Problemas de Valores en la Frontera e n Coordenadas Rectangulares

1. Problemas de Valores en la Fronteraen CoordenadasRectangulares CAPÍTULO 13

2. Contenidos • 13.1 Ecuaciones Diferenciales Parciales Separables • 13.2 EDP Clásicas y Problemas de Valores en la Frontera • 13.3 Ecuación de Calor • 13.4 Ecuación de Onda • 13.5 Ecuación de Laplace • 13.6 Problemas de Valores en la Frontera no homogéneos • 13.7 Desarrollos en Series Ortogonales • 13.8 Series de Fourier con Dos Variables

3. 13.1 Ecuaciones Diferenciales Parciales Separables • Ecuación Diferencial Lineal ParcialSe se establece que udenota la variable dependiente y x, y son variables independientes, la forma general de una ecuación diferencial lineal parcial de segundo orden se expresa emdiante (1)Cuando G(x, y) = 0, (1) es homogénea; de lo contrario, es no homogénea.

4. Separación de Variables • Si suponemos que u = X(x)Y(y), entonces

5. Ejemplo 1 Determine lassolucionesproducto de SoluciónSea u = X(x)Y(y) y entoncesIntroducimosunaconstante de separación real como−.

6. Ejemplo 1 (2) Asíque Para los trescasos: = 0: X” = 0, Y’ = 0 (3) = −2 > 0, > 0 X” – 42X = 0, Y’ − 2Y = 0 (4) = 2 > 0, > 0 X” + 42X = 0, Y’ + 2Y = 0 (5)

7. Ejemplo 1 (3) Caso I: ( = 0) Las soluciones de (3) sonX = c1 + c2x y Y = c3. Así (6)cuando A1 = c1c3 , B1 = c2c3. Caso II: ( = −2) Las soluciones de (4) sonX = c4 cosh 2x + c5 sinh 2x y ASí (7)donde A2 = c4c6, B2 = c5c6.

8. Ejemplo 1 (4) Caso III: ( = 2) Las soluciones de (5) sonX = c7 cos 2x + c8 sin 2x e Así (8)donde A3 = c7c9, B3 = c8c9.

9. TEOREMA 13.1 Si u1, u2, …, uk son soluciones de una ecuación diferencial parcial, entonces al combinación lineal u = c1u1 + c2u2 + … + ckuk donde las ci= 1, 2, …, k son constantes, también es una solución. Principio de Superposición

10. DEFINICIÓN 13.1 Se dice que la ecuación diferencial parcia lineal de segundo orden donde A, B, C, D, E, y F son constantes reales, es hiperbólica si parabólica si elíptica si Clasificación de Ecuaciones

11. Ejemplo 2 Clasifique la siguiente ecuación: Solución (a)

12. Ejemplo 2 (2)

13. 13.2 EDP Clásicas y Problemas de Valores en la Frontera • Introducción Ecuaciones clásicas: (1) (2) (3) Se conocen como la ecuación unidimensional del calor, ecuación de onda unidimensional, y forma bidimensional de la ecuación de Laplace, respectivamente.

14. Observación: • La ecuación de Laplace se abrevia como 2u = 0, dondese llaman Laplaciano bidimensional de u. En tres dimensiones el Laplaciano de u es

15. Problemas de Valores en la Frontera • Resolver:Sujeta a : (BC) (11)(IC)

16. y Resolver:Sujeta a:(BC) (12)

17. 13.3 Heat Equation • IntroducciónLa ecuación de calor puede desribirse así: (1) (2) (3)

18. Solución de los PVF • Usando u(x, t) = X(x)T(t), y − como la constante de separación: (4) (5) (6)

19. Ahora las condicionesde frontera (2) se traducen en u(0, t) = X(0)T(t) = 0 y u(L, t) = X(L)T(t) = 0. Luego obtenemos X(0) = X(L) = 0 y (7)De las discusiones antriores obtenemos

20. Cuando las condiciones de frontera X(0) = X(L) = 0 se aplican a (8) y (9), estas soluciones son sólo X(x) = 0. Aplicando la primera condición a(10) se obtiene c1 = 0. Por tanto X(x) = c2 sin x. La condición X(L) = 0 implica que (11)Tenemos que sin L = 0 para c2  0 y  = n/L, n = 1, 2, 3, … Los valores n = n2 = (n/L)2, n = 1, 2, 3, … y las soluciones correspondientes (12)

21. son los valorespropios y funcionespropias, respectivamente. La solución general de (6) esy portanto (13)dondeAn = c2c3.

22. Ahora usando las condiciones iniciales u(x, 0) = f(x), 0 < x < L, tenemos (14)Por el principio de superposición la función (15)debe cumplir (1) y (2). Si ponemos t = 0, entonces

23. Se conoce como un desarrollo de semiintervalo para f en a en una serie seno. Si ponemos An = bn, n = 1, 2, 3, … entonces: (16)Llegamos a la conclusión de que la solución del PVF descrito por (1), (2) y (3) se expresa mediante la serie infinita (17)

24. Por ejemplo, u(x, 0) = 100, L = , y k = 1, entonces

25. 13.4 Ecuación de Onda • Introducción Considere la ecuación de onda (1) (2) (3)

26. Solución del PVF • Con la suposición u(x, t) = X(x)T(t), de (1) se obtienede modo que (4) (5)

27. Empleando que X(0) = 0 y X(L) = 0, se tiene (6)Sólo  = 2 > 0,  > 0 lleva a una solución no trivial. Por tanto la solución general de (4) esX(0) = 0 y X(L) = 0 implican que c1= 0 y c2sin L = 0. Por tanto se tiene que  = n/L, n = 1, 2, 3, …

28. Los valores propios y las funciones propias son:

29. Sean An = c2c3,Bn = c2c4, soluciones que satisfacen (1) y (2) son (7)y (8)

30. Al sustituirt = 0 en (8) y usandou(x, 0) = f(x) se obtienePuestoqueestaúltimaexpresiónes un desarrollo en semiintervaloparaf en unaserie de senos, podemosidentificarAn = bn: (9)

31. Para determinarBnse deriva(8) con respecto a ty fijandot = 0:Así se obtiene (10)

32. Ondas Estacionarias • Es fácil transformar (8) en

33. Cuando n = 1, u1(x, t) se llama primer onda estacionaria, primer modo normal o modo fundamental de vibración. La frecuencia f1 = a/2L del primer modo normal se llama la frecuencia fundamental o primera armónica. Observe Fig 13.9.

34. Fig 13.9

35. 13.5 Ecuación de Laplace • Introducción Considere el siguiente problema de valores en la frontera (1) (2) (3)

36. Solución del PVF • Con u(x, y) = X(x)Y(y), (1) se transforma en Las tres condiciones homogéneas de frontera en (2) y (3) se traducen en X’(0) = 0, X’(a) = 0, Y(0) = 0.

37. Portantodisponemos de siguientesecuaciones (6)Para  = 0, (6) se transforma enX” = 0, X’(0) = 0, X’(a) = 0La soluciónesX = c1 + c2x. X’(0) = 0 implicaquec2 = 0 y X = c1tambiénsatisface la condiciónX’(a) = 0. AsíX = c1, c1  0 esunasolución no trivial. • Para  = −2 < 0,  > 0, (6) no poseeningunasolución no trivial.

38. Para  = 2 > 0,  > 0, (6) se transforma en X” + 2X = 0, X’(0) = 0, X’(a) = 0Aplicando X’(0) = 0 a la solución X = c1 cos x + c2 sin x, se tiene que c2 = 0 y por tanto X = c1 cos x . De la condición X’(a) = 0 se obtiene −c1  sin a = 0, y tiene que ser  = n/a, n = 1, 2, 3, …. Los valores propios de (6) son n= (n/a)2, n = 1, 2, … • Relacionando 0 con n = 0, las funciones propias de (6) sonPara Y” – Y = 0, cuando 0 = 0, la solución es Y = c3 +c4y. Y(0) = 0 implica c3 = 0 y por tanto Y = c4y.

39. Para n = (n/a)2, n = 1, 2, …, la solución esY = c3 cosh (ny/a) + c4 sinh (ny/a)Y(0) = 0 implica c3 = 0 y por tanto Y = c4 sinh (ny/a). • Las soluciones un = XY son

40. El principio de superposición conduce a que (7) Sustituimos y = b, entonces es le desarrollo de semiintervalo de f en una serie de cosenos.

41. Si se hacen las identificaciones A0b = a0/2 y Ansin (nb/a)= an, n = 1, 2, …., se tiene

42. Problema de Dirichlet • Demostrar que la solución del siguiente Problema de Dirichlet

43. es

44. Superposition Principle • Queremos dividir el siguiente problema (11)en dos problemas, cada uno de los cuales tenga condiciones homogéneas de frontera en fronteras paralelas, como se muestra en las siguientes tablas.

45. Problema 1:

46. Problema 2:

47. Suponemos que u1 y u2 son soluciones del problema 1 y problema 2, respectivamente. Si definimos u = u1 + u2, entonces etcétera. Fig 13.15.

48. Fig 13.15

49. Se deja como ejercicio determinar que la solución del problema 1 es

50. La solución del problema 2 es