Geometria Espacial de posição

1. Geometria Espacialde posição Professor: João Gilberto

2. Introdução • A já conhecida Geometria Plana trata de figuras cujos pontos estão todos num mesmo plano, ou seja, estuda figuras de uma ou duas dimensões; • A Geometria Espacial trata de figuras cujos pontos podem não estar todos num mesmo plano. Reta: figura plana de uma dimensão Triângulo: figura plana de duas dimensões Cubo: figura espacial de três dimensões

3. A Geometria Espacial Métrica estuda volumes e superfícies de sólidos e a Geometria Espacial de Posição estuda as posições relativas de figuras geométricas no espaço. • A Geometria Espacial de Posição requer os seguintes elementos: • Postulado: proposição que se aceita verdadeira sem demonstração; • Teorema: proposição que se aceita como verdade por meio de demonstração.

4. Conceitos primitivos • São conceitos primitivos (e, portanto, aceitos sem definição) na Geometria Espacial os conceitos de ponto, reta e plano. Habitualmente, usamos a seguinte notação: • pontos: letras maiúsculas do nosso alfabeto • retas: letras minúsculas do nosso alfabeto • planos: letras minúsculas do alfabeto grego Observação: Espaço é o conjunto de todos os pontos. A r 

5. Existe ponto Existe reta, e nela, bem como fora dela, existem infinitos pontos. Existe plano, e nele, bem como fora dele, existem infinitos pontos. A Reta s Ponto A Postulados Axiomas, ou postulados (P), são proposições aceitas como verdadeiras sem demonstração e que servem de base para o desenvolvimento de uma teoria. • Postulado da Existência: • Existem ponto, reta e plano. • Numa reta, bem como fora dela, existem infinitos pontos. • Num plano, bem como fora dele, existem infinitos pontos.

6. Postulado da Determinação: • Dois pontos distintos determinam uma única reta. • Três pontos não colineares determinam um único plano. A r B C A B 

7. Postulado da Inclusão: • Uma reta que possui dois pontos distintos em um plano está contida nesse plano. • Postulado da divisão: • Um ponto de uma reta divide-a em duas regiões denominadas semi-retas. O ponto é a origem das semi-retas, e elas são chamadas opostas. • Uma reta de um plano divide-o em duas regiões denominadas semi-planos. A reta é a origem dos semiplanos, e eles são chamados opostos. • Um plano divide o espaço em duas regiões denominadas semi-espaços. O plano é a origem dos semi-espaços, e eles são chamados opostos. A r B 

8. B r O A B O A O r r r

9. Postulado da Intersecção: • Se dois planos distintos têm um ponto em comum, então têm uma única reta em comum passando por esse ponto. • Postulado das Paralelas: • Dado um ponto P e uma reta r, existe e é única, a reta que passa por P e é paralela à r. P s r

10. Posições relativas de duas retas • Retas concorrentes: quando têm um único ponto em comum. • Retas paralelas distintas: quando forem coplanares e não tiverem ponto em comum. P r s  r s 

11. r = s Retas paralelas coincidentes: quando tiverem todos os pontos em comum. Retas reversas: quando não forem coplanares.

12. Ângulo entre retas reversas • Define-se ângulo entre duas retas reversas (r e s) como sendo o ângulo de uma reta r’ paralela a r e concorrente com s. r r´ s

13. r • Retas perpendiculares: quando forem concorrentes e formarem ângulo reto. • Retas ortogonais: quando formarem ângulo reto (inclusive reversas). P s r' r s P P

14. Retas ortogonais • São retas reversas que formam ângulo de 90º ou retas perpendiculares. aebsão perpendiculares cegsão paralelas f ehsão ortogonais eedsão ortogonais

15. Determinação de Plano • Três pontos não colineares determinam um plano. • Uma reta e um ponto fora dela determinam um plano. C A B  P r 

16. r • Duas retas paralelas distintas determinam um plano. • Duas retas concorrentes determinam um plano. s  r P s 

17. Quadrilátero reverso • É o quadrilátero cujos vértices não são coplanares, ou seja, não há plano que os contenha.

18. Posições relativas de reta e plano • Uma reta está contida em um plano quando ela tem dois pontos distintos pertencentes ao plano. • Uma reta e um plano são concorrentes ou secantes quando têm um único ponto em comum. B A r  r P 

19. Uma reta é paralela a um plano quando eles não têm ponto em comum. r 

20. Conceitos sobre paralelismo entre reta e plano • Se uma reta é paralela a um plano, então ela é paralela ou reversa a qualquer reta do plano. r s t

21. Conceitos sobre paralelismo entre reta e plano Se uma reta não está contida num plano e é paralela a uma reta do plano, então ela é paralela ao plano. r s

22. Posições relativas de dois planos • Dois planos são concorrentes ou secantes se têm uma única reta em comum. • Dois planos são paralelos coincidentes se têm todos os pontos em comum. i  b  = b

23. Dois planos são paralelos distintos quando não têm ponto em comum. a b

24. Conceitos sobre paralelismo entre planos • Se dois planos são paralelos distintos, qualquer reta de um deles é paralela ao outro. s a b

25. Conceitos sobre paralelismo entre planos • Se dois planos são paralelos distintos, toda reta concorrente com um deles é concorrente com o outro. P a Q b

26. Conceitos sobre paralelismo entre planos • Se um plano contém duas retas concorrentes, que são paralelas a um plano, então esses planos também são paralelos. r P a s b

27. Perpendicularismo • Reta e plano • Uma reta é perpendicular a um plano  quando ela é concorrente com o plano e é perpendicular a todos as retas de , que passam pelo seu traço no plano. a b c P a e d

28. Perpendicularismo • Se uma reta é perpendicular a duas retas concorrentes de um plano, então ela é perpendicular ao plano. r s P t a

29. Planos perpendiculares • Dois planos são perpendiculares se um deles contém uma reta perpendicular ao outro. r i t a b

30. Teorema das três perpendiculares Sejam r, s e t três retas e a um plano tais que r a, r  t, s a, t a es t. Assim, qualquer reta a concorrente com r e s, passando por S, será perpendicular a s. r s t S O a a

31. Projeção ortogonal • A projeção de um ponto sobre um plano é o ponto, sobre o plano, que traça com o ponto projetado uma reta perpendicular ao plano. P r P’ a

32. Q s P s Q • A projeção ortogonal de uma reta r sobre um plano pode ser uma reta r’ ou um ponto. P’ s' Q’ s'  P Q’ P’  s P’ 

33. Q • A projeção ortogonal de um segmento de reta PQ sobre um plano pode ser um segmento P’Q’ ou um ponto. • A projeção ortogonal de um triângulo ABC sobre um plano  pode ser um segmento de reta ou um triângulo A’B’C’. P P Q P’ P P’ = Q’ Q’ P’   Q Q’ 

34. Projeção de uma figura • A projeção ortogonal de uma figura sobre um plano é o conjunto das projeções ortogonais dos pontos da figura sobre esse plano. B A D C B’ A’ C’ D’ a

35. Distâncias • Dados dois pontos A e B, a distância entre eles é a medida do segmento AB, indicada por AB. Caso os pontos A e B coincidam, dizemos que a distância entre eles é zero. • Dados um ponto P e uma reta r, a distância entre eles é a distância entre P e a sua projeção ortogonal P’ sobre r. Caso P pertença à reta r, dizemos que a distância é zero. A A = B B P r P’

36. P d • Dados um ponto P e um plano , a distância entre eles é a distância entre P e sua projeção ortogonal P’ sobre . Caso P pertença ao plano , dizemos que a distância entre eles é zero. • Quando uma reta e um plano têm um ponto em comum, distância entre eles é igual a zero. Quando uma reta é paralela a um plano, distância entre eles é a distância de um ponto qualquer da reta ao plano. s P’ a t P r d s P’ a t

37. Quando dois planos têm ponto em comum, a distância entre eles é igual a zero. Quando dois planos são paralelos distintos, a distância (d) entre eles é igual a distância de um ponto qualquer de um deles ao outro. P a P’ b

38. Quando duas retas têm um ponto em comum, a distância (d) entre elas é igual a zero. Quando duas retas são paralelas distintas, a distância (d) entre elas é igual a distância entre um ponto qualquer de uma delas e a outra. r P d s P’

39. A distância (d) entre duas retas reversas é a medida do segmento que tem uma extremidade em cada reta e é perpendicular a ambas (segmento perpendicular comum às duas retas). a s P r d b P’