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Construções Lógico –Matemáticas – Aula 09. IMES – Fafica Curso de Pedagogia – 2º Ano Prof. M.S.c . Fabricio Eduardo Ferreira fabricio@fafica.br. Bolas Coloridas (I).
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Construções Lógico –Matemáticas – Aula 09 IMES – Fafica Curso de Pedagogia – 2º Ano Prof. M.S.c. Fabricio Eduardo Ferreira fabricio@fafica.br
Bolas Coloridas (I) Ana quer colorir as bolinhas da Figura 1 a seguir de azul (A), preto (P) ou vermelho (V) de modo que bolinhas ligadas por um segmento tenham cores diferentes. Veja a seguir duas maneiras diferentes de colorir a Figura 1. Figura 1 a) De quantas maneiras diferentes Ana pode colorir a Figura 1?
Bolas Coloridas (I) – Resposta Primeiramente vamos numerar as bolinhas para facilitar o raciocínio (bolinha 1, 2 e 3). 1 A bolinha 1 pode ser pintada de 3 maneiras diferentes (pode ser vermelha, preta ou azul). Vamos escolher, por exemplo, a cor vermelha. 3 2 Figura 1 Para pintar a bolinha 2 sobram duas cores para pintá-la (pode ser azul ou preta). Desta forma a cor da bolinha 3 fica automaticamente determinada. 3 3 Tudo isto ocorre se a bolinha 1 for pintada de vermelho. Porém sabemos que ela pode ser pintada de azul ou também de preta. 2 2
Bolas Coloridas (I) – Resposta Logo podemos elaborar uma árvore de possibilidades: Então podemos pensar que para cada cor da bolinha 1 temos duas possibilidades de preenchimento, ou seja, Bolinha 1 Bolinha 2 Bolinha 3 2 + 2 + 2 = 3 x 2 = 6 possibilidades Outra forma de pensar é: 3 x 2 x 1 = 6 Bolinha 1 Bolinha 2 Bolinha 3
Bolas Coloridas (I) – Resposta Listando todas as possibilidades, temos: Resposta: Ana pode colorir a Figura 1 de 6 maneiras diferentes.
Bolas Coloridas (II) Veja a seguir duas maneiras diferentes de colorir a Figura 2. Figura 2 b) De quantas maneiras diferentes Ana pode colorir a Figura 2?
Bolas Coloridas (II) - Resposta Neste caso também é interessante numerar as bolinhas. 1 2 Para facilitar o trabalho é interessante dividí-lo em dois casos: quando as bolinhas 1 e 3 possuem a mesma cor e quando tais bolinhas possuem cores diferentes. 4 3 Existem 3 maneiras de colorir a bolinha 1 (pode ser vermelha, azul ou preta). Suponhamos que ela seja colorida de vermelho. Figura 2 1º caso: Bolinhas 1 e 3 com cores iguais Como a bolinha 3 possui a mesma cor da bolinha 1 ela necessariamente será vermelha. Agora há duas maneiras de colorir a bolinha 2 (azul ou preta). 2 4 4 4 3
Bolas Coloridas (II) 1º caso: Bolinhas 1 e 3 com cores iguais Para a bolinha 4 também há duas possibilidades em cada caso. Lembre-se que tudo isto ocorreu pois colorimos a bolinha 1 de vermelho, mas poderíamos ter colorido de azul ou preto. Desta forma, temos: 3 x 2 x 1 2 = 12 x Bolinha 4 Bolinha 3 Bolinha 2 Bolinha 1 Mas e se as bolinhas 1 e 3 tivessem cores diferentes? 4 4
Bolas Coloridas (II) Primeiramente temos que colorir a bolinha 1. Isto pode ocorrer de 3 maneiras distintas. Suponhamos que a colorimos de vermelho. 2º caso: Bolinhas 1 e 3 com cores diferentes 1 2 Em seguida temos que colorir a bolinha 3. Isto pode ocorrer de 2 maneiras diferentes (pois sabemos que ela não pode possuir a mesma cor que a bolinha 1). 4 3 Para colorir as bolinhas 2 e 4 resta, agora, apenas 1 possibilidade que trata-se da cor não utilizada. Desta forma, temos: Figura 2 2 2 2 4 4 4 3
Bolas Coloridas (II) 2º caso: Bolinhas 1 e 3 com cores diferentes Reunindo as informações deste caso, temos: 3 x 1 x 2 1 = 6 x Bolinha 4 Bolinha 3 Bolinha 2 Bolinha 1 Adicionando os resultados de ambos casos, temos: 12 + 6 = 18 possibilidades 1º Caso Cores iguais em 1 e 3 2º Caso Cores diferentes em 1 e 3
Bolas Coloridas (II) – Resposta Neste item podemos elaborar duas árvores de possibilidades: 1º caso: As bolinhas 1 e 3 têm cores iguais Bolinha 1 Bolinha 2 Bolinha 3 Bolinha 4 1 2 4 3 Figura 2 12 possibilidades com as bolinhas 1 e 3 com cores iguais
Bolas Coloridas (II) – Resposta A outra árvore de possibilidades: 2º caso: As bolinhas 1 e 3 têm cores diferentes Bolinha 1 Bolinha 2 Bolinha 3 Bolinha 4 1 2 4 3 Figura 2 6 possibilidades com as bolinhas 1 e 3 com cores diferentes 12 + 6 = 18 possibilidades ao todo
Bolas Coloridas (I) – Resposta Listando todas as possibilidades, temos: Resposta: Ana pode colorir a Figura 2 de 18 maneiras diferentes.
Bolas Coloridas (III) Figura 3 c) De quantas maneiras diferentes Ana pode colorir a Figura 3?
Bolas Coloridas (III) - Resposta Neste caso também é interessante numerar as bolinhas. Para colorir as bolinhas de 1 a 4 existem 18 maneiras (trata-se do item anterior deste exercício). 1 2 Como a bolinha 4 já está pintada (de alguma cor), restam 2 maneiras para pintar a bolinha 5 (as cores diferentes da bolinha 4). Logo, temos: 5 4 3 18 x 2 = 36 maneiras de colorir as bolinhas de 1 a 5 7 6 Maneiras de colorir as bolinhas 1 a 4 Maneiras de colorir a bolinha 5 Figura 3 Agora devemos elaborar uma estratégia para colorir as bolinhas 6 e 7.
Bolas Coloridas (III) - Resposta Vamos dividir o trabalho em dois casos: as bolinhas 3 e 6 pintadas de mesma cor, e as bolinhas 3 e 6 pintadas de cores diferentes. X X 1º caso: Bolinhas 3 e 6 com cores iguais Para colorir a bolinha 6 existe uma única opção de cor, pois ela precisa ser da mesma cor da bolinha 3. Desta forma, restam duas cores possíveis para pintar a bolinha 7. Veja alguns exemplos disso: X X 3 7 6 Então, temos: Figura 3 x = 2 1 2 Bolinha 7 Bolinha 6
Bolas Coloridas (III) - Resposta Neste caso existe apenas 1 opção para colorir a bolinha 6, pois ela não pode ter a mesma cor da bolinha 3 (condição imposta) e não pode ser igual à bolinha 4. 2º caso: Bolinhas 3 e 6 com cores diferentes X X Para pintar a bolinha 7, também haverá apenas uma cor disponível pois, como as cores das bolinhas 3 e 6 são diferentes, restará apenas 1 possibilidade para colori-la. Alguns exemplos deste caso: X X 3 7 6 Então, temos: x = 1 1 1 Figura 3 Bolinha 7 Bolinha 6
Bolas Coloridas (III) - Resposta Reunindo todas as informações obtidas até o momento, temos: 1 2 36 x 2 = 72 maneiras de colorir as bolinhas de 1 a 7 com as bolinhas 3 e 6 iguais Maneiras de colorir as bolinhas 1 a 5 Maneiras de colorir as bolinhas 6 e 7 com as bolinhas 3 e 6 iguais 5 4 3 7 36 x 1 = 36 maneiras de colorir as bolinhas de 1 a 7 com as bolinhas 3 e 6 diferentes 6 Maneiras de colorir as bolinhas 1 a 5 Maneiras de colorir as bolinhas 6 e 7 com as bolinhas 3 e 6 diferentes Figura 3 Adicionando os resultados de ambos casos, temos: 72 + 36 = 108 possibilidades 1º Caso Bolinhas 3 e 6 iguais 2º Caso Bolinhas 3 e 6 diferentes
Desafio De quantas maneiras é possível colorir cada um dos círculos da figura com uma das cores amarelo, azul e vermelho, de modo que dois círculos ligados por um segmento tenham sempre cores diferentes?
