Bài giảng môn học Xử Lý Tín Hiệu Số

BàigiảngmônhọcXửLýTínHiệuSố Giảngviên: LãThếVinh Email: vinhlt@soict.hut.edu.vn Chú ý:bàigiảngcósửdụngcáchọcliệuđượctừbàigiảngcủaGiảngviênLêDuy Minh, TrườngĐạihọcKỹthuậtCôngnghiệpTháiNguyên.

BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRÊN MIỀN Z • MỞ ĐẦU Biếnđổitrongxửlýtínhiệu • Phươngphápphổbiếntrongxửlýtínhiệu: biếnđổitínhiệutừkhônggiantựnhiêncủanó (miềnthờigian) sang khônggian (miền) khác. • Vídụ: biếnđổitínhiệutừmiềnthờigian sang miềntầnsố x(n) = sin 2f0n  m(f) = 1 nếuf = f0, 0 nếuf  f0. • x(n) = asin 2f1n + bsin 2f2n  m(f) = anếuf = f1, bnếuf = f2, 0 cònlại.

BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRÊN MIỀN Z • MỞ ĐẦU Lựachọnbiếnđổi • Tínhiệusaukhiđượcbiếnđổisẽhộitụtrongmộtvàivùngcủamiềnbiếnđổi thuậntiệnchoviệckhảosátcácđặctrưng. • Phảitồntạibiếnđổingược  cóthểthựchiệnviệcchỉnhsửatínhiệutrongmiềnbiếnđổivàthulạiđượctínhiệuđãchỉnhsửatrongkhônggiantựnhiên (miềnthờigian) củatínhiệu.

BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRÊN MIỀN Z • BIẾN ĐỔI Z Địnhnghĩabiếnđổi Z haiphíavàmộtphía Biếnđổi Z haiphía • Địnhnghĩa :Biếnđổi Z haiphíacủadãy x(n) làchuỗilũythừacủabiếnsốphức z : • Miền xác định của hàm X(z) là các giá trị của z để chuỗi trên hội tụ hay • Ký hiệu như sau • Dãy x(n) được gọi là hàm gốc, còn X(z) được gọi là hàm ảnh Z. • Biến đổi Z hai phía thường được gọi vắn tắt là biến đổi Z.

BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRÊN MIỀN Z • BIẾN ĐỔI Z Địnhnghĩabiếnđổi Z haiphíavàmộtphía Biến đổi Z hai phía Hãy xác định biến đổi Z hai phía của các dãy sau : d. b. a. c. h. f. e. g. a. xác định với mọi z. xác định với mọi z khác 0 b. xác định với mọi z khác vô cùng c. d.

BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRÊN MIỀN Z • BIẾN ĐỔI Z Địnhnghĩabiếnđổi Z haiphíavàmộtphía Biến đổi Z hai phía e. f. g. h.

BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRÊN MIỀN Z • BIẾN ĐỔI Z Địnhnghĩabiếnđổi Z haiphíavàmộtphía Biến đổi Z một phía • Định nghĩa : Biến đổi Z một phía của dãy x(n) là chuỗi lũy thừa của biến số phức z : • Miền xác định của hàm X1(z) là các giá trị của z để chuỗi trên hội tụ hay • Ký hiệu như sau • Dãy x(n) được gọi là hàm gốc, còn X1(z) được gọi là hàm ảnh Z.

BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRÊN MIỀN Z • BIẾN ĐỔI Z Địnhnghĩabiếnđổi Z haiphíavàmộtphía Biến đổi Z một phía Hãy xác định biến đổi Z một phía của các dãy sau : d. b. a. c. h. f. e. g. a. xác định với mọi z. xác định với mọi z khác 0 b. c. d.

BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRÊN MIỀN Z • BIẾN ĐỔI Z Địnhnghĩabiếnđổi Z haiphíavàmộtphía Biến đổi Z hai phía e. f. g. h.

BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRÊN MIỀN Z • BIẾN ĐỔI Z Địnhnghĩabiếnđổi Z haiphíavàmộtphía So sánh biến đổi Z một phía và hai phía • Với biến đổi Z một phía tổng theo n chỉ chạy từ 0 đến ∞ • Biến đổi Z một phía không biểu diễn được tín hiệu x(n) với miền biến số độc lập âm • Biến đổi Z một phía và hai phái của tín hiệu nhân quả là như nhau • Đối với tín hiệu nhân quả, biến đổi Z một phía là duy nhất

BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRÊN MIỀN Z Im[Z] • BIẾN ĐỔI Z Địnhnghĩabiếnđổi Z haiphíavàmộtphía Re[Z] Mặt phẳng Z 0 Im[Z] r=1 Re[Z]  0

BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRÊN MIỀN Z • BIẾN ĐỔI Z Sựtồntạicủabiếnđổi Z Miền hội tụ của biến đổi Z • Tập hợp tất cả các giá trị của biến số phức z mà tại đó các chuỗi X(Z) hội tụ được gọi là miền hội tụ của biến đổi Z. • Miền hội tụ của biến đổi Z được ký hiệu là : RC[X(z)] hoặc RC • Xét trường hợp x(n) là dãy không nhân quả vô hạn xác định trong khoảng (- , ), biến đổi Z hai phía của x(n) • Để tìm miền hội tụ của chuỗi trên cần sử dụng tiêu chuẩn hội tụ của Cauchy

BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRÊN MIỀN Z Nếu thì chuỗi hội tụ khi l < 1 , phân kỳ khi l > 1. • BIẾN ĐỔI Z Sựtồntạicủabiếnđổi Z Tiêu chuẩn hội tụ Cauchy : Xét chuỗi số vô hạn Sử dụng tiêu chuẩn Cauchy xác định miền hội tụ ta tách X(z):

BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRÊN MIỀN Z Sẽ hội tụ nếu thỏa mãn điều kiện : • BIẾN ĐỔI Z Sựtồntạicủabiếnđổi Z Tiêu chuẩn hội tụ Cauchy : Nếu tồn tại Rx-:

BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRÊN MIỀN Z • BIẾN ĐỔI Z Sựtồntạicủabiếnđổi Z Tiêu chuẩn hội tụ Cauchy : Với X1(Z) đổi biến đặt m = - n ta có : Nếu tồn tại Rx+:

BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRÊN MIỀN Z • BIẾN ĐỔI Z Sựtồntạicủabiếnđổi Z Tiêu chuẩn hội tụ Cauchy : là giao các miền hội tụ của và Nếu thì Dãy phản nhân quả Dãy không nhân quả Dãy nhân quả

BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRÊN MIỀN Z • BIẾN ĐỔI Z Sựtồntạicủabiếnđổi Z Bài tập ví dụ

BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRÊN MIỀN Z • BIẾN ĐỔI Z Sựtồntạicủabiếnđổi Z Bảng tổng kết miền hội tụ của biến đổi Z

BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRÊN MIỀN Z • BIẾN ĐỔI Z Điểmcựcvàđiểmkhông • Vì biến đổi Z là chuỗi lũy thừa của z nên có thể biến đổi hàm X(z) về dạng phân thức hữu tỷ : • Trong đó A và các hệ số ar, bk là các hằng số thực. • Phương trình B(z) = 0 có M nghiệm là z0kgọi là điểm không của hàm X(z). • D((z) = 0 có N nghiệm zprlà gọi là điểm cực của X(z).

BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRÊN MIỀN Z • BIẾN ĐỔI Z Tổngkết Biến đổi Z của các dãy nhân quả thường gặp

BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRÊN MIỀN Z • BIẾN ĐỔI Z Tổngkết Biến đổi Z của các dãy phản nhân quả thường gặp

BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRÊN MIỀN Z • BIẾN ĐỔI Z Biến đổi Z của các dãy phản nhân quả thường gặp Tổngkết

BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRÊN MIỀN Z • BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC Địnhnghĩa • Theo định lý Cauchy về tích phân theo chiều dương trên đường cong khép kín C bao quanh gốc tọa độ trong mặt phẳng phức có : • Từ biểu thức của biến đổi Z • Nhân cả hai vế với , lấy tích phân theo chiều dương trên C

BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRÊN MIỀN Z • BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC Địnhnghĩa • Đổi vị trí của dấu tổng và dấu tích phân ở vế phải • Theo Cauchy tất cả các số hạng của chuỗi ở vế phải của trừ m = n ta có biểu thức của phép biến đổi Z ngược • Ký hiệu như sau

BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRÊN MIỀN Z • BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC Cácphươngphápbiếnđổi Z ngược • Tìm biến đổi Z ngược để xác định dãy x(n) bằng cách tính trực tiếp tích phân thường rất phức tạp, vì thế người ta xây dựng các phương pháp gián tiếp sau để tìm biến đổi Z ngược : • - Phương pháp thặng dư. • - Phương pháp khai triển X(z) thành chuỗi lũy thừa • - Phương pháp phân tích X(z) thành tổng các phân thức đơn giản.

BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRÊN MIỀN Z được gọi là thặng dư của hàm Q(z) và được tính theo biểu thức : • BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC Cácphươngphápbiếnđổi Z ngược Phương pháp thặng dư. Nếu Q(z) có một cực bội bậc q tại thì có thể phân tích Q(z) thành : Trong trường hợp riêng, nếu là nghiệm đơn thì

BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRÊN MIỀN Z • BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC Cácphươngphápbiếnđổi Z ngược Phương pháp thặng dư. • Để tìm biến đổi Z ngược, áp dụng phương pháp thặng dư cho hàm Giả sử Q(z) có m cực bội bậc qi thì có thể phân tích Q(z) thành tổng :

BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRÊN MIỀN Z • BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC Cácphươngphápbiếnđổi Z ngược Phương pháp thặng dư.

BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRÊN MIỀN Z • BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC Cácphươngphápbiếnđổi Z ngược Phương pháp khai triển X(z) thành chuỗi lũy thừa • Vì X(z) là hàm giải tích của z, nên trong miền hội tụ của nó, có thể khai triển X(z) thành chuỗi lũy thừa của theo dạng : Mặt khác • Đồng nhất các hệ số Ví dụ:

BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRÊN MIỀN Z • BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC Cácphươngphápbiếnđổi Z ngược Phương pháp khai triển X(z) thành chuỗi lũy thừa

BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRÊN MIỀN Z • BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC Cácphươngphápbiếnđổi Z ngược Phương pháp phân tích X(z) thành phân thức tối giản • Trong đa số trường hợp, có thể đưa hàm X(z) về dạng • A là hằng số và D(z) có a0= 1 được gọi là đa thức đặc trưng của X(z). • D(z) = 0 có N nghiệm zpk là các điểm cực của X(z). • N > M X(z) là hàm dạng chính tắc. • N M thì nó là hàm dạng không chính tắc.

BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRÊN MIỀN Z • BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC Cácphươngphápbiếnđổi Z ngược Phương pháp phân tích X(z) thành phân thức tối giản • X’(z) là hàm dạng chính tắc. • C(z) là đa thức lũy thừa của z : • Các cực điểm zpk của hàm X(z) có thể là các cực đơn(cực có giá trị khác nhau), hoặc các cực bội bậc q (q cực có giá trị giống nhau), hơn nữa zpk có thể là các số thực hoặc số phức.

BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRÊN MIỀN Z • BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC Cácphươngphápbiếnđổi Z ngược Phương pháp phân tích X(z) thành phân thức tối giản • Trường hợp hàm X(z)chỉ có các cực đơn là số thực X(z) có N cực đơn zpk được phân tích thành tổng của các phân thức Nhân cả hai vế của với (z- zpk ) :

BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRÊN MIỀN Z • BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC Cácphươngphápbiếnđổi Z ngược Phương pháp phân tích X(z) thành phân thức tối giản • Trường hợp hàm X(z)chỉ có các cực đơn là số thực Lấy biến đổi Z ngược hàm X(z) tìm được dãy x(n) : Theo tính chất trễ và với nhận được

BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRÊN MIỀN Z • BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC Cácphươngphápbiếnđổi Z ngược Phương pháp phân tích X(z) thành phân thức tối giản • Trường hợp hàm X(z)chỉ có các cực đơn là số thực Hãy tìm hàm gốc nhân quả của

BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRÊN MIỀN Z • BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC Cácphươngphápbiếnđổi Z ngược Phương pháp phân tích X(z) thành phân thức tối giản • Trường hợp hàm X(z)chỉ có các cực đơn là số thực Vì dãy x(n) là nhân quả nên

BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRÊN MIỀN Z • BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC Cácphươngphápbiếnđổi Z ngược Phương pháp phân tích X(z) thành phân thức tối giản • Trường hợp hàm X(z) có nhiều cực dạng phức tạp Giả sử X(z) là dạng chính tắc và có r cực thực đơn zpk, một cực thực bội zpq bậc q, một cặp cực phức liên hợp khi đó có thể phân tích X(z) thành tổng của các phân thức dạng : Thành phần ứng với r cực thực đơn zpklà :

BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRÊN MIỀN Z • BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC Cácphươngphápbiếnđổi Z ngược Phương pháp phân tích X(z) thành phân thức tối giản • Trường hợp hàm X(z) có nhiều cực dạng phức tạp Thành phần ứng với cực thực bội zpq bậc q là : Thành phần ứng với cặp cực phức liên hợp Với

BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRÊN MIỀN Z • BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC Cácphươngphápbiếnđổi Z ngược Phương pháp phân tích X(z) thành phân thức tối giản • Trường hợp hàm X(z) có nhiều cực dạng phức tạp Với

BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRÊN MIỀN Z • BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC Cácphươngphápbiếnđổi Z ngược Phương pháp phân tích X(z) thành phân thức tối giản • Trường hợp hàm X(z) có nhiều cực dạng phức tạp

Bài giảng môn học Xử Lý Tín Hiệu Số