Problemas de Satisfação de Restrições ( Constraint Satisfaction Problems )

UPE – Caruaru – Sistemas de InformaçãoDisciplina: Inteligência ArtificialProf.: Paulemir G. Campos Problemas de Satisfação de Restrições (Constraint Satisfaction Problems) IA - Prof. Paulemir Campos

Roteiro da Aula • CSP e Exemplos • Busca por Backtracking para CSP • Busca Local para CSP • Estrutura do Problema e Decomposição do Problema • Quadro Comparativo • Bibliografia IA - Prof. Paulemir Campos

CSP e Exemplos IA - Prof. Paulemir Campos

Problema de Busca Padrão • Estado é uma “black box” • Representado por qualquer estrutura de dados com: • Sucessor • Heurística • e, Teste de Meta IA - Prof. Paulemir Campos

Constraint Satisfaction Problems • Estado é definido por variáveis Xi com valores num domínio Di • Teste de Meta é um conjunto de restrições sobre os valores das variáveis • Exemplo simples de uma Linguagem de Representação Formal • Uso de algoritmos e heurísticas depropósito geral IA - Prof. Paulemir Campos

Problema de Colorir um Mapa • Variáveis: WA, NT, Q, NSW, V, SA, T • Domínio: Di = { vermelho, verde, azul } • Restrições: Regiões vizinhas devem ter cores diferentes IA - Prof. Paulemir Campos

Problema de Colorir um Mapa • Soluções: São atribuições que satisfazem todas as restrições • Ex.: { WA=vermelho, NT=verde, Q=vermelho, NSW=verde, Victoria=vermelho, SA=azul, T=verde } IA - Prof. Paulemir Campos

Grafo de Restrições Variável Restrição • Aumenta a velocidade de busca (Algoritmos CSP de propósito geral) • Ex.: Tasmânia é um subproblema independente IA - Prof. Paulemir Campos

Variedade de CSPs • Variáveis Discretas • Domínios Finitos: d O(dn) • Ex.: CSP Booleanos, inclusive Satisfabilidade Booleana (NP-Completo) • Domínios Infinitos (Inteiros, strings, etc.) • Ex.: Agendamento de Trabalhos Variáveis : dias de start / end de cada job Linguagem de Restrições: StartJob1 + 5 StartJob3 Permite resolver restrições lineares frente a indecidibilidade não-linear IA - Prof. Paulemir Campos

Variedade de CSPs • Variáveis Contínuas • Ex.: Tempo de start / end para as observações do Telescópio Hubble • Resolve restrições lineares em tempo polinomial por métodos de Programação Linear (PL) IA - Prof. Paulemir Campos

Tipos de Restrições • Unária (Ex.: SA  verde ) • Binária (Ex.: SA  WA ) • Ordem Maior (Três ou mais variáveis) • Ex.: Restrições entre colunas cryptarithmetic • Preferenciais (Problemas de Otimização) • Ex.: Vermelho é melhor do que verde, isto é, há uma função de custo nas atribuições. IA - Prof. Paulemir Campos

Cryptarithmetic • Problema • Associar a cada letra, um dígito diferente tal que substituindo as letras pelos seus dígitos associados a adição esteja aritmeticamente correta • Formulação em CSP: • Variáveis: F, T, U, W, R, O, X1, X2, X3 • Domínio: { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 } • Restrições: alldiff (F,T,U,W,R,O) • O + O = R + 10 . X1 X1 + W + W = U + 10 . X2 • X2 + T + T = O + 10 . X3 X3 = F IA - Prof. Paulemir Campos

CSPs do Mundo Real • Problemas de Alocação • Ex.: Que professores com qual turma? • Problemas de Oferta de Disciplinas • Ex.: Que matéria será oferecida,quando e onde? • Configuração de Hardware • Agendamento de Transportadora (Geralmente usam variáveis de valores reais) IA - Prof. Paulemir Campos

Formulação Busca Padrão • Estados são definidos pelos valores atribuídos • Estado Inicial: Atribuição vazia, { } • Função Sucessor: Atribui um valor a uma variável vazia, sem violar as restrições • Teste de Meta: Atingiu a atribuição completa • Caminho de Custo: Um valor constante para todo passo. IA - Prof. Paulemir Campos

Formulação Busca Padrão 1) Idêntico para todos os CSPs 2) Toda solução aparece em profundidade n com n variáveis (Uso de depth-first search) 3) Caminho é irrelevante, assim, pode ser usada Formulação de Estado Completo 4) Fator de ramificação b decresce com profundidade no nó da árvore de busca 5) Se cardinalidade maior dos domínios = d Então fator de ramificação a profundidade l, é b = (n - l)d Conseqüentemente há n!dnfolhas na árvore IA - Prof. Paulemir Campos

Busca por Backtrackingpara CSP IA - Prof. Paulemir Campos

Características • Atribuição de Variáveis são Comutativas • Ex.: WA=vermelho Então NT=verde NT=verde Então WA=vermelho • Só atribuição a uma variável simples por vez: • b = d • dn folhas na árvore de busca IA - Prof. Paulemir Campos

Definição • Busca primeiro por profundidade (depth-first search) para CSPs com atribuição de variáveis simples. • É um algoritmo uniformizado básico para CSPs • Pode resolver n-queens para n 25 IA - Prof. Paulemir Campos

Problema de Colorir um Mapa IA - Prof. Paulemir Campos

Melhorando a Eficiência do Backtracking • Métodos de propósito geral podem obter imensos ganhos em velocidade • Que variável poderá ser atribuída a seguir? • Em que ordem seus valores serão tentados? • Pode-se detectar falhas inevitáveis cedo? • Podemos tirar vantagens da estrutura do problema? IA - Prof. Paulemir Campos

Que variável será atribuída a seguir? • A variável mais restringida (unária) • Escolha a variável com o menor número de valores legais (Minimum Remaining Values) IA - Prof. Paulemir Campos

Que variável será atribuída a seguir? • A variável com mais restrições (binária) • Escolha a variável com o maior número de restrições das variáveis restantes IA - Prof. Paulemir Campos

Em que ordem seus valores serão tentados? • O valor com menos restrições • Escolha o valor que provoque o menor número de restrições possíveis nas variáveis restantes SA = azul SA = { } Obs.: Combinando essas heurísticas possivelmente resolveremos o problema n-queens com n=1000 IA - Prof. Paulemir Campos

Em que ordem seus valores serão tentados? • Checagem para Frente (Forward Checking) • Idéia: Manter a trilha de valores legais restantes para as variáveis não atribuídas. • Busca termina quando qualquer variável tem nenhum valor legal. IA - Prof. Paulemir Campos

Checagem para Frente Q WA V IA - Prof. Paulemir Campos

Propagando Restrições • Checagem para frente propaga informações de atribuições para variáveis vazias. • Porém, não provê detecção antecipada de todas as falhas. Restrição: NT  SA IA - Prof. Paulemir Campos

Pode-se detectar falhas inevitáveis cedo? • Consistência de Arco • Forma mais simples de propagaçãofaz cada arco consistente X  Y é consistente se somente se para cada valor x de X há algum y válido. IA - Prof. Paulemir Campos

Consistência do Arco Caminho mais simples Q Se SA = azul Então NSW = vermelho WA SA NSW Logo o arco de SA para NSW é consistente! IA - Prof. Paulemir Campos

Consistência do Arco Caminho menos simples Restrição: SA NSW Q WA SA NSW Se NSW = azul Então SA = { } Logo o arco de NSW para SA é INconsistente! IA - Prof. Paulemir Campos

Se SA = azul Então NSW = {vermelho} Consistência do Arco Q Se vermelho  V={vermelho, verde,azul} Então V={verde,azul} WA SA NSW • Se X perde um valor, vizinhança de X precisa ser checada novamente V Com a checagem da vizinhança de NSW, o arco de V para NSW tornou-se consistente! IA - Prof. Paulemir Campos

Se Q = verde Então NT = {azul} Se azul  SA={azul} Então SA={} NT Q Consistência do Arco WA SA Restrição: SA NT Com a checagem da vizinhança de NT, consegue-se detectar mais cedo (que checagem para frente) um futuro arco INconsistente! • Pode ser usado como pré-processamento ou depois de cada atribuição. • O(n2d3) podem ser reduzido para O(n2d2), porém não detecta todas as falhas em tempo polinomial. IA - Prof. Paulemir Campos

Busca Local para CSP IA - Prof. Paulemir Campos

Algoritmos Iterativos para CSPs • Hill-climbing e simulated annealing trabalham com estados “completos” • Aplicando-os aos CSPs • Permite estados com restrições insatisfeitas • Operadores reatribui valores às variáveis • Seleção de Variável • Qualquer com conflito aleatoriamente IA - Prof. Paulemir Campos

Algoritmos Iterativos para CSPs • Seleção pela Heurística do Mínimo Conflito (Min-Conflicts Heuristic) • Escolha do valor que viole o menor número de restrições possível Ex.: Hill-climb com h(n) = nº total de violações IA - Prof. Paulemir Campos

Problema das 4-Queens • Estados: 4 rainhas em 4 colunas (44 = 256) • Operador: Move rainha em coluna • Teste de Meta: Nenhum ataque • Avaliação: h(n) = nº de ataques IA - Prof. Paulemir Campos

Performance do Mínimo Conflito • Estado Inicial Aleatório • Pode resolver o problema das n-queens em tempo quase sempre constante para um n arbitrário com alta probabilidade (n=10.000.000) • Qualquer CSP gerado aleatoriamente • O mesmo aparenta ser verdade, exceto na faixa estreita de razão R, conforme abaixo. nº de restrições R = nº de variáveis IA - Prof. Paulemir Campos

Performance do Mínimo Conflito • Gráfico com Performance do Mínimo Conflito IA - Prof. Paulemir Campos

Estrutura do Problema e Decomposição do Problema IA - Prof. Paulemir Campos

Podemos tirar vantagens da estrutura do problema? • Tasmânia e o território principal da Austrália são Sub-problemas Independentes • Identificados pelo Grafo de Restrições: Componentes Conectados IA - Prof. Paulemir Campos

Podemos tirar vantagens da estrutura do problema? • Suponha que cada sub-problema tenha c variáveis fora as n totais. O custo da solução de pior caso é n / c.dc, linear em n. Ex.: n=80, d=2, c=20 Problema Completo: 280 = 4 bilhões de anos** Sub-Problemas: 4. 220 = 0.4 segundos** ** Com taxa de 10 milhões de nós/segundo IA - Prof. Paulemir Campos

CSP Estruturado em Árvore • Teorema: “Se o grafo de restrições não tem laços, o CSP pode ser resolvido em O(nd2)” • Os CSPs gerais no pior caso é de O(d2) • Aplicável a raciocínio lógico e probabilístico • Idéia: De um grafo de restrições construir uma árvore que represente o CSP. IA - Prof. Paulemir Campos

CSP Estruturado em Árvore • Algoritmo para Construção da Árvore 1) Escolha qualquer variável para a raiz da árvore e ordene-as da raiz até as folhas 2) Para j de n decrescendo até 2, aplique a Consistência do Arco em (Xi,Xj)*, removendo valores do Domínio[Xi] caso necessário 3) Para j de 1 até n, atribua qualquer valor a Xjconsistente com o valor atribuído a Xi * Onde Xi é o pai de Xj IA - Prof. Paulemir Campos

CSP Estruturado em Árvore Domínio = { vermelho, verde, azul } Restrição = Os nós folhas e os nós pai com cores distintas 1) Raiz: A; Variáveis Ordenadas = { A, B, C, D, E, F} 2) Aplicar a Consistência de Arco das folhas para a raiz, removendo inconsistência do nó pai 3) Atribuir a partir da raiz valores consistentes às folhas A A B B C C D D E E F F IA - Prof. Paulemir Campos

CSP Quase Estruturado em Árvore • Passos para a sua obtenção: 1) Escolha uma ou mais variáveis de modo que o grafo de restrições torne-se uma árvore com a poda dessa(s) variável(is)* 2) Para cada atribuição possível ao conjunto de corte S que satisfaz todas as suas restrições faça: • 2.1 Remova do domínio das variáveis restantes qualquer valor que seja inconsistente com a atribuição para S, e • 2.2 Se o CSP resultante tem uma solução, então retorne-a junto com a atribuição para S * As variáveis removidas do grafo constituem o conjunto de corte S IA - Prof. Paulemir Campos

CSP Quase Estruturado em Árvore NT • Conjunto de corte de tamanho c: Tempo de execução é deO(dc.(n-c) d2) (Grafo muito parecido com uma árvore   muito rápido para c pequeno) Q WA SA NSW V S = {SA = azul} T IA - Prof. Paulemir Campos

Decomposição do Problema • Metodologia de Decomposição da Árvore 1) Cada variável do problema original deve aparecer em pelo menos um sub-problema 2) Se duas variáveis são conectadas por uma restrição no problema original, deverão estar juntas num ou mais sub-problema 3)Se uma variável aparece em mais de um sub-problema na árvore, ela deverá estar em cada sub-problema ao longo do caminho que os interliga IA - Prof. Paulemir Campos

Sub-Problema 1 NT Sub-Problema 2 Q NT SA WA SA Q Sub-Problema 3 SA NSW Sub-Problema 4 SA NSW T V Sub-Problema 5 IA - Prof. Paulemir Campos

Quadro Comparativo Obs.: Valores são números médios de checagem de consistência (> 5 execuções) IA - Prof. Paulemir Campos

Bibliografia • Artificial Intelligence a Modern Approach (2nd Edition), S. Russell & P. Norvig, 2002, Prentice-Hall, 137-159pp • Russel, S. e Norvig, P. Inteligência Artificial. Tradução de: “Artificial Intelligence: A Modern Approach”, 2 ed. Editora Campus, 2004. (Capítulo 5) • http://aima.eecs.berkeley.edu/slides-pdf/chapter05.pdf IA - Prof. Paulemir Campos

Problemas de Satisfação de Restrições ( Constraint Satisfaction Problems )