T E M A Â N G U L O S E T R I Â N G U L O S

1. T E M A • Â N G U L O S • E • T R I Â N G U L O S

2. CONTEÚDOS • Ângulos •  Complemento •  Suplemento •  Exemplos • Triângulos •  Classificações •  Exemplos

3. Ângulos

4. Definição[Ângulos ] Chamamos ângulo à reunião de duas semi-retas de mesma origem.

5. O ponto O é o vértice do ângulo. Os lados do ângulo são as semi-retas

6. [ Ângulos Consecutivos ] Dois ângulos são consecutivos se, e somente se, um lado de um deles coincide com um lado do outro.

7. [ Ângulos Adjacentes ] Dois ângulos consecutivos são adjacentes se, e somente se, não têm pontos internos comuns.

8. [ Ângulos Complementares] Dois ângulos são ditos complementares quando a soma de suas medidas é 90°. B C C O O A

9. [ Exemplo ] Qual o ângulo que excede o seu complemento em 76°? [ Solução ] Chamemos o ângulo procurado de x. Logo, seu complemento será (90° – x). Como o ângulo excede o complemento em 76° temos x = (90° – x) + 76°, encontrando 2x = 166° e logo x = 83°.

10. [ Ângulos Suplementares ] Dois ângulos são ditos suplementares quando a soma de suas medidas é 180°. A B C O

11. [ Observação ] O ângulo de medida 90° é chamado de ângulo reto, e o de medida 180°, de ângulo raso.

12. [ Exemplo ] Obtenha o valor de x abaixo: [ Solução ] Basta ver que 35° + 90° + x = 180°, logo x = 180° - 125° = 55°.

13. [ Ângulos Opostos pelo vértice (o.p.v.) ] Dois ângulos são o.p.v. se , e somente se, os lados de um deles são as respectivas semi-retas opostas aos lados do outro.

14. [ Observação ] Dois ângulos o.p.v. são congruentes. [ Exemplo ] Encontrar o valor de abaixo:

15. O O [ Solução ] Inicialmente temos que:

16. [ Solução ] Por outro lado, Substituindo (i) em (ii), obtemos

17. [ Solução ] Por último,

18. Definição [ Bissetriz de um ângulo ] Uma semi-reta Oc interna a um ângulo aÔb é chamada bissetriz desse ângulo se, e somente se,

19. [ Exemplo ] Vamos obter x,sabendo que a semi-reta OP é bissetriz do ângulo AÔB:

20. [ Solução ] Como OP é bissetriz temos y –10° = x + 30°, assim y – x = 40° (1) Por outro lado sabemos que 2y + y –10° + x + 30° = 180°, assim 3y + x = 160° (2)

21. [ Solução ] Por último resolvendo o sistema formado pelas equações (1)e(2) y – x = 40° 3y + x = 160° encontramos: y = 50° e x = 10°.

22. [ Classificação de Um Ângulo Quanto à Medida] • Agudo: quando mede menos que 90° • Obtuso: quando mede mais que 90° x < 90° x x > 90° x

23. Triângulos

24. Definição [ Triângulos ] Dados três pontos A, B e C, não colineares, chamamos triângulo ABC e indicamos por ▲ABC, à reunião dos segmentos AB, BC e AC.

25. [ Triângulos ] Identificando seus elementos temos: • A, B e C são vértices; • Os segmentos AB, BC e AC de medidas c, a, e b; são os lados; • , e são os ângulos internos.

26. [ Classificação dos triângulos ] Essa classificação é feita observando-se dois critérios: (1°) Lados: (2°) Ângulos: * Escaleno * Retângulo * Isósceles * Acutângulo * Equilátero * Obtusângulo

27. [ Classificação dos triângulos ] [ Escaleno ] Todos os lados possuem medidas diferentes.

28. [ Classificação dos triângulos ] [ Isósceles ] Possui dois lados com medidas iguais (consequentemente, os ângulos da base BC são iguais).

29. [ Exemplo ] Se o ▲ABC é isósceles de base BC, determine x e y.

30. [ Solução ] Sabemos que os ângulos da base são iguais, logo,

31. [ Solução ] Assim y + x + 45° = 180° e obtemos y + x = 135°(1) Da mesma forma y + 2x - 40° = 180°, obtemos então y + 2x = 220°(2) Resolvendo o sistema formado pelas equações (1) e (2) encontramos; x = 85° e y = 50°

32. [ Classificação dos triângulos ] [ Equilátero ] Todos os lados possuem a mesma medida (consequentemente, os ângulos também):

33. [ Classificação dos triângulos ] [ Observação ] No triângulo eqüilátero a altura divide a base BC em duas partes iguais:

34. De fato observando o triângulo AHC e utilizando uma das relações trigonométricas temos:

35. Podemos deduzir também a fórmula da altura deste triângulo:

36. [ Exemplo ] Num triângulo isósceles, de perímetro 32 cm, a altura relativa à base vale 8 cm. Calcule as medidas dos lados congruentes.

37. [ Solução ] Fazendo AB = AC = x, vem: BC = 32 − 2x Como H é o ponto médio de BC, temos: BH = HC = 16 − x

38. Portanto, AB = AC = 10 cm.

39. [ Classificação dos triângulos ] [ Retângulo ] Possui um ângulo reto.

40. [ Classificação dos triângulos ] [ Acutângulo ] Possui todos os ângulos agudos.

41. [ Classificação dos triângulos ] [ Obtusângulo ] Possui um ângulo obtuso.

42. [ Definições Importantes ] Mediana de um triângulo− é um segmento que une um vértice ao ponto médio do lado oposto.

43. [ Definições Importantes ] Bissetriz interna de um triângulo− é o segmento que une um vértice ao lado oposto e que divide o ângulo desse vértice em dois ângulos congruentes.

44. [ Teorema Importante ] Teorema do ângulo externo−Dado um ▲ABC um ângulo externo deste triângulo é sempre maior que qualquer um dos ângulos internos não adjacentes.

45. Em particular temos que Agora como

46. [ Observação ] • Ao maior lado opõe-se o maior ângulo, • Em todo triângulo, cada lado é menor que a soma dos outros dois (desigualdade triangular), ou seja:

47. [ Exemplo ] Na figura abaixo, r é a bissetriz do ângulo AÔC. Se α = 40° e β = 30°, qual o valor de γ ?

48. [ Solução ] Como α + β = 70°, temos AÔC=110° e, como r é bissetriz, m(rÔC) = m(rÔA)=55°. Por outro lado observando o ▲AOH temos que AÔH = 50°, mas como AÔH + γ = 55°, logo temos γ = 5°.

49. [Congruência de Triângulos] A idéia de congruência: duas figuras planas são congruentes quando têm a mesma forma e as mesmas dimensões (isto é, o mesmo tamanho).

50. Para escrever que dois triângulos ABC e DEF são congruentes, usaremos a notação: