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Pierre Fermat

Pierre Fermat. Übersicht. Biographie Fermatzahlen Kleiner Satz von Fermat Grosser Satz von Fermat. Biographie. Geboren in Beaumont-de-Lomagne in Frankreich Studierte in der Universität in Toulouse Mathematik als Hobby Grosse Karriere nach Jusstudium Fälschlicherweise als Tod erklärt

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Presentation Transcript

  1. Pierre Fermat

  2. Übersicht • Biographie • Fermatzahlen • Kleiner Satz von Fermat • Grosser Satz von Fermat

  3. Biographie • Geboren in Beaumont-de-Lomagne in Frankreich • Studierte in der Universität in Toulouse • Mathematik als Hobby • Grosse Karriere nach Jusstudium • Fälschlicherweise als Tod erklärt • Kontakt zu div. Mathematikern

  4. Fermatzahlen • Frage: gibt es unter den Zahlen 2k+1 (3, 5, 9, 17, ..) unendlich viele Primzahlen? • Fermat bewies nun: 2k+1 prim  k=2n. • Wenn k keine Zweierpotenz ist, so hat k einen ungeraden Teiler m. • Es sei k=s×m. Dann gilt 2k+1=2s×m+1=(2s)m+1m. • Dieser Term ist aber durch 2s+1 teilbar und damit nicht prim.

  5. Fermatzahlen • Vermutun, dass die Zahlen Fn: 22^n+1 für alle n>0 prim seien.

  6. Kleiner Satz von Fermat • ap-1-1 immer durch die Primzahl p ganzzahlig teilbar, wenn a eine natürliche Zahl ist und 0<a<p

  7. Kleiner Satz von Fermat • 4× 1=4=4 mod 7; 4×2=8=1 mod 7; 4×3 =12=5 mod 7; 4×4=16=2 mod 7; 4×5 =20=6 mod 7; 4× 6=24=3 mod 7 • (4×1)× (4×2)× (4×3)× (4×4)× (4×5)× (4×6)=4×1×5×2×6×3 mod 7 • 6!×46=6! mod 7 • 46=1 mod 7 • denn 6! und 7 sind teilerfremd.

  8. Kleiner Satz von Fermat • Es sei p prim und a<p mit a>1 • m1=1×a, m2=2×a, m3=3×a,...,mp-1=(p-1)×a • Die p-1 mi repräsentieren (beim teilen durch p) die Restklassen von 1 bis p-1. • 1×2×3×...×(p-1)×ap-1=m1×m2×m3×...×mp-1 =1×2×3×...×(p-1) mod p • (p-1)!×ap-1=(p-1)! mod p ((p-1)! und p sind teilerfremd) • ap-1=1 mod p • Kleiner Satz von Fermat: ap-1-1 = 0 mod p

  9. Anwendung (von Fermatzahlen) • Welchen Rest läßt 2955 mod 53? • 2955=2952+3=2952× 293=1×24389 mod 53 =9 mod 53

  10. Grosser Satz von Fermat • Satz von Pythagoras: a2+b2=c2 • a: = m2 - n2 , b: = 2mn , c: = m2+n2 • a2+b2 = (m2 - n2)2+(2mn)2 =m4+2m2n2+n4 = (m2+n2)2 = c2 • an + bn = cn a, b, c, n sind natürliche Zahlen n > 2  keine Lösung

  11. Grosser Satz von Fermat • Fermat bewies für n = 4 • Euler bewies für n = 3 • Arbeitsgruppen aus Mathematikern konnten Fermats Vermutung erst für Werte von n bis 500, dann bis 1 000, schließlich bis 25 000 beweisen • 1993 veröffentlichte Andrew Wiles einen fehlerhaften Beweis • 1995 Andrew Wiles erbrachte beim zweiten Versuch den endgültigen Beweis

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