Geometria bevezetés 2011. 7a

1. Geometria bevezetés2011. 7a Alapfogalmak, axiómák síkon és gömbön

2. A geometria axiómatizálása Euklidesz, Hilbert, Bólyai

3. Euklidesz Euklidesz az i.e. 3. században írt nagyszabású művében, az Elemekben lefektette a geometria alapjait. Te mit tekintenél alapfogalomnak és bizonyítás nélkül elfogadott alaptételnek?

4. Euklidesz megpróbálta definiálni az alapfogalmakat. • Te hogyan definiálnád: • a pontot • az egyenest • a vonalat • a felületet • a szögeket • az alakzatot? Elemek

5. Euklidesz definíciói: ……………… aminek nincs része. ………..szélesség nélküli hosszúság. …………..az, amelyik a rajta levő pontokhoz viszonyítva egyenlően fekszik. …….az, aminek csak hosszúsága és szélessége van. Pont A vonal Egyenes vonal Felület http://mek.niif.hu/00800/00857/html/ikonyv.htm

6. .................... az, amelyik nagyobb a derékszögnél. • ……………. pedig, amelyik kisebb a derékszögnél. • …………. az, ami vége valaminek. • …………..az, amit egy vagy több határ vesz körül. Tompaszög Hegyesszög Határ Alakzat http://mek.niif.hu/00800/00857/html/ikonyv.htm

7. Euklidesz posztulátumai Euklidesz az alapfogalmak után az alábbi posztulátumokat sorolja fel: 1. Követeltessék meg, hogy minden pontból minden ponthoz legyen egyenes húzható. 2. És hogy véges egyenes vonal egyenesben folytatólag meghosszabbítható legyen. 3. És hogy minden középponttal és távolsággal legyen kör rajzolható. 4. És hogy minden derékszög egymással egyenlő legyen. 5. És hogy ha két egyenest úgy metsz egy egyenes, hogy az egyik oldalon keletkező belső szögek (összegben) két derékszögnél kisebbek, akkor a két egyenes végtelenül meghosszabbítva találkozzék azon az oldalon, amerre az (összegben) két derékszögnél kisebb szögek vannak. Mit gondolsz kilóg valamelyik a többi közül? Mindegyik könnyen érthető számodra?

8. A híres V. posztulátum • Az Euklidesz Elemek című munkájából származó V. posztulátum sok fejtörést okozott a matematikusoknak. • Biztosan észrevetted, hogy sokkal bonyolultabban van megfogalmazva mint az előző négy, inkább tételnek tűnik mint axiómának. • Sokan úgy gondolták, hogy következik az első négy posztulátumból, mások úgy vélték, hogy egy egyszerűbbel kéne helyettesíteni. • Erről bővebben olvashatsz: http://www.math.u-szeged.hu/~klukovit/Hallgatoknak/MatTort/mattort0607/nem-eu3.pdf

9. Hilbert(1862-1943) A 19.-20. század fordulóján élt egyik legkiemelkedőbb matematikus. A matematika számos területén ért el eredményeket. Egyik jelentős műve A geometria alapjai (1899), melynek célja a geometria axiómatizálása.

10. Alapfogalmak Az alapfogalmak olyan fogalmak amiket nem lehet visszavezetni egyszerűbb fogalmakra. Mit gondolsz mik az alapfogalmak?

11. Alapfogalmak Hilbernél: Pont Egyenes Sík Illeszkedés Két pont között lenni Egybevágóság

12. Axiómák • Az axiómák olyan tételek, amiket nem lehet egyszerűbb tételekre visszavezetni. • Hilbert egy 20 axiómából álló rendszert állított fel. Mit gondolsz, mik lehetnek axiómák?

13. Az illeszkedés axiómái: Bármely két ponthoz tartozik egy egyenes, amely mindkét pontra illeszkedik. Bármely két ponthoz legfeljebb egy olyan egyenes tartozik, amely mindkét pontra illeszkedik. Minden egyenesre legalább két pont illeszkedik. Létezik olyan három pont, amelyek nem illeszkednek egy egyenesre. Bármely három, nem egy egyeneshez illeszkedő ponthoz tartozik olyansík, amely mindhárom pontra illeszkedik. Minden síknak legalább 3 pontja van. Bármely három, nem egy egyeneshez illeszkedő ponthoz legfeljebb egy olyan sík tartozik, amelyre mindhárom pont illeszkedik. Ha egy egyenes két pontja illeszkedik egy síkre, akkor az egyenes összes pontja illeszkedik a síkra. Ha két síknak van egy közös pontja, akkor legalább még egy van . Van legalább négy, nem egy síkra illeszkedő pont.

14. A nemeuklideszi geometria megteremtői Bolyai János 1802-1860 Nyikolaj Ivanovics Lobacsevszkij (1792-1856) „semmiből egy új, más világot teremtettem” "..azért nem ismerjük az 5. posztulátum bizonyítását, mert azt nem is lehet bizonyítani."

15. Bolyai János • Már gyermekkorában is tehetséges volt • Kezdetben apja, Bolyai Farkas tanította matematikára • A matematika számos területével foglakozott • Kortársai közt sokan nem értették meg a párhuzamossággal kapcsolatos munkásságát • A későbbi korok becsülik meg igazán az általa megalkotott abszolút geometriát • Bolyairól szóló cikkek a KöMaL oldalán: http://www.komal.hu/cikkek/prekopa/bolyai/bolyai.h.shtml http://www.komal.hu/cikkek/bolyai200/bolyai200.h.shtml

16. Appendix Bolyai János 1831-ben megjelent műve melyben lefektette a nemeuklideszi geometria alapjait. ,,ez a huszonnégy oldal a legrendkívülibb két tucat oldal a gondolkodás történetében''.

17. Babits Mihály: Bolyai "Semmiből egy új, más világot teremtettem."Bolyai János levele apjáhozIsten elménket bezárta a térbe.Szegény elménk e térben rab maradt:a kapzsi villámölyv, a gondolat,gyémántkorlátját még csak el sem érte.Én, boldogolván, azt a madarat,ki kalitjából legalább kilátott,a semmiből alkottam új világot,mint pókhálóból sző kötélt a rab.Új törvényekkel, túl a szűk egen,új végtelent nyitottam én eszemnek:király gyanánt, túl minden képzetenkirabolván kincsét a képtelenneknevetlek, mint Istennel osztozó,vén Euklides, rab törvényhozó.1911. febr.-márc.

18. A sík és a gömb összehasonlítása Alapfogalmak gömbön és síkon

19. Írjatok össze 1 perc alatt a lehető legtöbb gömb alakú dolgot!

20. Miért foglalkozunk a gömbbel? A gömb egy nagyon érdekes felület, ami önmagában is elég ok arra, hogy foglalkozunk vele, de azt sem szabad elfelejteni, hogy egy gömbön élünk, így gyakorlati haszna is van ennek a vizsgálódásnak.

21. Melyik nagyobb, hányszor? Grönland Dél-Amerika vagy 2 166 086 km² 17 840 000 km²

22. Mit látsz ezen a térképen?

23. Sok helyen láthatunk gömböket ….

24. … és ezek közül néhány olyan is akad, ami otthon is megtalálható és kísérletezhetünk rajtuk:

25. Alapfogalmak A síkon alapfogalmaknak tekintettük a pontot és az egyenest. Mik legyenek az alapidomok a gömbön? Vannak a gömbön pontok? És egyenesek?

26. MILYEN ALAKZATOKAT TUDSZ RAJZOLNI A GÖMBRE?

28. Tudsz rajzolni síkra és gömbre: Almát Kört Szívecskét Pontot 3 pontot Szakaszt Házikót Virágot Egyenest ? A gömbön ugyanúgy vannak pontok mint a síkon, de egyenesek nincsenek. Vizsgáljuk meg, mi lehet ennek az oka!

29. Virág, alma, szív a gömbön

30. Összehasonlítás: • Tudsz olyan alakzatot, amit csak síkra lehet rajzolni? • Olyat amit csak gömbre? • Amit mindkettőre? • Amit egyikre se? • Mit kapsz, ha egy gömböt elmetszel egy síkkal? • Mi következik ebből?

31. Sík és Gömb metszete: • Semmi • Egy pont • Egy kör • Csak pontot és kört lehet síkra és gömbre is rajzolni. • Mi vegye át az egyenes szerepét a gömbön?

32. Vicc az egyenesről: • Egy faluban néhány turista megkérdez egy helyi paraszt bácsit, milyen távol van a következő falú. • A válasz: légvonalban 2 km, de tudok egy rövidebb utat az erdőn át.

33. MILYEN TULAJDONSÁGAI VANNAK AZ EGYENESNEK? A síkon két pont közötti legrövidebb út egy egyenes mentén halad. Végezzük kísérleteket és válaszoljuk meg a kérdéseket!

34. VÍZCSEPP KÍSÉRLET Ha egy sík felületen egy csepp víz lefolyik milyen utat tesz meg? És ha egy gömbfelületen?

35. a gömbi főkör 2011. 10. 11.

36. Összefoglalás? • Mi a legegyszerűbb alakzat a gömbön? • Milyen alakzatot lehet rajzolni síkra, amit nem lehet gömbre? • Mi lehet egy sík és egy gömb közös része? • Mi következett ebből? • Milyen tulajdonságai voltak a síkon az egyenesnek?

37. ZSINEGES KÍSÉRLET Mi lesz a gömbfelületen két pont között a legrövidebb út? Feszítsünk ki két pont közé egy zsineget a gömbön és a síkon is!

38. Lehet-e gömbre egyenest rajzolni? 1.2 Kísérlet (Lénárt)

39. A gömbi főkör Gömbi főköröknek nevezzük a gömbre rajzolható legnagyobb köröket. A kísérletek elvégzésével azt tapasztaljuk, hogy a sík felületen egy egyenes mentén folyik le a víz, míg a gömbfelületen egy gömbi főkör mentén halad. Két pont között a legrövidebb út szintén egy gömbi főkör mentén kapható meg, egy főkör egy darabja. Ezek alapján úgy tűnik a gömbfelületen a gömbi főkör veszi át az egyenes szerepét. Végezzünk további kísérleteket, hogy többet megtudjunk a gömbi főkörökről!

40. Bogi

41. Soroljunk fel gömbi főköröket a Földön! Hány gömbi főkör van a gömbön és hány egyenes a síkon? Hány és milyen részre oszt két pont egy egyenest illetve egy főkört? Két pontra mindig egyértelműen illeszthető egy egyenes? Rajzoljuk meg egy térképen illetve egy földgömbön Budapest és Helsinki között a legrövidebb utat! Rajzoljuk meg ugyanígy az Északi és a Déli sark közti legrövidebb utat is! Egyértelműek ezek? Próbáljuk indokolni amit tapasztaltunk! Hány metszéspontja lehet két egyenesnek illetve főkörnek?

42. 1. A Földön például minden hosszúsági kör gömbi főkör. Fontos azonban, hogy ez a szélességi körökről nem mondható el, hiszen ezek nem is egyenlő hosszúak. Természetesen nem csak a hosszúsági körök alkotnak gömbi főkört, például az Egyenlítő, vagy tetszőleges a Föld középpontján átmenő sík és a földkéreg metszésvonala egy gömbi főkört alkot. Hosszúsági körök 2. Ebből az is következik, hogy ahogy a síkon is végtelen sok egyenes van, úgy a gömbön is végtelen sok főkör van. Szélességi körök

43. Két pont egy egyenest két végtelen hosszú részre, két félegyenesre és egy szakaszra oszt. Ezzel szemben két pont egy főkört két véges hosszú szakaszra oszt. A síkon bármely két pontra egyértelműen illeszthető egyenes. Ez a gömbön, csak akkor igaz, ha a két pont nem átellenes. Két egymással szemben levő pontra végtelen sok egyenes (gömbi főkör) illeszthető

44. Gömbi távolság Budapest és Helsinki között a legrövidebb út mind a síkon, mind a gömbön egyértelmű. A gömbön azonban az Északi és a Déli sarkok távolsága nem egyértelmű. Ezt mérhetjük bármely hosszúsági kör mentén, és a kapott két szakasz közül bármelyiket választhatjuk, hiszen ezek egyforma hosszúak. A gömbön ahogy a síkon is két pont távolságán a köztük mért legrövidebb távolságot értjük. A két pontra gömbi főkört illesztünk. Ha a két pont nem átellenes, ez a főkör egyértelmű, és a kapott két szakasz közül a rövidebbnek a hossza a gömbi távolság. Ha átellenesek a pontok, (mint az Északi és a Déli sark,) akkor nem egyértelmű a főkör, és a két pont két egyenlő részre osztja a főkört. Függetlenül attól, hogy melyik főkör, melyik szakaszát választjuk, ezek hossza mind egyenlő, ez lesz a két pont gömbi távolsága. A gömbi távolságot szokás fokban mérni. Az átellenes pontok 180 fokra vannak egymástól.

45. A síkon bármely két nem párhuzamos egyenesnek pontosan egy metszéspontja lehet, és semelyik két különböző párhuzamos egyenesnek sincs metszéspontja. A gömbön bármely két különböző főkör egy pontpárban metszik egymást. Ezek átellenes pontok. Például bármely két hosszúsági kör az Északi és a Déli sarokban metszik egymást.

46. Egyenlítő és a sarkok • A Földön az Egyenlítőhöz tartozik két átellenes pont az Északi- és Déli sark. • Milyen messze vannak ezek egymástól és az Egyenlítőtől? • Egymástól 180 fokra vagy gömbi lépésre, az Egyenlítőtől 90-re. • Minden gömbi egyeneshez (főkörhöz) van ilyen pontpár? • Igen, hiszen a gömbi egyenesek körök. • Rajzolj meg egy gömbi egyenest a sarkpontjaival. Kösd össze a sarkpontokat! Mit tapasztalsz?

47. Póluspontok • Az ilyen sarkpontok neve: póluspont • Tetszőleges póluspontpárra végtelen sok egyenes illeszthető a pontokra. • Ezek az egyenesek ugyanolyan hosszúak • és merőlegesek a hozzájuk tartozó egyenlítőre.

48. Háromszögek síkon és gömbön Háromszögek osztályozása, belső szögeinek összege

49. Szükséges ismeretek: • Háromszög belső szögeinek összege 180 fok. • Háromszög külső szögeinek összege 360 fok. • Konvex alakzat: minden szöge kisebb mint 180 fok • Konkáv alakzat: van 180 foknál nagyobb szöge • Szabályos sokszög: minden oldala egyenlő hosszú és minden szöge egyenlő nagyságú

50. Háromszög belső szögeinek összege • Síkon 180 fok • Gömbön? • Működik ez a bizonyítás? • Mi a gond? • Nincsenek párhuzamos egyenesek. • Nem igaz az állítás.