Fractai s II José Garcia Vivas Miranda

1. Fractais II José Garcia Vivas Miranda

2. 2º Dia • Perfis Fractais; • Simulação; • Caracterização. • Superfícies Fractais; • Isotropia; • Homogeneidade. • Sistemas dinâmicos; • Autômatas; • Jogo da Vida.

3. Perfis fractais Conceitos • Autosimilaridade • Autoafinidade

4. Perfis fractais SIMULAÇÃO • BM • FBM • Weirstrass • Modelos de crescimento

5. Perfis fractais SIMULAÇÃO BM - Movimento Browniano (Brownian Motion) • Origem do pólen • Exemplo do bêbado

6. Autoafinidade O movimento Browniano (modelo de Wiener )

7. Autoafinidade O movimento Browniano

8. Autoafinidade O movimento Browniano

9. Perfis fractais SIMULAÇÃO BM - Movimento Browniano (Brownian Motion) • Probabilidade e o MB A probabilidade de obtermos uma face de um dado (ou seja um evento) é de 1/6. Se considerarmos a possibilidade de duas faces serem possíveis (ex. 5 ou 6) a probabilidade será de 2 x (1/6) = 1/3. Em duas jogadas consecutivas, sendo cada jogada um evento independente as possibilidades serão: Para que o evento (1,4) ocorra, a probabilidade será de 1/36, ou seja, o produto das probabilidades de cada evento independente 1/6 x 1/6 = 1/36. Qual a probabilidade de obtermos a face 4 na primeira jogada e a face 5 ou 6 na segunda? R.: 1/6 x 2 x 1/6 = 2/36 36 possibilidades

10. Perfis fractais 1º caminho 2º caminho 3º caminho f(m) m SIMULAÇÃO BM - Movimento Browniano (Brownian Motion) • Probabilidade e o MB a probabilidade de uma seqüência de N passos, com N1 à esquerda e N2 à direita será o número de caminhos possíveis após N passos sendo N1 para esquerda e N2 para direita será a probabilidade associada a um grupo de passos N1, N2 será dada por

11. Perfis fractais SIMULAÇÃO BM - Movimento Browniano (Brownian Motion) • Probabilidade e o MB a probabilidade associada a um grupo de passos N1, N2 será dada por

12. Perfis fractais SIMULAÇÃO BM - Movimento Browniano (Brownian Motion) • Programa para simulação #include <stdlib.h> #include <stdio.h> void help(); void main(int argc, char **argv) { int i,fim,eve,t; double brw=0.0,passo,mmax; if(argc!=3) { help(); exit(0); } fim=atoi(argv[1]); eve=atoi(argv[2]); mmax=32767.0; for(i=1;i<=fim;i++){ passo=0.0; for(t=1;t<=eve;t++)passo+=((double)rand()/mmax); printf("%d %f \n",i,brw+=(passo/eve-0.5)); } } void help() { fprintf(stderr,"usage: wngA {No.de linhas} {No.de eventos}\n");}

13. Perfis fractais SIMULAÇÃO FBM Movimento Browniano Fracionário (Fractional Brownian Motion) • D = 2-H • Conceito de persistência.

14. Perfis fractais SIMULAÇÃO FBM Algoritmo “midpoint displacement”

15. Perfis fractais SIMULAÇÃO A função de Weirstrass

16. Perfis fractais SIMULAÇÃO Weirstrass:código /* melhor resultados com um SH=0.60 */ #include <math.h> #include <stdio.h> #include <stdlib.h> double b,h,soma,f,arg; double x,i,SH,passo; unsigned long np; int n; double mincx,mincy,maxt; void help(void); void main(int argc, char **argv) { if(argc!=4){ help(); exit(0);} np=(unsigned long) atoi(argv[1]); SH=(double) atof(argv[3]); passo=0.01/(double)(np); b=2.1; h=atof(argv[2]); for (x=SH;x<=(SH+((np+1)*passo));x+=passo) { soma=0.0; for (n=-30;n<=30;n++){ arg=(pow(b,n)*x)*0.01745; f=(1.00-cos(arg))/pow(b,(double)(n)*h); soma=soma+f;} printf("%le %le\n",x,soma);} } void help() { fprintf(stderr,"usage: wei {No.Points} { H } {Shift}\n");}

17. Perfis fractais SIMULAÇÃO Modelos de Crescimento SOS com difusão DLA SOS

18. TÓPICOS • Perfis Fractais; • Simulação; • Caracterização. • Superfícies Fractais; • Isotropia; • Homogeneidade. • Sistemas dinâmicos; • Autômatas; • Jogo da Vida.

19. Perfis fractais CARACTERIZAÇÃO Alguns métodos de cálculo dos índices fractais (para perfis) • Variação • Semivariograma • RMS • DFA • R/S • Tortuosidade • FFT Métodos variacionais

20. Perfis fractais 180 max-min 160 (mm) i Z 140 Altura 120 r 100 0 20 40 60 80 100 120 140 Distancia i (mm) Método da variação máximo-mínimo Dubuc et al (1989)

21. Perfis fractais Método RMS Moreira at al (1993)

22. Perfis fractais 180 f(x) (mm) 160 i Z 140 Altura 120 r 100 0 20 40 60 80 100 120 140 Distancia i (mm) Método DFA Moreira at al (1994)

23. Perfis fractais Método do Semivariograma. Armstrong (1986) Onde l Crossover Length

24. Perfis fractais Semivariogramas típicos H Persistência

25. Perfis fractais De forma que: HRelação entre escalas l Escala característica. ( sem l é como um mapa sem a legenda de escala)

26. Perfis fractais Prática Cálculo de D para um perfil fractal simulado via Weirstrass - RMS - Semivariograma

27. TÓPICOS • Perfis Fractais; • Simulação; • Caracterização. • Superfícies Fractais; • Isotropia; • Homogeneidade. • Sistemas dinâmicos; • Autômatas; • Jogo da Vida.

28. Superfícies fractais • Superfícies: • FBM. • Modelos de crescimento

29. Superfícies fractais • Isotropia: Rosa de Hurst

30. Superfícies fractais • Homogeneidade: Exemplo para uma superfície simulada

31. TÓPICOS • Perfis Fractais; • Simulação; • Caracterização. • Superfícies Fractais; • Isotropia; • Homogeneidade. • Sistemas dinâmicos; • Autômatas; • Jogo da Vida.

32. Sistemas Dinâmicos Autômatas Valores atuais : 000 001 010 011 100 101 110 111 Valores futuros: 0 1 0 1 1 0 1 0

33. Sistemas Dinâmicos Jogo da Vida • 1 vizinho morre de solidão; • 4, ou mais, vizinhos morre de superlotação; • 3 vizinhos nasce; • Qualquer outra configuração se mantém. Raio de vizinhança.

34. Sistemas Dinâmicos Dever de casa Buscar uma série temporal e calcular D para ela!