Глава 2 . ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ.

1. Глава 2. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ.

2. §1. Векторы. Основные определения. Величины, которые полностью определяются заданием их числовых значений (например, длина, площадь, масса, объем и т.д.), называются скалярными. Величины, для определения которых, кроме числового значения, необходимо знать еще и направление (например, сила, скорость, ускорение и т.д.), называются векторными. Векторные величины геометрически изображаются с помощью векторов.

3. Векторомназывается направленный отрезок, т.е. отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление. Если  начало вектора,  его конец, то вектор или обозначается Длиной вектора называется расстояние между началом и концом этого вектора и обозначается

4. Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевымвектором и обозначается Нулевой вектор направления не имеет. Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором и обозначается

5. и Векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых;  записывают Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

7. Два вектора называются равными, если они а)коллинеарны, б) одинаково направлены, в) имеют одинаковые длины.

8. Вектор можно переносить в любую точку пространства посредством параллельного переноса (это следует из определения равенства векторов). Векторы в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

10. §2. Линейные операции над векторами. Под линейными операциями над векторами понимают а) произведение вектора на число, б) сложение и вычитание векторов. Произведениемвектора на число удовлетворяющий следующим называется вектор условиям: а)длина вектора равна произведению модуля числа на длину вектора

11. коллинеарен вектору направление б)вектор совпадает с направлением вектора если и противоположно ему, если Пример.

12. Сумму двух векторов можно находить либо по правилу треугольников, либо по правилу параллелограмма. Правило треугольников. и  два произвольных вектора. Возьмем Пусть произвольную точку и построим вектор Вектор От точки отложим вектор соединяющий начало первого вектора с концом второго, и называется суммой векторов

14. Правило параллелограмма. и  два произвольных вектора. Возьмем Пусть произвольную точку и построим векторы и Суммойдвух векторов и называется вектор диагонали параллелограмма построенного на векторах и

16. Сумму трех и более векторов можно находить поправилу замыкания ломаной: Чтобы найти сумму векторов совместить с началом вектора нужно конец вектора – с началом вектора и т.д., конец вектора пока не дойдем до вектора Тогда суммой будет вектор, идущий из начала вектора в конец вектора

17. и называется такой Разностьюдвух векторов вектор который нужно сложить с вектором чтобы получить вектор т.е. нужно Чтобы построить вектор и параллельным переносом перенести векторы будет к общему началу, и тогда вектор выходить из конца вектора в конец вектора

19. Отметим, что в параллелограмме, построенном на векторах и одна направленная диагональ является суммой векторов, а другая – разностью.

20. Линейные операции над векторами обладают следующими свойствами: 1.Сложение векторов коммутативно: 2.Сложение векторов ассоциативно, т.е. для любых трех векторов выполняется условие

21. 3.Прибавление нулевого вектора к любому вектору не меняет последнего: называетсяпротивоположнымвектору 4. Вектор и обозначается 5.Умножение вектора на единицу не меняет этого вектора: 6.Умножение вектора на число ассоциативно, т.е.

22. 7.Умножение вектора на число дистрибутивно по отношению к сложению чисел, т.е. 8.Умножение вектора на число дистрибутивно по отношению к сложению векторов, т.е. Эти свойства позволяют проводить преобразования в линейных операциях над векторами так, как это делается в обычной алгебре: слагаемые менять местами, вводить скобки, группировать, выносить за скобки как скалярные, так и векторные множители.

23. §3. Проекция вектора на ось. Осью называется всякая прямая, на которой указано направление. Проекцией точки Мна ось называется основание перпендикуляра, опущенного из точки М на данную ось.

24. или равным ему вектором Углом между вектором и осью Ox называется угол на который нужно повернуть кратчайшим образом полуось Сx, до совмещения . ее с вектором Область изменения угла

26. Проекцией вектора на ось Ох называется число, и равное обозначаемое и осью Ох, т.е. где – угол между вектором по определению

27. Геометрически проекция вектора на ось Ох равна длине отрезка СD, взятой со знаком «+», если (рис.2). (рис.1), и со знаком «–», если При отрезок CD превращается в точку и

28. Рис.1 Рис.2

29. Свойства проекции вектора на ось. 1. При умножении вектора на число m, его проекция на ось умножается на то же число. 2. Проекция суммы двух векторов на ось равна сумме проекций составляющих на ту же ось:

30. §4. Базис. Разложение вектора по базису. Координаты вектора. Декартова система координат. Базисом на плоскости называют любые два неколлинеарных вектора на этой плоскости, взятых в определенном порядке. Теорема. Если на плоскости выбран базис этой плоскости можно разложить по то любой вектор и такое разложение единственно: векторам

31. y x

32. Базисом в пространстве называют любые три некомпланарных вектора в этом пространстве, взятых в определенном порядке. Теорема. Если в пространстве выбран базис этой плоскости можно разложить то любой вектор по векторам и такое разложение единственно: ,

33. При этом коэффициенты в данном разложении называют координатами вектора в базисе и записывают или Для векторов, заданных своими координатами, имеют место следующие свойства. . 1. При умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число:

34. 2. При сложении (вычитании) векторов и складываются (вычитаются) их соответствующие координаты: 3. Вектор коллинеарен вектору , если выполняется условие т.е. или где  некоторое число.

35. 4. Вектор равен вектору , если их соответствующие координаты равны: =

36. Декартовой системой координат в пространстве называют совокупность фиксированной точки Ои базиса Точка О называется началом координат, а прямые, проходящие через начало координат в направлении базисных векторов осями координат. .

38. Прямая ОX называется осью абсцисс, прямая ОYосью ординат, прямая ОZосью аппликат. Плоскости, проходящие через оси координат, называют координатными плоскостями. для произвольной точки М называют ее Вектор радиус-вектором. Координаты радиуса-вектора точки Мпо отношению к началу координат называют координатами точки М в рассматриваемой системе координат. Первая координата называется абсциссой, вторая ординатой, третья аппликатой.

39. Базис называют ортонормированным, если базисные векторы попарно ортогональны и длина каждого из них равна единице. На плоскости ортонормированный базис принято обозначать в пространстве  Декартова система координат с ортонормированным базисом называется прямоугольной системой координат.

41. Пусть в прямоугольной системе координат даны две точки и . Тогдапо правилу треугольника

43. Учитывая, что при вычитании векторов вычитаются их соответствующие координаты, имеем т.е. если заданы координаты начала и конца вектора, то чтобы найти координаты этого вектора, надо из соответствующей координаты его конца вычесть координату начала.

44. определяется по формуле А длина вектора Для точек заданных на плоскости, последняя формула примет вид В частности, аналогично,

45. Отметим, что в прямоугольной системе координаты вектора равны соответственно проекциям вектора на оси координат:

47. § 5. Деление отрезка в данном отношении. Пусть даны точки и лежит на отрезке и пусть точка и делит этот отрезок в отношении т.е.

48. Тогда координаты точки М вычисляются по формулам деления отрезка вданном отношении

49. При точка делит отрезок пополам и последние формулы принимают вид т.е. координаты середины отрезкаравны полусумме соответствующих координат его концов.

50. Пример. Даны три последовательные вершины параллелограмма Найти его четвертую вершину и точку пересечения его диагоналей. Решение.