OBSAH

1. OBSAH • Množiny • Variácie • Výroky

2. Množiny • MNOŽINA: Súhrn, súbor objektov. Je určená , keď presne vymedzíme, ktoré objekty do nej patria. • Množinu určujeme: - vymenovaním všetkých jej prvkov, napr. A= { 1, 2, 3 } - udaním charakteristickej vlastnosti prvkov patriacich do množiny, napr. B = {x Î N, x > 9 } • Znázornenie množín - pomocou Vennových diagramov, množiny v nich znázorňujeme jako pretínajúce sa ovály.

3. Prvok množiny: objekt, ktorý do nej patrí. Zápis: x Î A, čítaj x je prvkom A, x patrí do A x Ï A, x nie je prvkom množiny A • Prázdna množina: množina, ktorá neobsahuje žiadne prvky. Zápis: Æ • VZŤAHY MEDZI MNOŽINAMI: • Rovnosť množín A, B. Množiny A, B sa rovnajú, ak každý prvok množiny A je prvkom množiny B a každý prvok množiny B je prvkom množiny A. A = BÛ " x ; x Î AÛ x Î B • Množinová inklúzia - Množina A je podmnožinou množiny B, ak každý prvok množiny A je zároveň prvkom množiny B. Zápis: A Ě B, A Ě BŰ" x ; x ÎA Ţ xÎB

4. Zjednotenie množín A, B - je množina AČ B, ktorá obsahuje práve tie prvky, ktoré patria aspoň do jednej z množín A, B. x Î A Č B Ű x ÎA Ú x Î B • Prienik množín A, B je množina A Ç B, ktorá obsahuje práve tie prvky, ktoré patria súčasne do oboch množín A, B. x Î A Ç B Ű x ÎA Ů x Î B • Disjunktné množiny: Ak A Ç B = Ć , hovoríme, že A, B sú disjunktné. • Rozdielom množín A, B (v uvedenom poradí) nazývame množinu A - B, ktorá obsahuje práve tie prvky, ktoré sú prvkami množiny A a nie sú prvkami množiny B. x Î A - B Ű x ÎA Ů x Ď B • Doplnok (komplement) množiny A v jej nadmnožine U je množina všetkých prvkov množiny U, ktoré nepatria do množiny A. Zápis: A´U = U - A

5. Doplnok (komplement) množiny A v jej nadmnožine U je množina všetkých prvkov množiny U, ktoré nepatria do množiny A. Zápis: A´U = U - A Príklad: do kruhu je vpísaný štvorec. C-množina všetkých bodov daného kruhu, D-množina všetkých bodov štvorca. Určte:CD,CD,C-D,D-C Riešenie: CD = D CD = C C-D = vyznačené šrafovaním D-C = 

6. Variácie • Variácie s opakovaním: Nech n,k sú prirodzené čísla, pričom platí: k  a nech je daná konečná množina M, ktorá ma n prvkov. Každá usporiadaná k-tica zostavená z prvkov množiny M. Táto definícia pripúšťa v jednotlivých usporiadaných k-ticiach opakovanie prvkov množiny M. Preto takéto variácie nazývame variácie s opakovaním. Počet všetkých variácií k-tej triedy z n prvkov s opakovaním označujeme V´(k,n), resp. V´k(n). Pre všetky prirodzené čísla k,n (k  n) platí: V´(k,n) = nk.

7. Variácie bez opakovania: Nech n,k sú prirodzené čísla. Každá usporiadaná k-tica zostavená z prvkov množiny M (M je daná konečná množina s n prvkami) tak, že sa v nej ani jeden prvok neopakuje, nazýva sa variácia k-tej triedy z n prvkov bez opakovania. Počet všetkých variácií k-tej triedy z n prvkov bez opakovania označujeme V (k,n), resp. Vk(n). Pre všetky prirodzené čísla n,k platí: V(k,n) = n.(n-1).....(n-k+1) = n!/(n-k)!. Pr. M = (a,b,c) n = 3 - variácie 2. Triedy y 3 prvkov množiny M s opakovaním: a,a; a,b; a,c; a,b; b,b; b,c; c,a; c,b; c,c; ich počet: V´(2,3) = 32 = 9 - variácie 2 triedy z 3 prvkov množiny M bez opakovania: a,b; a,c; b,a; b,c; c,a; c,b; ich počet: V(2,3) = 3!/(3-2)! = (3.2.1)/1 = 6

8. Výroky a operácie s nimi • Výroky: Sú také zrozumiteľné oznamovacie vety, ktoré môžu byť len pravdivé alebo nepravdivé, teda vieme určiť ich pravdivostnú hodnotu. Pravdivostnou hodnotou výroku rozumieme jednu z dvoch jeho kvalít: pravdivosť ( 1 ), resp. nepravdivé ( 0 ). Hypotézou = domienkou rozumieme výrok, ktoré pravdivostnú hodnota je neznáma (Dožijem sa sto rokov). Kvantifikátory sú slovné väzby, ktoré obsahujú premennú a udávajú počet alebo odhad počtu hodnôt premennej, pre ktorú niečo platí.

9.  n  N...všeobecný kvantifikátor (pre každé prirodzené číslo n platí)  x  R...existenčný kvantifikátor (existujú také reálne číslo x, pre ktoré platí) Výroky, ktoré obsahujú len všeobecný, resp. len existenčný kvantifikátor, nazývame všeobecné, resp. existenčné výroky. • Operácie s výrokmi: Z jednoduchých výrokov môžeme pomocou operácií s výrokmi vytvárať nové výrobky. Dva a viac výrokov spájame do zložených výrokov (súvetí) pomocou logických spojok. Logické spojky sú slová, resp. skupiny slov (slovné spojenia), ktorými spájame výroky:

10. Nie je pravda, že platí výrok a alebo ak / keď, tak / potom práve vtedy, keď / vtedy a len vtedy Negácia výroku: A´ Ak označíme ľubovolný výrok písmenom A, tak potom výrok: nie je pravda, že platí výrok A, nazývame negáciou výroku A. Výrok a jeho negácia majú vždy opačné pravdivostné hodnoty. Negovanie výrokov s údajmi o počte: výrok negácia výroku ...každý...je... aspoň jeden...nie je... aspoň jeden...je... nijaký/žiaden...nie je... aspoň n...je...(n1) najviac n-1...je/sú... najviac n..je..(n1) aspoň n+1...je/sú...

11. Konjunkcia dvoch výrokov A,B: AB Konjunkcia dvoch výrokov A,B je výrokov vytvorený spojením dvoch výrokov logickou spojkou a. Konjunkcia dvoch výrokov je pravdivý výrok práve vtedy, keď sú pravdivé oba výrobky súčastne. Alternatíva dvoch výrokov A,B: AB Alternatíva dvoch výrokov A,B je výrok vytvorený logickou spojkou alebo. Alternatíva dvoch výrokov je pravdivý výrok práve vtedy, ak je pravdivý aspoň jeden z daných výrokov. Implikácia dvoch výrokov A,B: AB Implikácia je výrok utvorený z dvoch výrokov A,B tak, že k prvému výroku A pridáme slovo ak/keď a k druhému výroku B pridáme slovo tak/potom.

12. Implikácia je nepravdivý výrok práve vtedy, ak je prvý výrok A pravdivý a druhý výrok B nepravdivý. Ekvivalencia (obojstranná implikácia (AB)(BA)) AB Ekvivalencia je výrok utvorený z dvoch výrokov pomocou logickej spojky práve vtedy, keď; resp. vtedy a len vtedy. Ekvivalencia je pravdivá práve vtedy, ak majú výroky A,B rovnakú pravdivostnú hodnotu. Vo výrokovej logike sa výhodne uplatňujú dichotomické tabuľkové zápisy:

13. ZÁVER • Pripravila:Vierka Francisciová • Školský rok:2001/2002 • Trieda:1.C