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Resolución de Sistemas Lineales

Resolución de Sistemas Lineales. Introducción. Notación matricial. Condiciones para que el Sistema tenga Solución única. Teorema Las siguientes proposiciones son equivalentes:. Observaciones. Una matriz que satisface las condiciones del teorema es NO SINGULAR. Escalado.

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Presentation Transcript

  1. Resolución de Sistemas Lineales Introducción

  2. Notación matricial

  3. Condiciones para que el Sistema tenga Solución única Teorema Las siguientes proposiciones son equivalentes:

  4. Observaciones • Una matriz que satisface las condiciones del teorema es NO SINGULAR

  5. Escalado El determinante cambia MUCHO con el escalado

  6. Observaciones • No se puede usar el determinante para decidir EN FORMA NUMERICA cuántas soluciones tiene un sistema • Usar RANGO para determinar cantidad de soluciones

  7. Rango

  8. Generalidades Un proceso numérico es inestable si errores pequeños que surgen en una etapa del proceso se magnifican en etapas posteriores, degradando la exactitud del resultado final

  9. Sistemas fáciles de resolver • Matrices diagonales • Matrices triangulares inferiores • Matrices triangulares superiores

  10. Matrices diagonales

  11. Matrices triangulares

  12. Matrices triangulares inferiores

  13. Matrices triangulares superiores

  14. Resolución de sistemas lineales • Métodos directos • Métodos iterativos

  15. Vectores fila de una matriz

  16. Vectores columna de una matriz

  17. Espacio filas de una matriz

  18. Espacio columnas de una matriz

  19. Teoremas Def: La dimensión común del espacio filas y columnas de A se denomina rango de A Las operaciones elementales entre filas no cambian el espacio filas de A Si A es una matriz cualquiera, entonces el espacio de filas y el de columnas de A tienen la misma dimensión

  20. Operaciones elementales entre filas • Multiplicar una fila por una constante distinta de cero • Intercambiar dos filas • Sumar a una fila un múltiplo de otra

  21. Teorema Los vectores fila de una matriz A de cualquier forma canónica forman una base para el espacio filas de A

  22. Propiedades: forma canónica (row-echelon=renglón-escalón) • Si una fila no consiste de elementos todos nulos, entonces el primer número distinto de cero en la fila es un uno. (1 principal) • Todas las filas con elementos todos nulos están agrupados en la zona inferior de la matriz • Dadas dos filas sucesivas que tienen al menos un elemento distinto de cero, los unos principales están “escalonados”

  23. Forma canónica reducida • Si además se verifica que cada columna que contiene un 1 principal tiene ceros en todos sus otros elementos, entonces la forma se llama forma canónica reducida

  24. Ejemplo

  25. Bibliografía sugerida • Noble págs 162-167 • Gerald págs 104-116 • Kincaid págs 126-134

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