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Einfaktorielle Varianzanalyse (ANOVA)

Einfaktorielle Varianzanalyse (ANOVA). Einfaktorielle Varianzanalyse (ANOVA) Ziele der Varianzanalyse Formale Hypothesen Strukturgleichung und Kodierung Quadratsummenzerlegung Erwartungswerte F -Test anova und glm in SPSS Voraussetzungen der Varianzanalyse Effektstärke.

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Einfaktorielle Varianzanalyse (ANOVA)

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Presentation Transcript

  1. Einfaktorielle Varianzanalyse (ANOVA) Einfaktorielle Varianzanalyse (ANOVA) • Ziele der Varianzanalyse • Formale Hypothesen • Strukturgleichung und Kodierung • Quadratsummenzerlegung • Erwartungswerte • F-Test • anova und glmin SPSS • Voraussetzungen der Varianzanalyse • Effektstärke 05_anova11

  2. Einfaktorielle Varianzanalyse (ANOVA) Ziele der Varianzanalyse • Vergleich von Mittelwerten • Warum kein t-Test?! • Einfaktorielle ANOVA mit zweiGruppen entspricht den t-Test! 05_anova12

  3. Einfaktorielle Varianzanalyse (ANOVA) t-Test: ANOVA (F-Test): Beide Tests sind äqui-valent, d.h. sie liefern den gleichen p-Wert. Zudem gilt: F = t² = (-3.73)² = 13.89 05_anova13

  4. Alpha-Fehler Kumulierung Mehrere Gruppen: • Wenn drei Gruppen verglichen werden sollen, sind verschiedene Vergleiche möglich: (1) strukvs.bild: t(8) = -3,73; p = .006 (2) strukvs.emo: t(8) = -9.04; p = .000 (3) bildvs.emo: t(8) = -1.69; p = .129 • Frage: Hängt die Erinnerungsleistung von der Lernbedingung ab? 05_anova14

  5. Alpha-Fehler Kumulierung Mehrere Gruppen: • Bei jedem der 3 Vergleiche besteht die Gefahr fälschlicherweise einen signifikanten Effekt zu finden (α = 0.05). • Die Wahrscheinlichkeit, bei keinem der Vergleiche einen Fehler zu machen beträgt nach dem Multiplikationstheorem: p(kein Fehler) = 0.95 ∙ 0.95 ∙ 0.95 = 0.86 • Die Wahrscheinlichkeit (mindestens) einen Fehler zu machen beträgt damit: p(Fehler) = 1 - p(kein Fehler) = 1 – 0.86 = 0.14 p(Fehler) = 1 - (1- α)³ • Dies wird als α-Fehler-Kumulierung (bzw. α-Fehler-Inflation) bezeichnet. 05_anova15

  6. Alpha-Fehler Kumulierung Zwei-faktorielle Versuchspläne: • Bei 6 Gruppen gibt es bereits 15 Einzelvergleiche… p(Fehler) = 1 - (.95)15 = 1 - .46 = .54 05_anova16

  7. Alpha-Fehler Kumulierung Definition Der kumulierte α-Fehler gibt die Wahrscheinlichkeit an, mindestens einen statistisch Bedeutsamen Gruppen-unterschied zu finden, obwohl in der Population alle Gruppen gleich sind. 05_anova17

  8. Alpha-Fehler Kumulierung Bonferroni-Korrektur • Mit der Bonferoni-Korrektur wird das α-Fehler-Niveau für jeden einzelnen Test soweit herabgesetzt, dass der kumulierte Fehler nur noch .05 beträgt. • Beispiel: 6 Gruppen  15 Tests  αadj=.05 / 15 = .003 • Nachteil: Viele Gruppen  sehr niedriges Alpha-Niveau bei den einzelnen Test  geringe Power (großer β-Fehler) • Besser: Berechnung einer Varianzanalyse (Ein Test für alle Mittelwerte!) 05_anova18

  9. Einfaktorielle Varianzanalyse (ANOVA) Einfaktorielle Varianzanalyse (ANOVA) • Ziele der Varianzanalyse • Formale Hypothesen • Strukturgleichung und Kodierung • Quadratsummenzerlegung • Erwartungswerte • F-Test • anova und glmin SPSS • Voraussetzungen der Varianzanalyse • Effektstärke 05_anova19

  10. Hypothesen der Varianzanalyse Varianzanalyse für Mittelwertsvergleiche? H0: Alle Mittelwerte sind gleich: μ1 = μ2 = … = μp  μi = μj (für alle i,j) bzw. H0: Alle Effekte sind Null H0: α1 = α2 = … = αp = 0  αi = 0(für alle i) bzw. H0: Die Varianz der Effekte ist Null H0: σ²α= 0 oder σ²Effekt=0 05_anova110

  11. Hypothesen der Varianzanalyse Varianzanalyse für Mittelwertsvergleiche? H1: Mindestens zwei Mittelwerte sind verschieden μi ≠ μj (für mind. ein Paar i, j) bzw. H1: Mindestens ein Effekt ist ungleich Null αi ≠ 0(für mindestens ein i) bzw. H1: Varianz der Effekte ist größer als Null σ²α> 0 oder σ²Effekt>0  globale (ungerichtete) Alternativhypothese 05_anova111

  12. Einfaktorielle Varianzanalyse (ANOVA) Einfaktorielle Varianzanalyse (ANOVA) • Ziele der Varianzanalyse • Formale Hypothesen • Strukturgleichung und Kodierung • Quadratsummenzerlegung • Erwartungswerte • F-Test • anova und glmin SPSS • Voraussetzungen der Varianzanalyse • Effektstärke 05_anova112

  13. Strukturgleichung • Nach dem Allgemeinen Linearen Modell kann der Wert der AV für Vpi in der Bedingung j geschätzt werden als: • Wobei gilt: • Und folglich: 05_anova113

  14. Strukturgleichung Eigenschaften der Strukturgleichung • Es gilt wiederum die Bedingung der kleinsten Quadrate: • Der Mittelwert der Fehler (ei,j) ist Null: • Der Mittelwert der Effekte (aj) ist Null (ohne a0): 05_anova114

  15. Designmatrix: Dummy- und Effektkodierung Y = X∙a + e AV Designmatrix(Indikator-variablen) Effekte Fehler 05_anova115

  16. Designmatrix: Dummy- und Effektkodierung Die Varianzanalyse verwendet jedoch nur 2 Variablen (k-1), um die Zugehörigkeit zu den 3 Gruppen zu kodieren. 05_anova116

  17. Designmatrix: Dummykodierung Nachteil: Der Effekt für Gruppe 3 kann nicht mehr angegeben werden! 05_anova117

  18. Designmatrix: Effektkodierung 05_anova118

  19. Kodierung • Je nachdem, ob die Dummycodierung oder die Effektkodierung gewählt wird, ergibt sich eine unterschiedliche Strukturgleichung für „letzte“ Gruppe. • Bei der Dummykodierung: yij=a0+eij Annahme: kein Effekt in Gruppe j (Kontrollgruppe) • Bei der Effektkodierung: yij=a0+aj+eij Annahme: Effekt in Gruppe j (z.B. Placebo) 05_anova119

  20. Einfaktorielle Varianzanalyse (ANOVA) Einfaktorielle Varianzanalyse (ANOVA) • Ziele der Varianzanalyse • Formale Hypothesen • Strukturgleichung und Kodierung • Quadratsummenzerlegung • Erwartungswerte • F-Test • anova und glmin SPSS • Voraussetzungen der Varianzanalyse • Effektstärke 05_anova120

  21. Quadratsumme Freiheitsgrade Quadratsummen Quadratsummen werden zur Berechnung der Varianz verwendet: 05_anova121

  22. Quadratsummen • Die Varianz entspricht der „mittleren Quadratsummen“ (MeanSumofSquares, MS) „Quadratsumme“ (QS) oder „SumofSquares“ (SS) Freiheitsgrade oder „degrees of freedom“ 05_anova122

  23. Beispiel: Quadratsumme 05_anova123

  24. Beispiel: Freiheitsgrade der Quadratsumme 05_anova124

  25. Beispiel: Gesamtvarianz 05_anova125

  26. Quadratsummenzerlegung • Gesamt-Quadratsumme (QStotal, SStotal) • Quadratsumme innerhalb der Gruppen (QSinnerhalb, QSFehler, SSwithin,SSError) • Quadratsumme zwischen den Gruppen (QSzwischen, QSEffekt, SSbetween, SSTreatment) 05_anova126

  27. Beispiel: Varianz innerhalb der Gruppen 05_anova127

  28. Beispiel: Varianz zwischen den Gruppen 05_anova128

  29. Beispiel: Zwischenergebnisse Gesamtvarianz Varianz innerhalb Varianz zwischen 05_anova129

  30. Beispiel: Zwischenergebnisse Additivität • Quadratsummen sind additiv! • Freiheitsgrade sind additiv! • Varianzen sind nicht additiv! 05_anova130

  31. Einfaktorielle Varianzanalyse (ANOVA) Einfaktorielle Varianzanalyse (ANOVA) • Ziele der Varianzanalyse • Formale Hypothesen • Strukturgleichung und Kodierung • Quadratsummenzerlegung • Erwartungswerte • F-Test • anova und glmin SPSS • Voraussetzungen der Varianzanalyse • Effektstärke 05_anova131

  32. Erwartungswerte Gedankenexperiment 1: „Die H0 gilt in der Population“ • Gegeben seien zwei Populationsverteilungen, mit µ1 = µ2 = 7.5 und identischen Populationsvarianzen von σ1 = σ1 = 2.25 • Aus jeder Population wird eine Stichprobe der Größe N=5 gezogen und es wird die Varianz innerhalb und die Varianz zwischen den Bedingungen berechnet • Der Vorgang wird sehr oft wiederholt und der Mittelwert (Erwartungswert) der beiden Varianzen wird berechnet 05_anova132

  33. Gedankenexperiment 1: „Die H0 gilt“ Gedankenexperiment 1: „Die H0 gilt in der Population“ • Varianz innerhalb der Gruppen: • „Varianz innerhalb“ schätzt die Fehlervarianz • Varianz zwischen den Gruppen: • „Varianz zwischen“ schätzt Effekt- und Fehlervarianz • Unter der Nullhypothese ist Effektvarianz=0 05_anova133

  34. Gedankenexperiment 1: „Die H0 gilt“ Gedankenexperiment 1: „Die H0 gilt in der Population“ • Unter der Nullhypothese schätzt die Stichprobenvarianz innerhalb der Gruppen die Fehlervarianz in der Population • Die Stichprobenvarianz zwischen den Gruppen schätzt ebenfalls die Fehlervarianz in der Population 05_anova134

  35. Gedankenexperiment 2: „Die H1 gilt“ Gedankenexperiment 2: „Die H1 gilt in der Population“ • Gegeben seien zwei Populationsverteilungen, mit µ1 = 5 und µ2 = 10 und identischen Populationsvarianzen von σ1 = σ2 = 2.25 • Aus jeder Population wird eine Stichprobe der Größe N=5 gezogen und es wird die Varianz innerhalb und die Varianz zwischen den Bedingungen berechnet • Der Vorgang wird sehr oft wiederholt und der Mittelwert (Erwartungswert) der beiden Varianzen berechnet 05_anova135

  36. Gedankenexperiment 2: „Die H1 gilt“ Gedankenexperiment 2: „Die H1 gilt in der Population“ • Varianz innerhalb der Gruppen: • „Varianz innerhalb“ schätzt die Fehlervarianz • Varianz zwischen den Gruppen: 05_anova136

  37. Gedankenexperiment 2: „Die H1 gilt“ Gedankenexperiment 2: „Die H1 gilt in der Population“ • Unter der Alternativhypothese schätzt die Stichprobenvarianz innerhalb der Gruppen die Fehlervarianz in der Population • Die Stichprobenvarianz zwischen den Gruppen schätzt die Summe aus Effekt- und Fehlervarianz in der Population 05_anova137

  38. Gedankenexperimente: Zwischenergebnisse Ergebnisse: 05_anova138

  39. Einfaktorielle Varianzanalyse (ANOVA) Einfaktorielle Varianzanalyse (ANOVA) • Ziele der Varianzanalyse • Formale Hypothesen • Strukturgleichung und Kodierung • Quadratsummenzerlegung • Erwartungswerte • F-Test • anova und glmin SPSS • Voraussetzungen der Varianzanalyse • Effektstärke 05_anova139

  40. Der F-Test Der F-Test vergleicht zwei Varianzen: • Hypothesen: • H0: Varianzen gleich groß  F ≤ 1 • H1: Zählervarianz größer  F > 1 • Wenn Femp > Fkritwird die H0 verworfen • Fkrithängt ab von … • dfZähler • dfNenner • α 05_anova140

  41. Der F-Test Der F-Bruch für die einfaktorielle ANOVA 05_anova141

  42. Der F-Test Der F-Bruch für die einfaktorielle ANOVA • Interpretation des F-Wertes: • F = 1 σbetween = 0 H0annehmen • F > 1 σbetween > 0 H0 verwerfen 05_anova142

  43. Der F-Test Darstellung von F-Tests in Forschungsberichten: • Signifikante Ergebnisse: • „Es findet sich ein signifikanter Einfluss des Faktors Therapiemethode, F(2, 37) = 5.34; p < .05.“ • „Es findet sich ein signifikanter Einfluss des Faktors Therapiemethode (F[2, 37] = 5.34; p < .01).“ • Nicht-signifikante Ergebnisse: • „Es findet sich kein signifikanter Einfluss des Faktors Therapiemethode, F(2, 37) = 1.44; n.s.“ • „Es findet sich kein signifikanter Einfluss des Faktors Therapiemethode (F[2, 37] = 1.44; p =.25).“ • „Es findet sich kein signifikanter Einfluss des Faktors Therapiemethode, F < 1.“ 05_anova143

  44. Der F-Test Darstellung von F-Tests in Forschungsberichten: • Die Angaben zum F-Test werden in der Regel am Ende des Satzes mit Komma getrennt (oder in Klammern) angegeben. • Folgende Angaben müssen aufgeführt werden: • F-Wert • Zähler und Nennerfreiheitsgrade • p-Wert (exakt oder Signifikanzniveau) • Für F und p werden immer exakt zwei Nachkommastellen angegeben • Ausnahmen: • Bei nicht-signifikanten Ergebnissen darf die Angabe des p-Werts weggelassen werden. In diesem Fall wird einfach „n.s.“ für „nicht signifikant“ angehängt. • Bei F<1 darf die Angabe der Freiheitsgrade und des p-Werts weggelassen werden. 05_anova144

  45. Beispiel: F-Test Beispiel: Durchführung des F-Tests • Gedächtnisexperiment • drei Gruppen, je n=5 • UV: Instruktion • Konsonanten zählen • bildlich vorstellen • Emotionalität beurteilen • AV: Anzahl erinnerter Wörter 05_anova145

  46. Beispiel: F-Test Schritte bei der Durchführung des F-Tests • Gruppen- und Gesamtmittelwerte bilden • Quadratsummen berechnen • Freiheitsgrade berechnen • Mittlere Quadratsummen berechnen • Empirischen F-Wert berechnen • Vergleich mit kritischem F-Wert 05_anova146

  47. 1. Gruppen- und Gesamtmittelwerte bilden 05_anova147

  48. 2. Quadratsummen berechnen Quadratsumme zwischen: 05_anova148

  49. 2. Quadratsummen berechnen Quadratsumme innerhalb: 05_anova149

  50. 3. Freiheitsgrade berechnen 05_anova150

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