Definibilidade em Lógica (I)

1. Definibilidade em Lógica (I) Uma linguagem não-lógica L Fórmulas sobre L Estruturas para L Mod  Mod() Mod()  => 1- Um conjunto de fórmulas “define” uma classe de estruturas 2- Axiomatização de uma Classe de estruturas

2. Questões Naturais : 1- Todo conjunto de fórmulas (sobre L) define uma classe de estruturas ?? 2 - Qual o conjunto de fórmulas que define a classe de todas as estruturas para uma linguagem L ? 3- Toda classe de estruturas é definível por um conjunto de fórmulas, ou seja todas as classes de estruturas são elementares ?? 4- Toda classe de estruturas é definível por uma única fórmula ?? => Existem classes não elementares

3. Teorema da Completude:  |=  se e somente se  |-  Teorema da Compacidade:  é finitamente satisfatível sss  é satisfatível Teorema da Compacidade:  é finitamente satisfatível sss  é satisfatível  finitamente satisfatível = Para todo  finito com    tem-se  sat. => A Classe das estruturas (para L fixa) infinitas não é definível por nenhuma fórmula. (isto é, não é elementar) => A Classe das estruturas (para L fixa) finitas não é definível por nenhum conjunto de fórmulas

4. Definibilidade em Lógica (I) Cn  Cn Para cada estrutura S tem-se a linguagem LS da estrutura Estrutura S Fórmulas para LS Th Th(S) 1- Definibilidade de uma estrutura !!!! 2- Axiomatização da Teoria de uma Estrutura

5. Definibilidade em Lógica (I) h(s) s Homomorfismo de Estruturas h P Q Ph b h(b) a h(a) f(a,b) h(f(a,b)) = fh(h(a),h(b)) = g(h(a),h(b)) h S1 |S1| f P |S2| g Q S2 fh <|S1|,f,P> <|S2|,g,Q> Ph

6. Definibilidade em Lógica (I) Subestruturas e Extensões Def. Sejam S1 e S2 duas estruturas tais que a função de inclusão S1 S2 é um homomorfismo. Diz-se que S1 é subestrutura de S2, e que S2 é uma extensão de S1. Def. Sejam S1 e S2 duas estruturas e h: S1 S2 um homomorfimo bijetivo (injetivo e sobrejetivo), então h é dito ser um isomorfimo de estruturas e S1 é dita ser isomorfa a S2 (S1 S2) => Estruturas isomorfas satisfazem as mesmas fórmulas ??? => Estruturas que satisfazem as mesmas fórmulas são isomorfas ???

7. Definibilidade em Lógica (I) sss |= P(t1,...,tn) |= P(t1,...,tn) <S1,> <S2,h> sss sss <h((t1)),....., h((tn))>  PS2 <(t1),....., (tn)>  PS1 1. Se  não possui quantificadores nem a igualdade. a 2. Se  não possui quantificadores mas sim a igualdade e h é um homomorfismo injetivo h(a)=h(b) b 3. Se  possui quantificadores e mas não a igualdade e h é um homomorfismo sobrejetivo S1 S2 h(|S1|) t1=t2 t1=t2 sss |=  |=  c <S1,> <S2,h> x x S1 S2 Teorema do homomorfimo: Seja h homomorfismo de S1 em S2 (estruturas para L)  Vars |S1| h h   |S2|

8. Definibilidade em Lógica (II) Definibilidade em uma estrutura: (x1,...,xn) uma fórmula na linguagem da estrutura S (x1,...,xn) define uma relação n-ária (um subconjunto de Sn) [[(x1,...,xn) ]] = { <a1,...,an> / ai |S| e |= (x1,...,xn) } <S,[a1/x1,...an/xn]> Exemplos: 1. Em <N,suc>: [[y(suc(y)=x)]]={0}, [[z (y(suc(y)=z)(suc(z)=x)]]={1} e [[suc(suc(x1)=x2)]]={<a1,a2>/ a1+2=a2 e a1,a2  N} 2. Em <R,,+>: [[y(+(y,x)=y]]={0}, [[y((y, y)=x)]]={r / r  R e r0}, [[y((x1+y=x2)  (+(y,y) y))]]={<r1,r2> / r1<r2 e r1,r2  R Obs: Às vezes a notação infixa é usada : x+y no lugar de +(x,y)

9. Definibilidade em Lógica (II) Homomorfismo e Definibilidade Def. Um Automorfismo é um isomorfismo (homomorfismo bijetivo) de uma estrutura nela mesma. Corolário: Seja S uma estrutura e h:S S um automorfismo, então ASn é definível, se e somente se, h(A) Sn é definível. ==> O Corolário acima é uma boa ferramenta para mostrar que algumas relações/conjuntos não são definíveis. Exemplos: 1- Na estrutura <N> nenhum conjunto diferente do vazio e do N é definível (em particular o número zero não é definível). Qualquer função bijetiva é um automorfismo em N. 2- Em <N,> a adição não é definível, pois o a função: f(3)=2, f(2)=3 e f(x)=x caso contrário, é um automorfismo em <N ,> que não preserva a adição.

10. Definibilidade em Lógica (II) Relações de extensibilidade própria entre estruturas sobre N. <N, ,+ > <N,  > <N,+> < N,< > <N,s>