Medidas de Dispersão

1. Medidas de Dispersão Aula 8

2. Introdução • As medidas de tendência central não são suficientes para caracterizar totalmente uma sequência numérica. • Exemplo: • X: 10, 1, 18, 20, 35, 3, 7, 15, 11, 10. • Y: 12, 13, 13, 14, 12, 14, 12, 14, 13, 13. • Z: 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13. • Nos 3 casos, média igual a 13, porém são séries completamente distintas.

3. Medidas de Dispersão • As principais medidas de dispersão absolutas são: • Amplitude Total, • Desvio médio simples, • Variância, • Desvio Padrão. • Focaremos na variância e desvio padrão.

4. Desvio médio simples • O conceito estatístico de desvio corresponde ao conceito matemático de distância. • O desvio médio simples (DMS) é definido como sendo uma média aritmética dos desvios de cada elemento da série para a média da série.

5. Desvio médio simples • 1º Caso - Dados Brutos: • Exemplo: Calcule o DMS para a sequência • X: 2, 8, 5, 6 • Média = 5,25 • DMS = 1,75

6. Variância e Desvio Padrão • No caso do DMS necessita-se do módulo para que a diferença entre o valor de x e a média possam ser consideradas distância. • Outra forma de se conseguir tornar essa diferença sempre positiva ou nulas é considerar o quadrado destas diferenças. • Se substituimos por temos a variância. • Desvio Padrão é a raiz da variância

7. Variância e Desvio Padrão • 1º Caso – Dados Brutos: • Se a sequência representa uma população, a variância é igual: • Se a sequência representa uma amostra, a vriância é igual:

8. Variância e Desvio Padrão • Exemplo: • Calcule a variância e o desvio padrão para a sequência – X: 4, 5, 8, 5. • Média = 5,5 • Variância = 2,25 • Desvio Padrão = 1,5 unidades.

9. Variância e Desvio Padrão • 2º Caso – Variável Discreta: • Como existe repetição na série, precisamos ponderar a série: • No caso de População, a variância é: • No caso de amostra, a variância é:

10. Variância e Desvio Padrão • Exemplo: • Calcule a variância para a série abaixo: • Média = 3,65 • Variância = 0,9275 • Desvio Padrão = 0,988

11. Variância e Desvio Padrão • 3º caso: Variável Contínua • Neste caso, como desconhecemos o valor de “x” existentes dentro do intervalo, utilizaremos o ponto médio de cada intervalo. Variância no caso de População Variância no caso de Amostra

12. Classe Intervalo de classe fi 1 0 4 1 2 4 8 3 3 8 12 5 4 12 16 1 Variância e Desvio Padrão • Exemplo: • Dado a seguinte variável contínua • Calcule a variância e o desvio padrão, no caso de desta variável representar uma população e no caso de representar uma amostra • Variância= 10,24 e desvio padrão=3,2 • Variância= 11,38 e desvio padrão=3,373

13. Interpretação do desvio padrão • No cálculo da variância, quando elevamos o quadrado da diferença entre a média e o valor de x, a unidade de medida também fica elevada ao quadrado: • Se a medida é em metros : variância é em metros ao quadrado • Se a medida é em litros: a variância é em litros ao quadro • Assim, o valor da variância não pode ser comparado com os dados da série: Variância não tem interpretação.

14. X Interpretação do desvio padrão • O desvio padrão supre essa questão de interpretação: tem sempre a mesma unidade de medida da série. • Quando uma curva de frequência representativa da série é perfeitamente simétrica (distribuição normal), podemos tirar algumas conclusões: Este espaço contem aproximadamente 68% dos valores da série Aproximadamente 95% Aproximadamente 99%

15. X Interpretação do desvio padrão • Exemplo: se uma série tem média = 100 e desvio padrão = 5 68% 95% 99% 85 90 95 105 110 110 100