Wykład III

1. Wykład III 1.Absorpcja światła w półprzewodnikach 2.Gęstość stanów 3D, 2D, 1D, 0D 3.Koncentracja elektronów i dziur

2. Większość urządzeń półprzewodnikowych pracuje w oparciu o nośniki nadmiarowe: Nośniki nadmiarowe są generowane dzięki wzbudzeniom optycznym, bombardowaniu elektronami lub wstrzykiwaniem nośników np. w złączup-n. • Pomiary przerwy wzbronionej : - absorpcja fotonów gdyhν  Eg; fotony nie są absorbowane, jeślih  Eg to wyjaśnia, dlaczego niektóre materiały są przezroczyste dla pewnych długości fal ! - jeśliEg = ~2 eV : materiał jest przezroczysty w podczerwieni i dla światła czerwonego, - jeśliEg = ~3 eV : materiał jest przezroczysty w podczerwieni i dla światła widzialnego,

3. Jeśli strumień fotonów o energiihν  Egoświetla próbkę Si, to można oszacować jaka część tego strumienia zostanie pochłonięta przez tę próbkę. Stosunek natężenia światła, które przeszło przez próbkę do natężenia światła padającego zależy od długości fali fotonów (λ) i grubości próbki (l). Niech I0 (photony/cm2sec) =wiązka fotonów o długości fali λ, skierowana zostaje na próbkę o grubości (l). Zgodnie z prawem Lamberta-Beera spadek natężenia wiązki w odległości (x) od powierzchnina odcinku dx, jest proporcjonalny do natężenia wiązki w (x), grubości warstwy dx i współczynnika opisującego własności optyczne ośrodka : Jeśli grubość jest mała i można założyć, że a =const, to natężenie światła po przejściu przez próbkę o grubości (l) :

4. Absorpcja w półprzewodnikach • Dla dłuższej drogi z powyższego wzoru wynika następujące wyrażenie:

5. Pomiar absorpcji a

6. Półprzewodniki absorbują fotony o energiihν  Eg ! • E (eV) = hc / λ (μm) • Si absorbuje nie tylko fale o długości odpowiadającej przerwie wzbronionej(~1μm)ale również fale krótsze, z zakresu widzialnego. • Si będzie przezroczysty w podczerwieni (bo h  Eg), ale nieprzezroczysty w zakresie UV-VIS (bo tamhν  Eg).

7. Krawędź absorpcji w półprzewodnikach z prostą przerwą wzbronioną ( np. GaAs) W pobliżu k=0 zależność E(k) jest paraboliczna zarówno dla pasma przewodnictwa (e), pasma dziur ciężkich (hh), dziur lekkich (lh) oraz pasma powstałego na skutek oddziaływania spin – orbita (so). Różnica między zależnościami dyspersyjnym dla poszczególnych pasm wynika tylko z innej wartości masy efektywnej.

8. Z ZZE dla przejść optycznych w GaAs z pasma walencyjnego do pasma przewodnictwa: gdzie i niech

9. Łączna gęstość stanów. Gęstość stanów określa rozkład stanów po energii w obrębie jednego pasma. Łączna gęstość stanów uwzględnia fakt, że początkowy i końcowy stan elektronu znajdują się w obrębie kontinuum stanów dozwolonych, różnych pasm. Dla elektronów w paśmie: D(E)dE=2D(k)dk g(k) jest gęstością stanów w przestrzeni pędów a mnożnik 2 wynika z tego, że w danym stanie kwantowym mogą się znajdować dwa elektrony o różnych spinach. Stąd: Wiadomo, że gęstość stanów w przestrzeni wektora falowego g(k) jest równa liczbie stanów zawartych w przestrzeni między dwiema sferami o promieniach k i k+dk. Ta zaś jest równa liczbie stanów na jednostkę objętości, tj. 1/(2p)3 pomnożonej przez objętość między sferami równą 4pk2dk. Tak więc:

10. Łączna gęstość stanów wtedy dla zaś dla dla energii fotonów większej niż przerwa wzbroniona łączna gęstość stanów rośnie jak

11. Prawdopodobieństwo przejścia Wi-f jest proporcjonalne do łącznej gęstości stanów, więc współczynnik absorpcji będzie miał podobną zależność funkcyjną od energii fotonów co łączna gęstość stanów, ponieważ w przybliżeniu dipolowym można założyć, że M =const ( tzn. słabo zależy od k)

12. Z ekstrapolacji części liniowej wykresu do przecięcia z osią odciętych można wyznaczyć przerwę wzbronioną Eg

13. Przejścia skośne Przejścia skośne mogą pojawić się wtedy i tylko wtedy, gdy w procesie oddziaływania foton–elektron bierze udział trzecia cząstka, która umożliwia spełnienie zasady zachowania wektora falowego. Zazwyczaj taką rolę pełni fonon gdzie Ep, , – energia i pęd fononu. Znak „+”odpowiada procesowi z emisją, „–” procesowi z absorpcją fononu. 1. Proces dwuetapowy: elektron jest wzbudzany przy udziale fotonu z pasma walencyjnego do stanu wirtualnego bez zachowania energii ale z zachowaniem wektora falowego. W drugim etapie elektron przechodzi ze stanu do stanu na dnie pasma przewodnictwa przy udziale procesu absorpcji lub emisji fononu. 2. Możliwe jest przejście takie, że najpierw jest oddziaływanie z fononem, a potem – z fotonem Si

14. Przejścia skośne Prawdopodobieństwo absorpcji fotonu w jednostce czasu i w jednostce objętości gdzie: HeR – hamiltonian oddziaływania elektronu z fotonem, Hep – hamiltonian oddziaływania elektronu z fononem. – stan początkowy układu z zapełnionym pasmem walencyjnym, pustym pasmem przewodnictwa oraz liczbą fononów np, – stan końcowy układu z elektronem w minimum pasma przewodnictwa, dziurą w maksimum pasma walencyjnego oraz liczbą fononów , – przedstawia dwa możliwe stany pośrednie, opisane wyżej. Element macierzowy oddziaływania elektron – fonon zależy od stopnia obsadzenia stanów fononowych gdzie

15. Przejścia skośne W wielu półprzewodnikach elementy macierzowe są stałe. Wtedy wystarczy wykonać sumowanie po kc i kv , które sprowadza się do całkowania po Ec i Ev: Zakładając, że pasma są paraboliczne mamy: gdzie Eig jest przerwą wzbronioną. Zero energii przyjęto dla wierzchołka pasma walencyjnego. Podstawiając do równania na Ri i całkując po Ev mamy:

16. Przejścia skośne Podstawiając mamy

17. Przejścia skośne Po scałkowaniu mamy: dla procesów z absorpcją fononu: dla procesów z emisją fononu:

18. Przejścia skośne Schematyczny przebieg krawędzi absorpcji w obszarze przejść skośnych dla dwu temperatur z zaznaczonym sposobem wyznaczenia przerwy energetycznej oraz energii fononu

19. Wyprowadzenie wzoru na gęstość stanów i koncentrację elektronów w metalu

20. Zbiór dozwolonych stanów elektronowych wynika z rozwiązania stacjonarnego r. Schrödingera Stany elektronów swobodnych Dla elektronów swobodnychw metalu V(r) = 0. Stąd rozwiązanie : gdzie -wektor w przestrzeni rzeczywistej zaś wektor falowy Włączając zależność od czasu mamy Jest to fala płaska poruszająca się w kierunku

21. L gdzie nx, ny, i nz = +/- 1,2,3… Kwantyzacja stanów w pudełku Rozwiązanie r. Schrödingera(zaniedbując człon zależny od czasu) Teraz trzeba uwzględnić rozmiary kryształu. Rozważmy kryształ w postaci sześcianu o boku L Takie założenie prowadzi do rozwiązania w postaci fali stojącej. Jest ono równoważne periodycznemu warunkowi brzegowemu: Jednej trójce liczb nx, ny, nz odpowiada jeden wektor k.

22. y py px x z pz Swobodne elektrony kwantowo: dozwolone stany zdefiniowane są przez wektor falowy (kx, ky, kz)=(px, py, pz) ky kx kz Swobodne elektrony klasycznie:dozwolone stany są zdefiniowane przez położenie (x,y,z) i pęd (px, py, pz) Stany elektronowe zdefiniowane są przez punkt w przestrzeni k

23. 2p/L gdzie nx, ny, i nz = +/- 1,2,3… kx Stanyw przestrzeni k (3D) Jednej trójce liczb nx, ny, nz odpowiada jeden wektor k. 2D: - każda kropka reprezentuje jeden stan w przestrzeni k. -wszystkie stany są równomiernie rozłożone w przestrzeni k. -jeden stan zajmuje objętość: ky 2p/L 3D: jeden stan zajmuje jednostkową objętość w przestrzeni k: zatem liczba stanów na jednostkę objętości: Stany k są dyskretne, ale zwykle w metalu mamy do dyspozycji 1026stanów zatem można je traktować jako zbiór ciągły!

24. ky 2p/L 2p/L k+dk k kx Gęstość stanów w 3D D(k)dkjest liczbą dozwolonych stanów zawartych pomiędzy k ik+dk(tzn. liczbą stanów zawartych pomiędzy sferą o promieniu k a sferą o promieniuk+dk)= objętość w przestrzeni k x liczba stanów na jednostkę objętości w przestrzeni k: . Gęstość stanów na jednostkę objętości Równanie to jest słuszne dla wszystkich kryształów!

25. D(E)dE 2 dk k - 3 D(E)dE = 2 dE m 2 2 dE p E 3/2 æ ö 1 2m 1 ç ÷ D(E)dE = dE E 2 h 2 2 2 p è ø Gęstość stanów Każdemu stanowi k odpowiada stan o energii E. Gęstość stanów to liczba dozwolonych stanów D(E) energetycznych zawartych w przedziale E do E+dE Dla elektronów swobodnych E = 2k2/2m i dE = (2k/m)dk stąd Zgodnie z zakazem Pauliego, każdy stan może być obsadzony przez 2 elektrony o przeciwnych spinach.

26. Gęstość stanów zajętych elektronami Aby policzyć no(E)dE, tj.ilość elektronów w jednostce objętości o energiach od E do E+dE w stanie równowagi w temperaturze T, to gęstość stanów należy pomnożyć przez funkcję Fermiego-Diraca:

27. Gęstość stanów

28. Gęstość stanów

29. Koncentracja nośników Przybl. parabol. (swob.elektron): Elektrony: Dziury: m*: masa efektywna

31. Koncentracja elektronów i dziur w stanie równowagi termodynamicznej • Niech gęstość stanów = D(E)zaś prawdopodobieństwo, że zostaną zajęte elektronami = f(E), wówczas koncentracja elektronów: • f(E)D(E)maleje istotnie dla E>EC, więc mało elektronów zajmuje stany powyżej dna pasma przewodnictwa • efektywna gęstość stanów (NC):wszystkie stany są zastąpione stanami na dnie pasma przewodnictwa • koncentracja elektronów w pasmie przewodnictwa=(efektywna gęstość stanów NC) x (funkcja Fermiego): • koncentracja dziur w paśmie walencyjnym

33. Koncentracja samoistna •półprzewodnik samoistnyEF = Ei : • i ponieważ

35. Położenie poziomu Fermiegow półprzewodniku samoistnym EC EF=Ei EV półprz. samoistny dla T=0 lub Nc=Nv Krzem Eg=1.15eV m*n = 0.2me i m*p = 0.8me w 300K. Stąd:

36. Koncentracje równowagowe

38. Koncentracja równowagowa nośników w półprzewodniku domieszkowym EC EC EC EF qFn EF=Ei Ei Ei qFp EF EV EV EV samoistny N-typu P-typu

39. Koncentracja równowagowa nośników w półprzewodnikach

40. Koncentr. nośników w półprzew. domieszkowych. War. neutralności.:

41. Konc. nośników w półprz. domieszk. Warunek neutralności Donory obsadz. elektronami: Akceptory obsadz. dziurami: Czysty półprzewodnik typu n (p-podobnie) = 0 (tylko jeden typ domieszki) Przybliżenie Przykład: Si i niech n=1017 cm-3

42. gdzie

43. Temperaturowa zależność koncentracji I) Niskie temperatury wymrażanie nośników II) Wysokie temperatury nasycenie III) B. wysokie temp. n ~ ni obszar samoistny

44. Koncentracja odtemperatury gorący zimny