Quadrados Mágicos: Director’s Cut

1. Quadrados Mágicos: Director’s Cut Prof. Carlos Shine

2. Quadrados Mágicos • Aparecem números consecutivos • Soma das linhas = soma das colunas = soma das diagonais

3. Existem quadrados mágicos maiores? • Sim! • Existem quadrados mágicos de tamanho 3, 4, 5, 6, ...

4. Matemática e Arte? Soma mágica: 34

5. Como fazer quadrados mágicos de qualquer tamanho? • Uma ideia: quadrados latinos! • São quadrados que têm números de 1 a n em cada linha e coluna.

6. Algo a mais • Além disso, as diagonais não podem ter números repetidos  X

7. Assim... • Monte uma nova tabela girando-a de 90 graus no sentido anti-horário

8. Depois? • Subtraia 1 de cada número, multiplique tudo por 4 e some à primeira tabela.

9. Infelizmente • Isso funciona bem só para alguns quadrados • Não dá certo sempre • O que fazer então? • Não se preocupe! Há outras regras!

10. Ímpares • Comece pela casinha do meio da primeira linha e vá na diagonal superior direita • Se o tabuleiro acabar, volte do outro lado (que nem videogame!) • Se a casinha já estiver ocupada, vá uma casa para baixo.

11. Tamanho 5 17 24 1 8 15 23 5 7 14 16 4 6 13 20 22 10 12 19 21 3 11 18 25 2 9

12. Por que funciona? 17 24 1 8 15 23 5 7 14 16 4 6 13 20 22 10 12 19 21 3 11 18 25 2 9 Simetria!

13. Múltiplos de 4 • Preencha na ordem usual (da esquerda para a direita, de cima para baixo) • Divida o tabuleiro em quadrados 4  4 • Em cada tabuleiro desenhe as duas diagonais • Troque todos os números que estão sob diagonais pelo complementar (o maior pelo menor, o segundo maior pelo segundo menor, etc)

14. Tamanho 8 64 60 61 57 55 54 51 50 47 46 43 42 40 37 36 33 32 28 29 25 23 22 19 18 15 14 11 10 8 5 4 1

15. Por que funciona? • Trocamos elementos simétricos tanto numérica como geometricamente • Cada linha tem 4 números “grandes” e 4 “pequenos” • Isso balanceia a soma

16. Pares que não são múltiplos de 4 • Método “LUX” • Dividimos em quadrados 2  2 • Preenchemos cada quadrado com quatro números, na ordem • A ordem dos quadrados é a mesma do caso ímpar • A ordem de cada quadrado pode ser L, U ou X

17. Exemplo

18. Em geral • Se n = 4k + 2, a distribuição dos Ls, Us e Xs é a seguinte: • k + 1 linhas de Ls • Uma linha de Us • k – 1 linhas de Xs • Trocamos o L central pelo U inferior

19. Por que funciona? • As “médias” dos quadrados funcionam, pois o caso ímpar funciona • Falta só ajustar dentro dos quadrados 3 6 7 5 5 5 5 5 5 7 4 3 6 4 3 7 4 6

20. Nas linhas... • Nas linhas está tudo bem, pois somamos vários pares na média 5 5 5 5 5 5

21. Nas colunas... • Note que cada L compensa um U; • Há sempre dois Ls a mais que Us • Então nas linhas ímpares temos +2 e nas linhas ímpares -2 • Mas cada U tem -2 nas linhas ímpares e +2 nas linhas pares. 6 4 3 7 4 6

22. Nas diagonais... 3 6 7 • Há um L a mais do que Us; • Então a diagonal que desce fica com +2 e a que sobe, com -2 • Mas cada um dos dois U tem -1 na diagonal que desce e +1 na que sobe 7 4 3

23. Voltando ao 3 x 3 • Permitindo agora colocar qualquer número real nas casinhas, é possível achar todos os quadrados mágicos? • A resposta é sim, e vamos ver como!

24. Primeiro passo: o número do meio • Seja 3k a soma mágica • Então: • a + e + i = 3k • b + e + h = 3k • c + e + g = 3k • d + e + f = 3k • Somando tudo obtemos a + b + c + d + e + f + g + h + i + 3e = 12k • Como a soma de todos os números é 9k (três vezes a soma mágica), 9k + 3e = 12k e = k

25. Agora é só preencher! k + m k – l – m k + l k + l – m k – l + m k + l + m k – l k – m

26. Mais uma curiosidade Produtos 48 Soma das linhas 105 225 72 Coincidência? Produtos 96 45 84 Soma das colunas 225

27. Não é coincidência! • Isso vale para todo quadrado mágico de tamanho 3 • Você pode abrir a conta para conferir!

28. Quadrados mágicos multiplicativos • Agora os produtos devem ser iguais! • Os números não precisam mais ser consecutivos. Produto mágico: 4096

29. Cubos mágicos • É a versão 3D dos quadrados mágicos • Em cada linha de números a soma deve ser a mesma

30. O que se sabe sobre cubos mágicos? • Não existem cubos mágicos de tamanho 2, 3 e 4 • Todavia existem cubos mágicos de tamanho 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 e 12 • Não se sabe o que acontece para cubos maiores

31. Alguns problemas para você • Construa quadrados mágicos de tamanho 6, 7, 12 e 14 • Verifique a propriedade dos produtos dos quadrados mágicos de ordem 3 • A propriedade vale também para diagonais? • Existe um exemplo em que a propriedade vale para diagonais? • O menor produto mágico possível para quadrados multiplicativos de tamanho 3 é 216. Encontre um quadrado mágico com esse produto mágico.