UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID D epartamento de Fundamentos del Análisis Económico I

1. UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRIDDepartamento de Fundamentos del Análisis Económico I Microeconomía Superior II: Optimización (1) Rafael Salas

2. Esquema... La empresa: Producción Optimización Estática comparativa Mercados

3. El problema de la optimización • Tendremos que plantear y resolver un problema estándar de optimización • Hagamos una lista de sus componentes • ... Y resolvámoslo

4. La optimización • Objetivos • Restricciones • Método • Maximización de beneficios • -Tecnológicas y económicas • -Primal -Dual

5. La función objetivo • Usamos información sobre precios.. wi • precio del input i P • Precio del output • …y sobre cantidades… zi • cantidad del input i Y • cantidad del output Cómo se hace • …para construir la función objetivo

6. m i=1 m i=1 Swi zi Swi zi La función objetivo • Coste de los inputs: • para los m inputs • Ingresos: P Y • Restamos C de I: • Beneficios: PY –

7. Esquema... Optimización: Problema primal Problema dual

8. m i=1 Swi zi Optimización: el problema primal • Elegimos Y y z que maximizan: P:= PY – • ...sujeto a la restricción tecnológica... • Podríamos escribirlo: zZ(Y) Y £ F(z) • ...y a restricciones obvias: • No podemos tener valores de output o inputs negativos z³ 0 Y³0

9. Método de optimización • Si F es diferenciable… • Planteamos el Lagrangiano L(... ) ¶ L(... ) = 0 ¶z • Establecemos las condiciones de primer orden (CPO) c. necesaria • Verificamos las conditiones de segundo orden ¶2  L(... ) ¶z2 c. suficiente • Usamos las CPO para caracterizar la solución z* = …

10. El equilibrio de la empresa Obtención de la elección óptima Y, z que resuelve el siguiente problema optimizador: Max P(Y,z)=PY- wi zi s.a: Y = F (z) En el caso de dos bienes m=2, obtención de Y, z1 ,z2 que solucione: Max P(Y, z1 ,z2)=PY- w1z1 -w2 z2 s.a: Y = F ( z1 ,z2) donde P, w1 yw 2 son parámetros conocidos Con signo =

11. El equilibrio de la empresa: derivación análitica Solución:  P/  z1 = 0  P Y/z1 = w1  P /  z2 = 0  P Y/z2 = w2  P Pmg z1 = w1  P Pmg z2 = w2

12. Oferta de producto y demanda de factores Y Pmgz1 = w1/P F(z) Y* Y* y z1* óptimos z z1* 1

13. El equilibrio de la empresa: derivación análitica (2) • Solución: Pmg z1 w1 Pmg z2 w2 RMST

14. A Demanda de factores z2*/ z1* isocuanta por Y* z2* z1*

15. Demanda de factores z2 • z1* yz2* óptimos z2*/ z1* • A' Pmgz1/Pmgz2=w1/w2 • A z2* (Y*) z1 z1*

16. Las funciones de oferta de producto y demanda de factores • El equilibrio de la empresa nos va a servir para estudiar las respuestas óptimas de la empresa ante variaciones en los precios • Se trata de efectuar ejercicios de estática comparativa y observar las distintas situaciones de equilibrio ante condiciones cambiantes • Toda esta información se trasmite a través de las funciones de oferta de producto y demanda de factores:

17. Las funciones de oferta de producto y demanda de factores función de los precios Y* = Ys(P,w1 ,...,wm) z1* = z1d (P,w1 ,...,wm) ... ... ... zm* = zmd (P,w1 ,...,wm) ü ý þ

18. Las funciones de oferta de producto y demanda de factores • La f. de oferta es no decreciente en el precio P • La f. de demanda de factores es no creciente en sus precios • Homogéneas de grado 0 en P y w

19. Las funciones de beneficios Si introducimos Ys (P,w1 ,w2 ), z1d (P,w1 ,w2 ) yz2d (P,w1 ,w2 ) en la definición de los beneficios obtenemos la función de beneficios: P (P,w1 ,w2 ) = PYs (P,w1 ,w2 ) - w1z1d (P,w1 ,w2 ) -w2z2d (P,w1 ,w2 ) Indica el máximo beneficio obtenible con los precios del sistema (es análogo a la f. indirecta de utilidad en el problema primal del consumidor)

20. Las funciones de beneficios • La f. de beneficios es no decreciente en el precio del producto P • La f. de beneficios es no creciente en los precios deos factores • Homogéneas de grado 1 en P y w • Lema de Hotelling...

21. Las funciones de beneficios • Lema de Hotelling: • dP (P,w1 ,w2 )/dP= Ys(P,w1 ,w2 ) • dP (P,w1 ,w2 )/dw1= - z1d(P,w1 ,w2 ) • dP (P,w1 ,w2 )/dw2= - z2d(P,w1 ,w2 )

22. Práctica • Calcula la demanda de factores, la oferta de producto y la función de beneficios de: Y= z11/2z2 1/2 Y= (z11/2+z2 1/2)2 Comprueba el lema de Hotelling .

23. Práctica • Calcula la demanda de factores, la oferta de producto y la función de producción dada la función de beneficios: Π=p2 (1/4z1+1/z2 ) .

24. Una advertencia • Hemos hecho uso de las CPO (de tangencia) en todo el análisis. • No obstante • …algunas veces llegamos a resultados ambiguos • …otras veces el resultados está indefinido • Por lo tanto es conveniente comprobar si este método es el apropiado • Probablemente debamos usar otro método para encontrar el óptimo • Veremos ejemplos en el problema dual…

25. Esquema... Optimización: Problema primal Problema dual

26. UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRIDDepartamento de Fundamentos del Análisis Económico I Microeconomía Superior II: Optimización (1) Rafael Salas