390 likes | 472 Views
Kezdeti események. Feladat: egy valószínűségi modell felállítása, amelyből megbecsülhető a kezdeti esemény valószínűsége; a modell-ben szereplő paraméterek becslése; a következmények becslése; a leállási idő becslése, a berendezések kiesési idejének becslése. Példa: áramkimaradás.
E N D
Kezdeti események • Feladat: egy valószínűségi modell felállítása, amelyből megbecsülhető a kezdeti esemény valószínűsége; a modell-ben szereplő paraméterek becslése; a következmények becslése; a leállási idő becslése, a berendezések kiesési idejének becslése. Példa: áramkimaradás. 4. előadás
Hiba bekapcsoláskor • A kezdeti esemény következményekor egy automata bekapcsol. A meghibásodás leírásához is kell egy modell. A modellben szereplő paramétert meg kell becsülni. Példa: vészhűtés elindítása. 4. előadás
Hiba működés közben • Egyes berendezések folyamatosan működnek, meg kell vizsgálni, mi történik, ha a kezdeti esemény után egy ilyen leáll. Példa: hőmérő meghibásodása. Itt is valószínűségi modell, paraméterbecslés. 4. előadás
Időtartamok becslése • Egy rendkívüli esemény időtartama is véletlen mennyiség. Példa: a feszültség-kimaradás időtartama. Valószínűségi modell, paraméterbecslés. 4. előadás
Kikapcsolás • Előfordulhat, hogy egyes eszközök a kezdeti esemény megjelenésekor ki vannak kapcsolva, pl. javítás, vagy karbantartás miatt. Erre az esetre is valószínűségi modell és paraméterbecslés kell. 4. előadás
Egy fizikai folyamat lehetséges statisztikai modellje Poisson-folyamat: az esemény bekövetke-zésének val.ge arányos az intervallum hosszával p=lDt; egyszerre két esemény nem fordulhat elő; diszjunkt intervallu-mokban az esemény előfordulása füg-getlen esemény; véletlen számú esemény fordul elő egy előre megadott interval-lumban. Adott intervallumban előfordult események számát ismerni kell. 4. előadás
Poisson-folyamat A várható érték becsléséhez szükséges T alatt bekövetkezett események száma. Az alkalmazhatóság megállapításához illeszkedés vizsgálat szükséges. 4. előadás
Statisztikai alapok 4. előadás
Valószínűségszámítás Események Bizonyos események mindig ugyanúgy történnek. Példa: a jég nulla fokon elolvad Más események kimenetele többféle is le-het. Példa: a kockadobás Mi a véletlen? Az atomi eseményeket nem tudjuk befolyásolni. Példa: radioaktív bomlás 4. előadás
Mi a valószínűség? Frekventista válasz: nagy N számú ese-ményből az A esemény K-szor fordul elő, ak-kor az A esemény relatív gyakorisága N esetén egy meghatározott, objektív szám körül ingadozik, ez a szám az A esemény valószínűsége. Ennek mértékét becsülni lehet a K/N hányadossal. Tudáshiány: a megfigyelő adott jelenséggel kapcsolatos ismereteinek mértéke (bizo-nyosság) Példa: prímszámok gyakorisága 4. előadás
Bayesi (1702-1761) értelmezés: Előzetes valószínűségadatok (megfigyelések) utólagos valószínűségek Példa: fekete-e a holló? A megfigyelés és a modell szerepe. Szabályos-e a dobókocka? Erről később részletesen beszélünk. 4. előadás
Véletlen változó: egy véletlen számadat jellemzéséhez azt kell tudnunk, hogy milyen értékek jöhetnek szóba (értékkészlet) és milyen valószínűséggel. A véletlentől függő mennyiségeket valószínűségi változónak nevezzük. Példa: egy alkatrész élettartama, egy szeny-nyezés hatása, egy gyógyszer hatása, egy berendezés működőképessége. 4. előadás
Bayes-tétel Legyen az A esemény valószínűsége p(A), a B eseményé p(B). Jelölje AB az A és B esemény együttes előfordulását. Az A esemény B feltétel melletti valószínűsége P(A|B)=p(AB)/p(B). Legyen B1, B2,… egy teljes eseményrendszer. Ekkor 4. előadás
P(Bk) –előzetes (a priori) valószínűségek P(Bk|A) -utólagos (a posteriori) valószínű-ségek Példa: Egy beteget ellenőriz orvosa. A teszt a betegek 99%-nál pozitív, az egészsége-sek 99%-ánál negatív eredményt ad. Az orvos tudja, a lakosság 1%-a beteg. Ha a teszt eredménye pozitív, mi a valószínűsé-ge, hogy a páciens tényleg beteg? (SA,2007-04,88) 4. előadás
Eloszlásfüggvény Sűrűségfüggvény: annak valószínűsége, hogy az x valószínűségi változó értéke [x,x+dx] közé esik f(x)dx. f(x)-et az x valószínűségi változó sűrűségfüggvé-nyének nevezzük. Annak valószínűsége, hogy az x valószí-nűségi változó értéke nem haladja meg x-et F(x), az x val. változó eloszlásfügg-vénye. 4. előadás
Várhatóérték, szórás Az x diszkrét valószínűségi változó várható-értéke a kifejezés. Az x diszkrét valószínűségi változó szórását az alábbi kifejezés adja meg: 4. előadás
Korrelációs együttható Két véletlen változó (x,h) korrelációs együtthatója: Ha R(x,h)=0, akkor x és h korrelálatlanok. 4. előadás
Eloszlások Diszkrét eloszlások Poisson-eloszlás Binomiális eloszlás N- kísérletek száma p-egy kísérletben a vizsgált esemény val.ge 4. előadás
Folytonos eloszlások Normális eloszlás Egyenletes eloszlás 4. előadás
Statisztika Véletlen minta Egy eloszlásból, vagy populációból vett n elemű mintát véletlen mintának tekintünk abban az értelemben, hogy az n véletlen változót függetlennek tételezzük fel. Az ilyen mintavétellel kapott mintát nevezzük véletlen mintának. A mintaelemek eloszlását azonosnak és függetlennek te-kintjük. 4. előadás
Momentumok véletlen mintából Átlag=minta várhatóértéke Minta szórása: Az így kapott érték torzítatlan becslése s2-nek. Vigyázat! Egyes csomagok N-et írnak a nevezőbe! Egyéb jellemzők: ferdeség, lapultság,stb. 4. előadás
Statisztikai következtetés A st. köv. célja állítások megfogalmazása annak a vél. vált.-nak az eloszlásáról, amelyből a mintát vettük. Ez lehet paraméterbecslés (pl. várhatóérték, vagy szórás becslése). A következtetés mindig valószínűségi jellegű. Itt tárgyaljuk: A paraméterbecslést (pont- és intervallum becslést), 4. előadás
A hipotézisvizsgálatot • (illeszkedésvizsgálatot, paraméter tesztet) • A statisztikus következtetésnek két fő módszere van: • paraméteres becslés: feltesszük, hogy a minta egy adott eloszlásból való, csak a paramétereket nem tudjuk • nem-paraméteres becslés: a módszer független az eloszlástól. 4. előadás
Frekventista megközelítés Csak a statisztikus mintában lévő informá-ciót használjuk fel. Az adatokra modellt állí-tunk fel. A „bizodalmunk” nem épül bele a modellbe. Az eloszlás paraméterét ismeretlennek tekintjük, az adatokat véletlen mintának tekintjük. Ezen túl minimális információt használunk fel. A hipotézisvizsgálat azonos szellemben folyik. 4. előadás
Statisztikai következtetés Példa: az ötödik erő vizsgálata: F(B/M) mérés, illesztés, Alapeseményeket és valószínűségi modelleket kell kiválasztani Hipotézisvizsgálat Illeszkedésvizsgálat Bayes-módszer 4. előadás
Hipotézisvizsgálat Legyen a vizsgálat tárgya a H0 hipotézis, ellentéte a H1 hipotézis. A hipotézisvizsgálat módszereket ad arra, hogy adott p valószí-nűséggel megállapítsuk, H0 elfogadható. A módszer: a megfigyelésekből előállítunk egy vél-vál-t, ha ennek értéke az eloszlás [0,p] inetrvallumába esik, akkor H0 p val—gel elfogadható. 4. előadás
Adatgyűjtés A kockázatelemzéshez adatokra és azok elemzésére van szükség. Az adatok vagy általános természetűek, vagy az adott üzemhez kapcsolódnak. Adat források: az üzem dokumentációjából kell kikeresni az elemzéshez szükséges üzem specifikus adatokat. Erre szükség lehet: 4. előadás
egy balesetet kiváltó ok elemzésekor • egy komponens jellemzőinek meghatá-rozásakor • egy eseménysorban lehetnek egymást korrigáló események, ezeket az üzemviteli tapasztalatból (naplókból) lehet megha-tározni. • Ha a vizsgálathoz szükséges adatot azo-nosítani lehet, akkor abból az adat forrásá-nak is azonosíthatónak kell lennie. 4. előadás
Az adatokat minden üzemben egyedi mó-don tárolják (naplók, feljegyzések, jegyző-könyvek stb.). Előfordulhat, hogy hosszas keresgélésre van szükség. A kibányászott adatok értelmezhetősége és minősége attól függ, mennyire jól működött az üzem dokumentációja. Ezért a dokumen-tációra szabványokat dolgoztak ki. 4. előadás
Adatbázisok Az adatok nyilvántartása azért is fontos, mert így lehet megtudni egy berendezés, alkatrész stb. megbízhatóságát. Ezeket az adatokat adatbázisokban őrzik és rendszeresen elem-zik. Általános adatforrások A balesetet kiváltó okokat, a komponensek meghibásodásait rendszeresen gyűjtik. Ezt a konkrét adatok kapcsán kell megvizsgálni. Léteznek iparági, gyártói adatbázisok. 4. előadás
Adatgyűjtés és interpretáció A begyűjtött adatokat értelmezni esetleg feldolgozni kell. Ilyen adat lehet pl. a kiváltó ok gyakorisága, berendezés meghibáso-dása, hibakompenzáció. Az elemzésben figyelembe kell venni, ha az adat egyedi, erősen eltérő sajátossággal bír (pl. egyedi használati mód). Trendek és öregedés 4. előadás
Paraméterbecslés A kigyűjtött adatokra épül a statisztikai elemzés. Célja: a meghibásodás jellemzői-nek meghatározása. Először egy modellt választunk, azután hipotézisvizsgálattal eldöntjük, hogy a modell elfogadható-e, ha igen, paraméterbecsléssel meghatározzuk a kívánt paraméter értékét. Ehhez általában egy val. változót kell képezni, amely többnyire 2 eloszlású. 4. előadás
Maximum likelihood-becslés Tegyük fel, hogy egy esemény történik, amely beavatkozást igényel. Az esemény véletlenszerű, gyakorisága l, azaz, egységnyi idő alatt l esemény fordul elő. Tegyük fel, hogy t idő alatt x eseményt figyeltünk meg, az esemény legyen Poisson-eloszlású: 6.1 4. előadás
Konfidencia intervallum Tegyük fel, hogy egy paraméter értékére illesztéssel adunk becslést: Ekkor az a paraméter becsült értéke is véletlen változó a. Az (amin,amax) intervallumot konfidencia intervallumnak nevezzük, a konfidencia intervallumba a (1-p) val.séggel esik, p=0.05, p=0.01 etc. 4. előadás
A megfigyelések azt rögzítik, adott időtartam alatt hány meghibásodás történt. • pontbecslés: le=x/t, szórása D(x)=lt. • a l paraméter konfidenciaintervallumára is becslés adható. 4. előadás
Bayesi-becslés • A becslés az alábbi lépésekből áll: • a becsülendő l véletlen mennyiséghez választunk egy előzetes eloszlásfüggvényt • begyűjtjük az adatokat és előállítjuk a likelihood-függvényt, ami 6.1 lesz. • ebből Bayes-tétele alapján megkonstru-áljuk az utólagos eloszlásfüggvényt 4. előadás
Numerikus eszközök-A MAPLE Open c:\IpKat\MapleStat 4. előadás
Numerikus eszközök-B MATHEMATICA Open c:/IpKat/27Statistics.nb 4. előadás
Numerikus eszközök-C MATLAB 4. előadás